王江河

摘 要：圆锥曲线是高中数学的重点和难点，也是高考数学考查的热点，圆锥曲线问题涉及知识点多，解题方法灵活多变，题型丰富，用几何画板探究题型变化，便于直观研究点、直线、曲线之间的各种关系，完美的做到动静结合、数形结合，有助于师生优化解题策略、提高数学思维品质。

关键词：几何画板;圆锥曲线;数形结合思想;特殊与一般思想

笔者在探究本试题时，把此题做一般化考虑（文中变式3），用几何画板探究，发现椭圆中有定直线与定点对应，进一步引发更多地思考，椭圆思考完，想到圆是否有此性质？笔者通过设置条件和调整点或直线位置，发现类似性质.最后想：圆锥曲线中心对称图形中的双曲线也是否有类似性质，结论是肯定的.但回过头思考，应该圆的性质在前，类比到椭圆，再到双曲线更自然，故本文把圆的探究题置于前面.

题1.已知圆O的直径AB，圆上不同于A、B的两点C、D，如果直线AC与BD相交于点M，直线AD与BC相交于点N，则直线MN与直线AB垂直.

探究：分两种情况：（1）当C、D两点在直线AB同侧，直线MN与圆相交.（2）当C、D两点在直线AB两侧，直线MN与圆相离（图略）.

变式1.已知圆O直径AB，直线l与线段AB垂直于点G，点M是直线l上任一点（不同于点G，不同于直线l与圆O的交点），直线MA与圆O交于点C，直线MB与圆O交于点D.

（1）若直线CB与直线AD相交于点N，则点N一定在直线l上.

（2）当点M在直线l上运动时，直线CD过定点（即动直线CD与定直线AB的交点）（图1）.

变式2.已知圆O的直径AB，直线l与线段AB（或BA）延长线垂直于点G，点M是直线l上任意一点（不同于点G），直线MA与圆O交于点C，直线MB与圆O交于点D

（1）若直线CB与AD相交于点N，则点N在直线l上（图2）.

（2）当点M在直线l上运动时，直线CD过定点（即动直线CD于定直线AB交点）（图3）.

反思：题1与变式1、变式2不知道哪个是正向思考，哪个是逆向思考，由于定点与定直线相互牵制，线对应点，点对应线，密不可分，故只需变化条件，这3题无所谓哪个先哪个后.

题2.已知椭圆C1的长轴两端点A和B，椭圆上不同于A、B的两点C、D，如果直线AC与BD相交于点M，直线AD与BC相交于点N，则直线MN与直线AB垂直.

探究：分两种情况.

（1）当点C、D在直线AB同侧时，直线MN与椭圆相交（图4）.

（2）当点C、D在直线AB两侧时，直线MN与椭圆相离（图5）.

变式3.已知椭圆C1的长轴两端点A和B，直线l与线段AB垂直于点G，点M是直线l上任意一点（不同于点G，不同于直线l与椭圆C1的交点），直线MA与椭圆C1交于点C，直线MB与椭圆C1交于点D.

（1）若直线CB与直线AD相交于点N，则点N在直线l上（图6）.

（2）当点M在直线l上运动时，直线CD过定点（即动直线CD与定直线AB的交点）（图7）.

反思：变式3能否逆向思考，由定点S得到定直线呢？

变式4.已知椭圆C1的长轴两端点A和B，直线AB上有定点S，过点S的直线与椭圆交于点C、D两点，若直线AC与直线BD交于点M，直线AD与直线BC交于点N.则直线MN与直线AB垂直（图8，图9）.

反思：长轴有此性质，短轴有吗？几何画板强大的作用让我們得到了肯定的结论.

变式5.已知椭圆C1的短轴两端点B1和B2，C、D两点是椭圆C不同于B1、B2两点，直线B1C与直线B2D相交于点M，直线B1D与直线B2C相交于点N，则直线MN与直线B1B2垂直.（图10，图11）.

变式6.已知椭圆C1的短轴两端点B1和B2，直线B1B2有定点S，过点S的直线与椭圆C1交于点C、D两点，若直线B1C与直线B2D交于点M，直线B1D与直线B2C交于点N.则直线MN与直线B1B2垂直（图10，图11）.

反思：双曲线有此性质吗？几何画板画图探究再开始.

变式7.已知双曲线C2的实轴两端点A1和A2，直线A1A2有定点S，过点S的直线与双曲线C2交于点C、D两点，若直线A1C与直线A2D交于点M，直线A1D与直线A2C交于点N.则直线MN与直线A1A2垂直（图12，图13）.

变式8.已知双曲线C2的实轴两端点A1和A2，C、D两点是双曲线C2上不同于A1、A2的两点，若直线A1C与直线A2D相交于点M，直线A1D与直线A2C相交于点N.则直线MN与直线A1A2垂直（图12，图13）.

变式9.已知双曲线C2的实轴两端点A1和A2，直线l与直线A1A2垂直于点G（不同于A1和A2），点M是直线l上任意一点（不同于G，不同于直线l与双曲线C2的交点），直线MA1与双曲线C2交于点C，直线MA2与双曲线C2交于点D.

（1）若直线A1D与直线A2C相交于点N，则点N一定在直线l上.

（2）当点M在直线l上运动时，直线CD过定点（即动直线CD与直线A1A2的交点）（图12，图13）.

如果顶点为双曲线两个虚顶点呢？思考可以继续，探究还可进行.

本文笔者只是从几何画板角度下探究了高考试题，引发了一系列思考，由于篇幅，本文略去证明过程，不当之处望各位同仁指正。笔者在探究中真正的领悟了数学中的各种美：动与静的结合美、数形结合的图形美、类比推理的思维美等，我们的一线教师可以把这种思考和训练形式用到课堂，真正让学生喜欢上数学，这也是我们数学教育工作者的任务和责任.

参考文献

[1]田保.圆锥曲线两垂直相交弦中点连线的性质——一道高考模拟题的思考和探究.中学教学参考，2019（29）：6-7.