沈为清，张 磊

（1.江苏财经职业技术学院智能工程技术学院，江苏 淮安 223003；2.徐州工程学院江苏省工程机械检测与控制重点实验室，江苏 徐州 221018）

1 引言

一面两销以其能对零件实现完全定位、便于施加夹紧力等优点，在箱体、盖板、杠杆、支架类等零件的夹具设计中得到了广泛应用。传统一面两销定位方案的设计常采用经验法和试错法，设计效率低下，无法获得最优布局［1］。近年来，随着CFAD（Com⁃puter Aided Fixture Design）技术的发展和应用，以定位零件受力变形最小，基于有限元分析耦合各类智能仿生算法成为求取一面两销最佳布局设计的主流方法［2-10］。一面两销中的“一面”，即定位面，其定位方案一经确定，“两销”，即圆柱销和菱形销的布局就成为设计重点。最优的定位销布局应尽可能减小定位零件上加工或被测要素对于误差输入的敏感程度，增大夹具设计的鲁棒性［11］。本文即是研究一面两销中定位销的布局优化问题，与基于CFAD的求解思路不同，根据刚体动力学分析和矩阵理论提出了一种面向定位销误差输入的敏感度指标，实例证明，使用该指标进行定位销布局设计，能够增加一面两销夹具设计的鲁棒性，且不产生使用智能仿生算法的计算消耗。

2 状态空间偏差建模

文献［12］曾采用状态空间方法描述一面两销定位零件在笛卡尔坐标系下的偏差状态，本文引用该方法进行零件偏差状态的分析和计算。如图1所示为某一刚体零件，采用一面两销定位，圆形为圆柱销，椭圆形为菱形销，销距为L，L与x轴正向间的夹角为γ；0点和1点是零件上的任意两点，其中0点与圆柱销中心位置重合，二者连线长为l，则由图1左图可得0点和1点的理想位置坐标关系应满足。

图1 零件上任意两点间的偏差状态关系Fig.1 The Deviation State Relationship Between Any Two Points on a Part

式中：（x0，y0），（x1，y1）—0点和1点的坐标；x01和y01—坐标偏差。

由于定位销定位偏差或者磨损故障，零件由图1左图所示的理想位置偏置到图1右图所示的位置，0点和1点偏置到0′和1′点，分别产生了δx0，δy0，δx1，δy1的偏置位移和δγ的偏置角位移。则由图1所示的平面几何关系，偏置后的坐标关系如下式所示：

其中，（x0′，y0′），（x1′，y1′）为0′、1′点位置坐标。由于δγ极小，cosδγ≈1，sinδγ≈δγ，故上式可近似为：

将（1）式代入（3）式，因为x′1-x1=δx1，y′1-y1=δy1，x′0-x0=δx0，y′0-y0=δy0，则可得：

将（4）式写成向量式，可得：

（5）式的左端为1点的偏差，右端为0点的偏差，故式（5）为零件上任意两点间的偏差状态模型；但仔细观察式（5），两点偏差尚未与定位销偏差建立数学联系，且其系数矩阵中包含有δγ的未知量。为此，需要进行零件上任一点偏差状态与定位销偏差关系的数学推导。

3 定位销偏差输入下的零件偏差

如图2所示为定位销有偏差输入时的零件定位情形，此处为与图1上的1点区分，记圆柱销为P1，菱形销为P2，其它符号标识的含义不变。首先考虑最简单的情形：单销、单坐标轴有偏差输入，如图2所示，圆柱销P1有偏差输入，菱形销P2无偏差输入；且偏差位移仅沿y方向，记为δP（1y）。在δP（1y）的作用下，定位孔的中心偏置到了P1′，零件产生了δγ的微小角位移，逆时针为正，如局部放大图2（b）所示，则由图2（b）的平面几何关系可得：

图2 圆柱销y向偏差导致的零件偏差Fig.2 Part Deviation Caused by y-Direction Deviation of Cylindrical Pin

式中：δP（1y）—P1在y方向偏差位移；L—销距；γ—L与x轴正向间的夹角。

同理，若P2仅有y向磨损位移δP（2y），P1无磨损，则：

若P1和P2同时仅有y向磨损位移，则由（6）、（7）可得：

若P1和P2同时仅有x向磨损位移，则由式（8）可得：

若P1和P2同时有x、y向磨损位移，则由（8）、（9）可得：

式中：δP（1x）、δP（1y）和δP（2x）、δP（2y）—定位销偏差。、

将式（10）代入式（5）的系数矩阵，且δx0=δP（1x），δy0=δP（1y），可得下式所示的矩阵式：

式（11）的左端为零件上任意一点的偏差量，可以看作加工要素或被测要素偏差；右端为定位销输入偏差，故式（11）为这里所推导的有定位销偏差输入下的零件偏差模型。两销布局设计的最优方案应是使零件加工或被测要素的偏差，即式（11）的左端，对式（11）右端输入下的定位销偏差最不敏感。故下面由式（11）推导两销布局设计的敏感度指标。

4 敏感度指标

由（11）式，［δx1，δy1］T是向量，这启发作者可以使用向量的模作为目标函数进行大小比较，即定义下式作为敏感度评价指标。由（11）式，令：

其中，v=［δP1（x），δP1（y），δP2（x），δP2（y）］T，A=T T T。则由（12）式，f是关于向量v的元素的二次型。由二次型的性质，v TA v经正交变换后必定可以化为下式所示的标准型

式中：λ1，λ2，λ3，λ4—矩阵A的特征值。

由（13）式，欲令f最小，就是最小（λ1+λ2+λ3+λ4），而（λ1+λ2+λ3+λ4）=tra（A），为矩阵A的迹。故根据（11）式，将A展开，计算tra

由（14）式可知，最优的定位销布局方案就是确定圆柱销和菱形销的位置使下式所列出的平面几何关系式最小：

式中：i=1，2，…n，—零件上加工要素或被测要素的个数；D—这里推导的定位销布局的最终敏感度优化指标。式（15）说明，确定定位销布局仅需进行平面几何距离计算，无需采用智能仿生算法。下面将敏感度指标应用于实例并通过数据分析揭示指标后所隐藏的规律。

5 实例研究

如图3所示为某型号液压阀端盖零件，有T、P、B、A、G五个通油口，已被加工完毕，当前工序进行F1、F2、F3、F4四个安装孔的加工，若采用一面两销定位，T、P、B、A、G均可作为两销的定位选择，下面采用本文所提出的敏感度指标来获得最优的圆柱销和菱形销布局。

图3 某型号液压阀端盖Fig.3 A Certain Type of Hydraulic Valve End Cover

将T、P、B、A、G的排列共计20种列表，首字母表示圆柱销位置，次字母表示菱形销位置，按（15）式计算每种排列的敏感度指标，将敏感度指标由小到大排列，得到结果，如表1所示。

表1 圆柱销、菱形销不同排列的误差敏感度计算Tab.1 Calculation of Error Sensitivity of Cylindrical and Rhombic Pins in Different Arrangements

由表1可知，采用A孔为圆柱销，G孔为菱形销的布局可使加工要素对销的制造和磨损误差最不敏感。故AG为最佳销布局方案。仔细观察表1中的计算数据，发现L和D表现出较强的负相关，做回归分析如图4所示，可求得相关系数为-0.8822。

图4 L和D的回归分析Fig.4 Regression Analysis of L and D

6 结论

（1）本文所提出的敏感度指标可在一面两销定位方案中，有效评价零件上加工要素或测量要素对定位销制造或磨损误差输入的敏感程度；

（2）敏感度指标D与两销距离L的回归分析揭示：L越大，定位方案对定位销误差的输入敏感度越小，即定位方案越健壮；

（3）实例分析显示：同一定位方案中，互换两销的位置，对定位方案的健壮性影响不大。