苏立鹏，金樟民，尤 戈，易灿灿

（1.温州市特种设备检测研究院，浙江 温州 325000；2.武汉科技大学，湖北 武汉 430081）

1 引言

机械设备是国民经济建设的重要基础设备，广泛应用于冶金、石油化工、电力建筑等国民经济命脉领域[1]。机械设备一旦出现故障将会导致企业停工和严重的经济损失，因此，针对机械设备可能出现的故障的诊断和结构健康监测技术在近几十年迅速发展。而作为机械设备中起支撑作用的关键零部件，轴承的工作状态将直接影响整个设备的运行状态，因此实现对轴承的故障诊断具有重要的研究价值[2]。实测的轴承故障振动信号由于背景噪声和外界环境干扰的存在表现出很强的非线性、非平稳特性，且有用的早期微弱故障特征极易淹没在强噪声背景中，因此设备故障诊断的一个重要的研究方向是故障特征的有效提取。学者提出了多种振动信号的特征提取方法。小波分解（Wavelet Trans⁃form，WT）[3]能将信号分解为代表信号特征成分的低频成分和代表噪声成分的高频成分，但是小波基函数和分解层数的选择对分解的结果有决定性影响。奇异谱分析（Singular Spectral Analysis，SSA）[4-5]可以将信号分解为奇异值表示的特征子空间，有用的信号特征可以通过有效的奇异值能量来评估，但是奇异值的选取仍是一个难题。

在SSA的基础上，学者提出了低秩矩阵逼近（Low-Rank Ma⁃trix Approximation，LRMA）[6]的思想，在信号降噪领域称为鲁棒主成分分析方法（Robust Principal Component Analysis，RPCA）[7]，该方法假设原始信号矩阵可以分解为代表信号特征信息的低秩成分和代表噪声的稀疏成分[8]。并将SSA中奇异值的选择这一NP难题转化求解奇异值之和最小化这一凸优化问题，从而有效的提取含噪信号中的特征成分。该方法的核心思想是特征成分矩阵具有全局低秩属性，从而使得其奇异值分解的奇异值之和也较小。然而，实测的机械设备故障信号的特征成分形成的特征矩阵一般并不具有全局低秩的特性，因而RPCA可能并不适用。针对这个问题提出了局部鲁棒主成分分析（Local Robust Principal Component Analysis，LRPCA）的降噪方法，与RPCA全局低秩的强条件假设不同，LRPC只需数据矩阵在有限个局部区域满足低秩假设，并在这些区域分别构建特征成分的局部低秩近似矩阵，接着通过这些低秩矩阵的平滑凸组合来全局近似特征信号矩阵，从而实现信号的特征提取目的。该方法首先通过相空间重构[9]构建实测的一维信号的吸引子轨道矩阵，然后通过提出的局部低秩模型提取信号的故障特征成分，最后分别通过数值仿真实验和实测的轴承外圈故障数据的分析证明提出的方法具有较好的特征提取效果。

2 理论描述

2.1 实测一维振动信号的相空间重构

由于机械故障信号有很强的非线性、非平稳特性，其在一维空间难以展示，而通过相空间重构将实测的一维振动数据转换为吸引子矩阵，可以很好的反映原系统的许多动力学特征。在这一过程中，一维振动信号x∈[x1，…，x N]∈R N被重构为一个吸引子轨道矩阵X∈R L×K（延迟时间为1，嵌入维度为L，K=N+1-L），如式（1）所示。

2.2 鲁棒主成分分析

传统的SSA方法是对轨道矩阵进行奇异值分解X=UΛV T，利用奇异值谱的特性来提取信号的特征信息。其中U∈R L×r，V∈R K×r分别称为左右奇异向量，Λ=diag(σ1，σ2，…，σr)是按大小顺序排列的对角奇异值矩阵，则原始信号矩阵可以表示为r个奇异值表示的信号子空间的和，即，在信号降噪领域，有用的信号特征是按照奇异值谱的能量的大小（一般是前几阶奇异值）选择特定的几个特征子空间来表示。但是奇异值的选择是一个亟待解决的NP难题。

针对这个问题学者提出了LRMA的思想，将奇异值的选择问题转化为奇异值之和的最小化的凸优化问题，而在信号降噪领域便是著名的RPCA方法。该方法假设原始信号矩阵X可以表示为代表信号特征信号的低秩成分L∈R L×K和代表噪声成分的稀疏成分S∈R L×K的和，而低秩约束通过核范数最小化（即奇异值之和最小）来实现。该方法将SSA中奇异值的选取问题转化为了数学上可求解的低秩成分的核范数最小化问题[10]，如式（2）所示。

2.3 局部鲁棒主成分分析

由于实测的机械设备故障信号动力学特性比较复杂，其吸引子特征矩阵并不具有全局低秩的属性。针对这个问题，可以假设数据矩阵在特定的锚点局部区域内满足低秩的属性，即在RP⁃CA的基础上，将全局低秩强条件假设放松到矩阵局部区域低秩假设弱条件，并在这些局部区域构建对应的原始特征矩阵的低秩特征矩阵，然后通过这些低秩矩阵的平滑凸组合来全局近似特征信号矩阵，从而实现信号的故障特征提取，将该方法称为局部鲁棒主成分分析方法（LRPCA）。

随机选择矩阵中的q个元素锚点，并在这些锚点的局部区域构建信号特征矩阵的低秩近似矩阵L s i∈R L×K，该矩阵能精确的估计在原始特征矩阵对应的锚点s i局部区域的元素值，如图1所示。根据RPCA的思想，可以通过构建的凸优化问题来提取对应锚点的低秩特征成分矩阵，如式（3）所示。

图1 局部低秩矩阵近似从矩阵元素到矩阵的映射Fig.1 The Local Low-Rank Matrix Approximation Assumes an Operator that Maps Matrix Entries to Matrices

式中：d((a i，b i)，(i，j))—两元素点(a i，b i)和(i，j)的距离函数，其值越小表示两点之间越紧密，即通过锚点q i近似得到的低秩矩阵L i（即T(s i)）在(i，j)位置的估计值较为精确，这里我们采用反余弦函数来定义，如式（5）所示。同时K h((a i，b i)，(i，j))也转化为K h((a i，i)K h(b i，j))的乘积形式。

通过式（3）的求解，我们可以获得随机选择的q个锚点附近区域对应的特征成分矩阵的低秩近似矩阵，可以看出每一个低秩矩阵L s i在其对应的锚点附近d(q i，·)

表1 LRPCA算法Tab.1 LRPCA Agorithm

3仿真信号分析

轴承作为机械设备中起承载作用的关键零部件，其故障信号通常含有调制特性，且故障特征容易被强背景噪声所淹没。为了证明提出方法对故障特征进行识别的效果，构建模拟数值仿真信号，如式（7）所示。

式中：x1(t)—中心频率为f1=100Hz，调制转频为f r=30Hz的调制信号；x1(t)—中心频率为f2=200Hz的简谐信号；n(t)—水平为0.5的高斯白噪声，采样频率和采样点分别为8000Hz和8000。原始不含噪信号时域和频域图，如图2（a）、图2（b）所示。原始含噪信号时域和频域图，如图2（c）、图2（d）所示。

图2仿真信号Fig.2 Simulation Signal

图中：（a）、（b）—原始不含噪信号时域和频域；（c）、（d）—原始含噪信号时域和频域

从含噪信号的频域图中虽然可以看见调制信号和简谐信号的中心频率，但是调制信号的重要特征即调制边频成分被噪声所淹没，不易识别。采用提出的LRPCA方法对该信号进行处理，并将WT和RPCA作为对比分析方法。

WT和RPCA分析的结果分别，如图3、图4所示。在WT中，我们选用db8小波母函数，分解层数为4，从图3（b）中虽然可以找到调制边频成分（f1±f r），但是极不容易被识别，背景噪声的干扰依然较强。从RPCA分解结果的频域图中可以发现调制边频成分（f1±f r）被错误地作为无关信号而滤波掉，而且背景噪声成分仍然存在。

图3 WT提取的结果Fig.3 The Feature Extraction Result by The WT method

图4 RPCA提取的结果Fig.4 The Feature Extraction Result by The RPCA Method

使用提出的LRPCA方法处理仿真信号，其重构回的一维特征成分时频域，如图5所示。可以发现调制边频成分（f1±f r）清晰可见，且噪声的水平已经降到了非常低的水平，对于特征成分的识别几乎没有影响，因此，提出的方法的降噪效果和特征提取的结果非常有效，且明显优于其他两种分析方法。

图5提出的方法的提取结果Fig.5 The Feature Extraction Result by The Proposed Method

4实测信号分析

为了进一步验证提出方法的实用性，我们对美国辛辛那提大学轴承故障实验台采集的轴承外圈故障数据进行了分析。实验装置，如图6所示。在主轴上有四个双列圆锥滚子轴承，每个有16个滚动体，滚子直径为d=3.31mm，轴承中径为D=28.15mm，压力角为α=15.17°，转频为fr=33.33Hz，采样频率和采样点数分别为20000Hz和20000。理论外圈故障理论频率为：f0=235.29Hz。原始信号的时域和频域图，如图7所示。由于噪声和其他干扰频率（图中红色圆圈所示）的存在，导致故障特征成分难以识别。

图6轴承故障实验台Fig.6 Rolling Bearing Test Table

图7轴承外圈故障信号Fig.7 Rolling Bearing Outer Ring Fault Signal

使用提出的方法对该信号进行处理，并选择WT和RPCA方法作为对比分析。WT和RPCA的分析结果分别，如图8、图9所示。在WT中，虽然可以找到故障特征频率的二阶谐波频率，但是噪声的干扰依然很大，故障仍难以准确定位。而在RPCA中，干扰频率成分依然较多，对故障的判断造成一定的影响。因此WT和RPCA的故障特征提取效果有限。

图9通过RPCA处理后的提取信号频域Fig.9 The Extracted Signal in Frequency Domain by RPCA

提出的方法的特征提取结果，如图10所示。从图中很容易的识别外圈故障频率f o和其二阶谐波频率2f o以及转频f r，且背景噪声水平降到了很低的水平，故障特征清晰可见。综上，分析结果表明，提出的方法对于实测的州城外圈故障有很好的特征提取效果，且相较于其他两种方法，其性能明显更加优越。

图10通过提出的方法处理后的恢复信号频域Fig.10 The Extracted Signal by The Proposed Method in Frequency Domain

5结论

一种新的局部鲁棒主成分分析的方法被提出并用于机械设备故障信号的降噪和特征提取，该方法在鲁棒主成分分析的基础上，将数据矩阵全局低秩的强条件假设放松到局部低秩条件，这个条件与实际的故障特征矩阵矩阵更加吻合。

首先在相空间重构得到的吸引子数据矩阵元素中随机的选取有限个锚点，并在锚点附近区域通过低秩逼近构建待提取特征矩阵的近似矩阵，然后通过平滑凸组合这些局部低秩矩阵为特征矩阵的全局近似矩阵，再将得到的矩阵通过相空间重构逆过程即为提取的信号的特征成分。分别通过数值仿真实验和实测轴承外圈故障数据的分析，结果表明提出的方法具有很好的降噪和特征提取效果。