陈钰龙 苏开华 吴磊

摘要：矩形微通道已广泛用于均热板中，并且已有大量研究对微通道进行优化。为了对矩形微通道的尺寸进行优化，选择微通道的温度分布标准偏差作为标准。首先，根据 Navier –Stokes方程推导了矩形微通道的平均流速公式，然后，又推导了微通道的壁面温度分布公式，最后采用多项式拟合的方式对平均流速公式进行简化，得出微通道的温度分布标准偏差。数值研究表明，宽长比越大，温度分布越好。仅当宽度与深度的比率满足接触角的函数时，可以获得在微通道的纵向上的最佳温度分布。为均热板矩形微通道的尺寸优化提供了一定的理论计算依据，提出了以微通道的温度分布标准偏差最小作为优化的方向。

关键词：矩形微通道;平均流速;温度分布

中图分类号：TK124文献标志码：A文章编号：1009-9492（2021）11-0109-04

Optimization of Rectangular Microchannel of Vapor Chamber Based on Optimal Temperature Distribution

Chen Yulong1，Su Kaihua2， Wu Lei2

（1. Zhongshan Sansheng IOT Technology Co.， Ltd.， Zhongshan， Guangdong 528437， China;2. Department of Equipment Manufacturing， Zhongshan Torch Polytechnic， Zhongshan， Guangdong 528437， China）

Abstract： The rectangular microchannel has been extensively used in flat heat pipe and lots of study have been conducted to optimize thechannel on the maximum thermal conductivity in a microchannel. To optimize the size of the rectangular microchannel， the standard deviationof the temperature distribution of the microchannel is selected as the standard. First， the mean flow velocity was established by solving theNavier –Stokes equation. Then， the wall temperature distribution formula of the microchannel was derived. Finally， a polynomial fitting methodwas used to simplify the average flow rate formula， and obtain the standard deviation of the temperature distribution of the microchannel. Thenumerical investigation shows that the larger the ratio of width to length， the better the temperature distribution. Only when the ratio of width todepth satisfies a function of the contact angle， the best temperature distribution in longitudinal direction of the microchannel can be got. Theresearch provides a certain theoretical basis for the optimization of the size of the rectangular microchannel， and proposes the minimumstandard deviation of the temperature distribution of the microchannel as the optimization direction.

Key words： rectangular microchannel; mean flow velocity; temperature distribution

0 引言

电子元器件在使用过程中不可避免地都会出现发热，因此需要对其进行散热。而均热板具有高导热性的能力，特别适合用于冷却高功耗电子元件[1]，因此，对均热板散热性能研究具有重要意义。已经有大量的文献对均热板中的流动和传热特性进行研究，姜勇[2]对两款内部毛细芯结构不同的均热板进行数值分析，认为内部具有烧结铜粉柱体的均热板热性能更加优良;赵亮[3]测试了均热板和具有相同尺寸电子设备模块壳体在不同工况下的散热性能，发现均热板的均温效果优于同尺寸常规铝材模块壳体;基于植物叶片蒸腾作用带走大量热的特性，刘旺玉[4]提出了新型仿叶脉分形结构用以优化均热板的热结构;曹红[5]对功放腔体结构采用了一体化均热板的形式，解决了毫米波功率放大器芯片的散热问题，通过热仿真和热测试表明一体化均热板可有效降低功放芯片的工作溫度。然而，到目前为止，研究文献几乎都是关注均热板与其他类型散热器件的对比研究，而作为均热板的内部微通道的研究却很少有关注。本文关注温度在微槽道中的均衡性，通过基于温度分布均匀性这一标准对矩形微通道的尺寸进行优化，为均热板的优化提供一定的理论指导。

1 分析模型及矩形微通道平均流速

本文讨论的模型是一种毛细管通道，具有矩形横截面，并分布在叶脉状的分形结构中，如图1所示。假定微通道在纵向方向上长度为 l ，宽度为2W ，深度（高度）为 H （图1（b））。其他3个侧面由铜壁制成。

为了使计算更加方便，开放的微通道等效于图2中封闭的矩形通道的下半部分，因为开放通道表面中的流体和蒸气之间的内部黏性摩擦近似为0。对于封闭的微通道，由于其对称性，中间层界面的流速均相等。根据牛顿内摩擦定律，中间层流体之间的内黏性摩擦也为0。

毛细矩形槽道内的流动控制方程可以由 Navi- er-Stokes 方程得到，Navier-Stokes方程在本笛卡尔坐标系下的表达形式如式（1） 所示。其中， u=（u， v， w ）为速度矢量，μ为液体粘度，p 为毛细压。

本文中，毛细矩形槽道为充分发展好的流动满足以下条件：（1） 流动是稳定的，属于定常流动，因而各参量不随时间变化，即 =0;（ 2）流动速度在 y、z 轴方向的速度分量为0，只有 x 方向的速度，即p=0，w=0;（3） 流体为不可压缩流体，?.u =0; （4） 毛细压力在?p ?p对于毛细压力，重力影响很小，忽略重力因素，即g=0。

式（ 1）可简化为：

边界条件如下所示：

式中：b1、b2为速度滑移长度。

在水的自由界面处，剪切应力被忽略，因此：

根据牛顿内摩擦定律，得到：

为了计算公式（2），应有：

结合式（3）、（4）、（6），得：

其中，βn 满足：

结合（2）、（3）、（4）、（7） 得：

对于式（7），滑移长度 b 的数量级为10-3 mm[6]， βn 可以表示為：

然后，可以通过以下公式计算通过开放式微通道的总流量（定义为每单位面积的流量）：

结合式（8）（9），流量密度可以表达为：

Wang等[7]根据能量原理计算了入口和出口之间的毛细管压力差。在当前建立的坐标系中，毛细压力可以定义为：

式中：σ为表面张力;θ为接触角常数。而

则开放式微通道中的平均流速可以写为：

结合式（10）～ （13），得平均流速表达式为：

2 微通道的壁温

由于矩形通道中的温度分布非常复杂，因此可以假定通道横截面中的壁温是均匀的。 Wang[8]， Lee[9]和Aghanajafi[10]等许多研究通过水力直径研究了传热特性，即圆形微通道等效于矩形微通道。水力直径可以定义为：

与流场一样，温度场也可以分为入口段和充分发展段。在二维坐标系中，如图3所示，x 表示流速的方向。入口段温度场的长度可以表示为：

其中 Pe 是 Berkeley数，可以定义为：

式中：α为热扩散系数。

结合式（16）、（17），入口段温度场的长度可以写为：

其中α=1.11×10-4 m2/s[11]。H 和 W 的大小为10-1 mm ，uB的大小为10-1 mm/s ，因此 LT 的大小为10-5 mm 级别。因此，与微通道的长度相比，它非常小，可以忽略不计。在这项研究中，只考虑了充分发展的温度场。

2.1 x 方向流体温度分布

对于恒定热流，充分发展的温度场是相似的，满足：

式中： Tw 为壁温; TB 为流体的平均温度。

流体能量方程可以写成：

对于充分发展的温度场：

用式（22）代替式（21）中的v ，得：

其中导热系数 k 可以定义为：

由于通道是对称的，对式（23）在 y （0， d/2）内进行积分，并结合式（19），可以得到以下方程：

式中：q 为热通量。

2.2 x 方向的壁面温度分布

在恒热流条件下，TB 和 Tw 满足方程：

其中 h 是传热系数，可以定义为：

式中：Nu 为 Nusselt常数，假定 Nu 不会随x 改变。

结合式（25）～ （27）， x 方向的壁温分布可写为：

2.3 长度方向温度分布均匀性的标准

长度方向的平均壁面温度为：

壁面温度在长度方向的方差为：

其中标准偏差 s 被认为是长度方向温度分布均匀性的标准，可以通过式（28）～ （30）得：

其中 q 为负，因为微通道为散热。

3 结果分析

如前所述，滑移长度b 的数量级为10-3 mm ，几乎可以忽略。因此，不考虑滑移长度时，式（14）可以简化为：

式中：λ=H/W。

定义：

经过数值拟合后， f （λ）为关于λ的多项式，当 0.1<λ<1时，表达式如下：

结合式（32）～ （34），平均流速的简化形式可以表示为：

由于标准偏差 s 是微通道尺寸和uB的函数，而uB是微通道尺寸和接触角的函数，因此，可以推断出标准偏差 s 是微通道尺寸和接触角的函数。可以进一步推断出，在一定的微通道尺寸下可以获得最佳的温度分布。结合公式（31）、（35），标准偏差可以表达为：

为了获得标准偏差 s 的最小值，假设 l / H 是一个确定值，并定义：

对于铜的矩形微通道，有 cosθ=0.978，图 4所示为此时 g （λ）随深度与宽度的一半之比λ的变化曲线。由图可知， g （λ）首先在一定范围内随λ而减小，然后增大。因此，当 l/H 为常数，且满足0.75

式（38）表明，深度与宽度的一半之比λ对温度分布均匀性有很大影响。尽管它是根据铜通道的实验结果得出的，但仍然适用于其他材料。对于铜矩形微通道， cosθ=0.978，λ=0.6676，即长宽比为0.3338时，可以获得最佳的温度分布。

4 结束语

用数值研究的方法来优化微通道的长度方向上的温度分布均匀性。通过稳定的不可压缩的 Navier-Stokes方程，并经过多项式函数的拟合简化平均速度模型。在恒定热通量的条件下获得了微通道长度向上温度分布的函数，得出温度的标准偏差。经过数值研究，发现宽度与长度之比越大，温度分布均匀性就会越好，深度与宽度的一半之比满足接触角的函数时，可以得到最佳的温度分布。

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第一作者簡介：陈钰龙（1974-），男，陕西扶风人，硕士，工程师，研究领域为物联网技术。

（编辑：王智圣）