摘  要：由于初中数学课程安排和课时的限制，很多数学知识脉络随着年级的升高不断展开，是一个螺旋式上升的过程. 这就为中考总复习在兼顾深度和广度方面带来了一定的困难. 以“中点的复习课”单元设计为例，阐述教师应该关注教学内容的整体性，重视单元设计，兼顾内容的系统性、容量的适度性、结构的稳定性和学法的多样性，不断提高教学效率.

关键词：一题多解;一题多变;单元设计

一、问题提出

在数学学习中，学生的学习方式被动、学习效率低下、缺乏学习热情、课业负担偏重等现象普遍存在. 而影响学生的学习方式、学习效率和学习热情的，除了学生智力因素和学习习惯之外，主要是教师的课堂教学设计. 为了在有限的课时内为学生创设必要的活动，提供必要的学习经历，培养学生的数学学科核心素养，教师应该如何分解、传递和落实课程目标？笔者认为，依据整体思想，立足单元视角，结合学生的具体学情，改变以“内容”为单一视角设计教学的惯性，强化“对象意识”，对教材进行二次开发，对教学内容进行“结构化”处理，这样进行单元设计教学是较好的方式.

二、教学分析及流程

“中点”是初中几何学习中出现最早、最特殊，也是学生最熟悉的点. 沪教版《九年义务教育课本·数学》（以下统称“教材”）七年级第二学期（试用本）“14.1 三角形的有关概念”中出现了三角形的中线的概念. 教材七年级第二学期“14.5 等腰三角形的性质”一节主要研究等腰三角形的三线合一. 在教材八年级第一学期“19.4 线段的垂直平分线”一节出现了线段垂直平分线的性质定理和判定定理. 在教材八年级第二学期“22.2 平行四边形”一节出现了平行四边形的性质定理及平行四边形对角线互相平分. 教材八年级第二学期“22.6 三角形、梯形的中位线”一节出现了三角形的中位线概念和三角形中位线定理.

由于学生接触到这些数学概念和定理的时间跨度较大，容易遗忘，而在初中数学中又是几何和代数内容穿插式教学，因此，在中考复习中有必要将“中点的复习”作为一个单元进行独立设计.

依照循序渐进原则，在“中点的复习”单元设计中，笔者兼顾各个不同层次的学生的实际情况，对中点的相关知识进行梳理（如图1），归纳思想方法，使得学生的数学能力稳步提升.

题目1  如图2，在△ABC中，点D，E，F分别是BC，AB，CA的中点.

（1）求证：四边形AEDF是平行四边形;

（2）如图3，若AH是边BC上的高，连接EH和FH，求证：∠EHF = ∠EDF.

变式1：如图4，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A[3，5]，[B-1，0，] [C5，0]，若[S△ABP=S△ACP]，求直线AP的解析式.

变式2：如图4，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为[A3，5]，[B-1，0，] [C5，0]，若[S△ABP=S△ACP=S△BCP]，求点P的坐标.

变式3：如图5，已知△ABC的面积为1，AD，BE，CF分别是边BC，CA，AB上的中线，AD = x，BE = y，CF = z，求以x，y，z为三边长的三角形面积.

在第1小单元，对与中点相关的知识和定理进行回顾和梳理. 题目1第（1）小题主要引导学生从两个中点的连线联想到三角形的中位线定理，得到中位线和第三边的数量关系和位置关系，进行進一步证明. 题目1第（2）小题的教学价值主要是引导学生在一题多解的过程中进一步体会简单和复杂、量变和质变的相互转化. 进行一题多解的教学之后，引导学生进行多解归一，引导学生复习平行四边形对角相等、全等三角形对应角相等、等边对等角等证明角相等的方法，从中提炼证明角之间等量关系的一般规律，从三角形边和角等量关系的相互转化中逐步感受从不同角度分析、研究同一个问题的多样性.

变式1引发学生思考面积比和线段比之间的转化，在转化过程中启发学生添加辅助线，即延长AP，其与BC的交点一定是线段BC的中点. 课堂设计从已知中点深化到寻找中点，从简单的证明说理发展为先说理后计算，学生的数学思维也从知识的回顾和梳理激活为熟练掌握定理，灵活运用相关知识解决问题.

变式2以同样的三角形作为研究对象，引导学生通过面积相等的条件证明点P是已知三角形的重心. 接下来，已知三角形三个顶点的坐标，教师引导学生在构造基本图形后进行几何说理证明，求出重心P的坐标.

变式3通过引导学生添加平行线构造以三边中线为边的三角形，寻求新三角形与原三角形面积之间的关系，逐步培养学生的几何直观素养.

在变式1和变式2增设平面直角坐标系的基础上，在一题多解和一题多变的过程中体会“变化”与“不变”对立统一的理性精神的基础上出示变式3，不仅能进一步加深学生对于中线、重心、面积比等问题的理解，而且可以促使学生复习倍长中线法这一常规的辅助线添加方法. 变式3旨在让学生体会“截长”和“补短”、“补齐”和“切割”的区别与联系.

2. 第2小单元教学设计和设计意图分析

题目2  如图6，∠ABD = ∠ACE = 90°，∠BAD = ∠CAE，M是DE的中点，求证：MB = MC.

变式1：如图7，DF = FE，∠ABD = ∠ACE = 90°，FB = FC，求证：∠BAD = ∠CAE.

变式2：已知△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD = ∠ACE = 90°. 如图8，连接DE，设M为DE的中点.

（1）说明：MB = MC;

（2）设∠BAD = ∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图9的位置，试问：MB = MC是否仍然成立？并给出证明.

第1小单元主要对连接线段、延长线段和倍长中线进行复习. 第2小单元的题目2主要引导学生根据已有的知识储备，尤其是全等三角形的判定定理和性质定理等相关知识，从不同角度思考如何添加辅助线，并进行一题多解. 在课堂上进行交流和分享之后，教师通过设问和追问，引导学生逐步掌握隐藏在各种不同解法之中的数学知识和所需的基本技能. 在学生体会数学思维的多样性之后，进一步引导学生总结出有关中点的问题添加辅助线的方法.

例如，中线：倍长中线，也就是说遇到中线或者中点，尝试倍长中线，通过构造全等三角形对线段进行转化;等腰三角形：构造“三线合一”;直角三角形斜边上的中点：构造斜边上的中线;两个或者两个以上的中点：构造一条或者多条中位线.

对题目2进行一题多解后，引导学生进行小结，使学生逐渐养成反思解释和及时总结的良好学习习惯. 变式1是对题目2进行对称式变式，将部分已知的条件和求证的结论进行对换，旨在激活学生数学思维的多向性，培养学生数学思维的灵活性，从而逐步提高学生学习数学的积极性.

变式2是对题目2进行锁链式变式，再次重复上一个小专题的复习流程——由已知中点深化到寻找中点，让学生再次认识并体会到中点的特殊性和重要性，体会由一个已知中点去寻找另一个线段中点的过程，逐渐引导学生形成构造中位线的解题策略和对于特殊和一般的关系的思考和认识.

3. 第3小单元教学设计和设计意图分析

题目3  如图10，在△ABC中，[∠ACB=90°]，[O]是[AB]的中点，点[D]是边[AC]上一点，且AO = AD，BD平分∠ABC，过点D作DF⊥OD，DF与边BC交于点F，过点F作FE∥OD，FE交BD于点E，连接OE. 求证：（1）四边形OEFD是正方形;（2）DE = 2BE.

变式1：如图11，在△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC = 4，O是AB的中点，点D是边AC上一动点，连接OD，过点D作DF⊥OD，DF与边BC交于点F，过点F作FE⊥DF，过点O作OE⊥OD，两条垂线相交于点E. 设OD = x，矩形OEFD的面积为y，试求出y与x的函数关系式.

变式2：在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，BC = 6，D为斜边AB的中点，点E为边AC上的一个动点，连接DE，过点E作DE的垂线，与边BC交于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG.

（1）如图12，如果矩形DEFG为正方形，且点G在边AB上时，求AC的长;

（2）如图13，如果DE∶EF = 1∶2，设AC = x，矩形DEFG的面积为y（其中点G在△ABC的内部），求y与x的函数解析式.

变式3：如图14，在△ABC中，∠ACB = 90°，AB = 5，AC = 4，O是AB的中点，点D是边AC上一动点，连接OD，BD，过点D作DF⊥OD，与边BC交于点F，连接OF.

（1）设OD = x，△ODF的面积为y，求y与x的函数关系式;

（2）当△ODF与△ABC相似时，求出x的值.

变式4：如图15，在△ABC中，[∠ACB=90°]，[BC=][3，] [AC=4，] [O]是[AB]的中点，点[D]是边[AC]上一点，[DE⊥BD，] 交[BC]的延长线于点[E，] [OD⊥DF]，交边[BC]于点[F，] 过点[E]作[EG⊥AB，] 垂足为点[G，] [EG]分别交[BD，DF，DC]于点M，N，H.

（1）求证：[DEDB=NEOB];

（2）设[CD=x，NE=y]，求[y]关于[x]的函数关系式及其定义域;

（3）当[△DEF]是以[DE]为腰的等腰三角形时，求线段[CD]的长.

题目3的研究背景是初中生比较熟悉的直角三角形，除了突出本单元的重点——直角三角形斜边上的中点之外，通过添加一条角平分线将图形进一步复杂化. 通过几何画板软件的动态演示，让学生亲眼见证图形从简单到复杂、从复杂再回到简单的过程. 进行类似于从第2小单元到第3小单元的过渡，对图形的分解和组合进行双向练习，能够帮助学生逐渐掌握把复杂图形分解为简单图形和由简单图形组成复杂图形这两种思维.

另外，由于学生的年龄特点、心理特征和教学内容的课时安排，在初中几何教学中，先学习三角形，研究三角形的性质后对特殊的三角形进行研究，再学习特殊四边形的定义、性质和判定等内容. 这样，在学生的脑海中容易形成三角形和四边形壁垒分明的局面. 通过题目3第（1）小题引发学生对于三角形和四边形两者关系的思考，通过增设平行线，逐步完成一般四边形、平行四边形、矩形和正方形之间关系的建设. 题目3第（2）小题是通过特殊平行四边形的性质研究线段之间的数量关系.

变式2第（1）小题在继续保留“直角三角形斜边上的中点”这一条件的情况下构造矩形，并求证这个矩形是正方形;第（2）小题以研究矩形DEFG的面积与线段AC的长度之间的函数关系为载体，引发学生对于图形变化和不变的规律之间的思考.

变式3在保留“直角三角形斜边上的中点”这个条件下，增设“线段垂直”这个条件，引导学生分析三角形的面积和线段长度之间的关系，同时主动对条件不明确的三角形相似进行分类讨论.

变式4在保留“直角三角形斜边上的中点”这个条件的前提下，增设两个“线段垂直”条件，引导学生通过三角形相似来证明第（1）小题的线段成比例.

在前两个小单元复习的基础上，学生能够独立完成基础模型的構建，熟练辨别问题和图形的类型，逐渐将不熟悉的问题转化为熟悉的题目类型，将复杂的图形分解为简单的图形，逐步优化解题策略，形成相对独立而正确的数学观.

三、对本单元设计的思考

1. 单元设计的优势

一般来说，复习课的教学目的是系统梳理知识，通过分析典型题目加强相关知识的丰富性和灵活性，通过一题多解不断加深学生对知识理解的准确性和深刻性，通过多解归一逐渐形成并优化解题策略，逐步形成有层次且相对完整的知识结构. 在研究一题多变的系列问题的过程中，不断提高学生综合运用数学知识解决问题的能力，并且从中领会“变化”与“不变”的关系和实事求是、理性求真的数学精神.

针对知识量大、课时紧的教学困局，以本单元设计为例，采用具有整体观念的单元设计的教学，不仅有利于教学目标的有效达成，而且可以围绕中位线、线段的垂直平分线等内容，循序渐进、螺旋上升地开展复习，避免陷于某一道题目中造成“只见树木，不见森林”的误区，从而极大程度提高复习课的有效性.

基于数学知识内容的整体性，通过研究和了解学生的认知基础，笔者坚持单元教学设计，将教学设计进行整体性安排，突出部分和部分之间的联系、知识和知识之间的关联、新课和复习课之间的衔接、口语表达和书面表达之间的铺垫.

2. 关注数学表达，重视单元设计的基础性

通过课堂教学，既能够使学生养成良好的学习习惯，又能够了解学生的学习状态. 学生的学习方式取决于教师的教学方式，学生的学习状态取决于教师的教学状态. 单元设计就是建立在教师对教学内容的理解、学生认知的把握和教学方式的整合的基础上，对教材中的教学内容进行二次开发，进行单元设计.

由于学生接触中点相关概念的时间跨度较大，因此教师在进行教学设计时可以本着注重核心知识、通性、通法的理解和掌握的原则，在学生主动思考和积极发言的基础上，用思维导图分步骤地对与中点有关的概念进行回顾和梳理. 而在梳理概念的过程中，一方面，要引导学生将数学口语表达和书面表达相配合;另一方面，要运用多媒体信息技术引导学生对图形语言、文字语言和符号语言熟练地进行转换以提高复习效率.

3. 构建知识网络，增加单元设计教学综合性

数学学习离不开解题，但是组成一节课的各个例题和习题并不是孤立存在的. 作为课堂设计的有机组成部分，这些题目之间存在着必然联系. 基于这个认识，教师不能把知识梳理、例题分析和习题练习进行孤立教学. 对于“中点的复习”单元，训练和培养学生对题目的分析能力和解题能力固然重要，但也要注重引导学生发现和理解题目的背景及组成题目的因素之间的内在联系，把知识点进行三种语言之间的相互转化，形成如图16所示的知识网络. 这是数学学习能力的重要体现，甚至是高阶思维在数学学习能力中更高层次的体现.

本单元设计着眼于相关数学知识的联系，力求在课堂教学中突出数学思想方法. 通过单元设计帮助学生认清题目之间的内在联系，有利于学生把握单元知识的重点和难点，明晰学习目标，逐渐激发学生数学学习的主动性、目的性和积极性，慢慢形成对局部与整体、数字到字母、具体和抽象等问题的思考，不断完善数学知识体系，促进数学思考，提升数学思维.

4. 发展核心素养，提升单元设计的发展性

本单元教学设计从真实的、系列的数学情境开始，通过对例题的条件和结论的顺序变式、增减变式、轮换变式和锁链变式，挖掘例题和变式的教学价值，用数学自身的魅力来激发学生的学习兴趣. 借助例题和变式，为学生搭建积极交流的平台.

对于题目2，讲评结束后，笔者给学生留出充分的时间进行一题多解. 学生主要有如下解题思路.

思路1：如图17，延长EC至点N，使得CN = CE. 连接AN和DN，同样延长DB至点H，使得BH = BD. 连接AH和HE，运用三角形的中位线定理解题.

思路2：如图18，过点M作MI⊥AB，交AB的延长线于点I，过点M作MJ⊥AC，交AC于点J，运用△BIM ≌ △CJM进行证明.

思路3：如图19，以点A为圆心、AB为半径作圆，交线段AC于点H，连接HD，连接HM并延长交CE的延长线于点G. 通过构造△DMH ≌ △EMG，明确MC是直角三角形斜边上的中线，于是MC = MH = MB.

思路4：如图20，取AD的中点K，连接BK，取AE的中点L，连接CL，通过证明△MBK ≌ △CML来说明对应线段相等.

思路5：如图21，在AC上截取AO = AB，取线段OC的中点J，连接DO，MO和MJ，通过证明“△MOC是等腰三角形”说明对应线段相等.

小结反思部分展示题目2的多种解题思路，多解归一，引导学生在众多解法中总结有关中点问题的数学本质. 对于题目3，同样在讲评结束后留给学生充分的时间进行一题多解.

在分析问题和研究问题时，笔者坚持引导学生在一题多解和多解归一的基础上进行一题多变，并在这个过程中呈现特殊和一般、“数”和“形”之间的相互转化，让学生在研究问题的过程中不断体会“变”与“不变”的关系，即在“变”的现象中寻找“不变”的本质，从“不变”的本质中探求“变”的规律.

通过题目和变式训练，让学生运用类比、转化、数形结合等数学思想体会条件的细微变化对结论造成的影响，引导学生逐渐体会数学学习就是用已知的方法探究未知世界的过程，逐步培养学生灵活多变的思维品质，提升应变能力，让学生的数学发散思维得以拓展和提升.

数学课堂设计的核心任务是提升学生的数学思维水平和解决问题的能力. 因此，单元设计教学不能一蹴而就，也不能一劳永逸. 数学单元教学设计是一个不断改进和完善的动态发展过程. 其动态发展主要体现在两个阶段：在教学设计的实施过程中;在教学设计实施之后. 在单元设计实施过程中，以单元进行教学，有利于避免课时教学设计因留给教师调整教学方案的空间相对较小所带来的教学僵化性与机械性，教师能够留有充足的时间与空间去调整教学节奏，从而针对前期教学中出现的问题或者涌现出的新想法，对原有的教学方案加以调整、完善. 单元教学设计实施后，需要对教学进行反思. 但并不是反思后弃之不用，而是通过教研团队进行改进，改进后的设计既可用于自己之后的教學，也可为其他教师的教学服务，这使得教学设计一直处于不断改进、不断完善的过程.

参考文献：

[1]胡素芬. 例说复习课的解题教学设计[J]. 中国数学教育（初中版），2017（10）：24-27，31.