尚涛

（中交二公局第四工程有限公司，河南 洛阳 471013）

1 概述

在高速公路建设过程中，不完整曲线在匝道线路设计时中极为常见，很多测量工作者在进行坐标计算时，一般采用交点法或线元法两种计算方式进行电算，线元法根据曲线元素的起点坐标、切线方位角、曲率半径以及待求点曲率半径为基础，计算待求点的坐标数据，可适用于任意曲线的计算。因为线元法是将每段线元分开进行计算，故输入数据量较大，同时如果不完整端处于线路首段或尾段时，其曲率半径设计不予提供，需要自己进行计算。交点法通过交点坐标、里程以及起终点里程、切线方位角（或起点切线方位角及转角）、缓和曲线长度以及圆曲线半径进行计算，仅适用于完整缓和曲线的计算。因交点法可以计算每个交点控制范围内的线元统一计算，故输入数据量相对较少，但对曲线的完整性提出了要求。两种算法各有利弊，在不同计算类型中可择优选取。

2 缓和曲线计算原理

直线以及圆曲线计算都相对简单，这里不再赘述，重点讨论曲线的计算过程。

考虑到线路设计时缓和曲线的产生原理，其曲率半径一般从∞过渡到圆半径R，曲线上各点需满足缓和曲线参数方程：A2=RS，其中A 为缓和曲线参数，R 为待求点的曲率半径，S 为待求点至起点ZH（HZ）点的长度。当S 趋近于0 时，R 趋近于∞，参考曲线设计原理，即当满足半径从∞过渡到圆半径时即认为曲线完整，未从∞过渡到圆半径时认为不完整。

2.1 常规完整缓和曲线计算

针对完整缓和曲线的计算，相关教材中均给出了曲线计算公式，现以图1 所示的曲线中进行分析。

完整缓和曲线计算过程中，ZH（HZ）点至JD 的切线方位角已知，设为α1；ZH（HZ）点坐标已知，设为（X0、Y0）；ZH（HZ）里程已知，设为K1，需要求取曲线上任一点P（KP）点的坐标。

根据教材内容并结合图1，过P 点（图1 中P 点=HY（YH）点）处切线角β0 的计算公式如式（1）所示：

式（1）中，L′为待求点P 至起点曲线起点ZH（HZ）长度，R为圆曲线长度，Ls 为曲线起点ZH（HZ）至终点HY（YH）完整长度，且β0 以弧度为单位。

P 点在图1 坐标系下的坐标计算公式如式（3）所示：

式（3）中x、y 分别代表P 点在图1 中数学坐标系下的坐标值，其他参数与式（1）中相同。

由上式可以计算得出起点待求点P 至ZH（HZ）之间的弦长L，如式（4）所示：

综合式（1）、（2）可计算起点待求点P 至ZH（HZ）之间的坐标方位角β=α1-δ0，结合式（4）可计算待求点P 点坐标，如下式（5）所示：

2.2 不完整缓和曲线的计算

不完整缓和曲线在小半径匝道线路设计时经常出现，其半径从圆半径R 大过渡到R 小，设置形式如图2 所示。

图2 不完整缓和曲线示意图

针对不完整缓和曲线，假设理论上存在一个ZH（HZ）点,如图2 所示。假设已知条件：交点里程、交点坐标、与前后交点之间的坐标方位角、R 小值、R 大处或R 小处坐标、R 大处或R 小处里程，以此为基础求取曲线上任一点P（KP）点的坐标。

假设假定ZH（HZ）点至实际缓和曲线起点之间缓和曲线长度为L1，实际缓和曲线长度为L2、ZH（HZ）点至HY（YH）点完整缓和曲线长度为LS，根据缓和曲线参数方程：

依据式（6）可计算得出LS，继而LS-L2 求得L1 值，再代入缓和曲线参数方程：

依据式（7）可计算得出R 大，依据L1 可计算R 大处里程，至此即可利用线元法套入Gauss-Legendre 公式直接计算曲线上任一待求点的坐标。

结合式（1）、（2）可计算R 大处切线角βR 大以及缓和曲线偏角δR 大的值，同时可以计算R 大处bR 大的值，如式（8）所示：

结合已知条件中该交点与前后交点之间的坐标方位角以及求得的bR 大值，可以计算R 大处至假定ZH（HZ）点之间的坐标方位角，再结合求得的δR 大的值即可计算假定ZH（HZ）点至JD 之间的坐标方位角。

结合式（3）、（4）可计算R 大处至假定ZH（HZ）点之间弦长；结合式（5）即可计算得到假定ZH（HZ）点的坐标值。

至此已将不完整曲线进行了还原，求取了假定ZH（HZ）点处里程、坐标、以及切线方位角等数据，此时即可利用交点法进行曲线上任一待求点的坐标。

3 工程实例

以作者参建的某高速公路项目一小半径A 匝道设计曲线要素为例进行理论运用。设计曲线要素如表1 所示。

根据曲线要素表分析可知，该匝道设计线形为：JD1：起点（BP 点=HY 点）右转至YH 点、再右转至HZ 点；JD2：ZH（同上一曲线HZ 点）、左转至HY 点、再左转至YH 点；JD3:在R=240m与R=100m 两个不同半径的圆之间加设缓和曲线左转过渡至HY 点、再左转至YH 点、最后左转至HZ 点；JD4：ZH（同上一曲线HZ 点）、右转至HY 点、最后右转至YH 点。其中EP 点既为A匝道终点同时也为JD4 控制范围内最后一段曲线YH 点。

根据曲线计算原理部分中的叙述：JD3 控制曲线范围以内在R=240m 与R=100m 两个不同半径的圆之间加设缓和曲线为不完整曲线。

为验证不完整曲线还原理论方法，以下仅利用JD3 中提供的数据计算：

将A=145、R=100 代入A2=RS 可计算完整缓和曲线长度Ls=210.250m，实际缓和曲线段为122.646m，故假定ZH（HZ）点至实际缓和曲线起点处有210.250-122.646=87.604m 的理论长度，代入式（7），可求得此处缓和曲线的曲率半径R′=240.000，与设计JD2 提供的曲线半径完全相同。至此利用线元法进行电算时已具备完整输入条件。

同时可结合曲线计算原理部分对不完整缓和曲线进行还原，还原出假定ZH（HZ）点的里程、坐标及切线方位角。

依据JD3、JD2 坐标可计算JD3 至JD2 之间的坐标方位角：247°11′04″。依据JD3 坐标、里程及切线长，可计算实际曲线起点处坐标（8754.715，652.558）、里程：AK0+152.110。依据式（1）、（8）可计算b0=6°58′16.65″，故实际缓和曲线起点处至假定ZH 点之间的坐标方位角为：254°09′20.65″、假定ZH（HZ）点处切线方位角为：77°38′28.98″。依据式（3）、（4）、（5）即可得到假定ZH（HZ）点坐标数据（8730.834，568.413）。至此利用交点法进行电算时已具备完整输入条件。

为验证曲线还原方法的正确性，以上文中求得的假定ZH（HZ）点的里程、坐标、切线方位角作为起算数据，以线元法进行电算验证，以假定ZH（HZ）点推算BP 点坐标，结果如表2 所示。

结合表1、表2 中BP 点坐标值可以看出，ΔX=-1mm，ΔY=-6mm，误差产生的原因主要由计算过程中取位精度导致，而非计算方法错误；同时对于高速公路匝道施工测量而言，数据精度也在可控范围以内。

表1 A 匝道设计曲线要素表（考虑布局问题，删去前几位坐标）

表2 以假定ZH（HZ）点为起算数据推算BP 点坐标成果统计

4 结论

本文结合曲线计算原理，对完整缓和曲线的计算进行了详细说明，对不完整曲线的计算也提出了两种方法：一是利用既有数据计算曲线不完整端的曲率半径，为线元法电算提供已知数据；二是通过曲线还原，将假定ZH（HZ）点进行还原，求取其理论里程、坐标以及切线方位角，并结合作者参建的某高速公路一小半径匝道设计曲线要素进行了验证，通过数据验证，充分说明了计算方法的合理性，可为同类型曲线计算提供参考。