俞亚

[摘 要]“商不变规律”在有余数除法的应用中，对于余数的判断常常是难点。尤其是当遇到“300÷11○600÷22”这类比大小的习题时，学生的困惑就尤为明显：为何商一样，余数不一样，这两个算式却是相等的呢？要想突破这样的认知困惑，教师就要从知识的内在本质入手，借助直观手段，让学生明白余数的意义及其与除数的关系，无痕修复知识断层，最终破解教学难点。

[关键词]商;余数;除法;策略

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）20-0023-02

在四年级上册数学期末检测后，有一道习题的批改引起了一位学生的不解：“老师，这道题计算后明明是‘27……6>‘27……3，怎么是“=”呢？

经他这样一说，马上又有学生说：“您不是说过，‘实在看不出谁大谁小时，算一算不就知道了嘛。可算出来明明不一样，为什么填‘=却是对的？”

填“=”的学生站起来说：“左边式子的被除数和除数同时乘2，商不變，所以是等于……”

“不对！商虽然不变，但是余数变了，所以是不相等的。”在反对声中，原本认为相等的学生也开始动摇——虽然商不变，可余数的的确确不一样呀？两个算式还能用等号连接吗？

在学生的争论声中，笔者意识到了研究这个问题的必要性。

一、原因追溯

学生之所以对这道题存在争议，原因有三。

第一，所学知识的局限性。我们知道，判断结果是否相等，只要学习了小数除法，得到结果均是27.27，或用分数表示，结果都是300/11，那就可以确定是相等的。然而，现在学生还未学到小数除法和分数，只会用商带余数的方式来表示结果，结果的“同中有异”造成了学生的困扰。

第二，应试教育的副作用。在教学过程中，基于应试需求，我们有时会教给学生一些技巧来提高学生做题的正确率。尤其是在比大小一类的题中，有些学生不能利用观察来比出大小时，有的教师往往会说：“实在看不出谁大谁小，算一算不就知道了嘛。”在上例中，正是教师教给的应试技巧，学生放弃了用“商不变规律”来解决此题，而用了计算的方法，进而产生困惑。

第三，余数算理教学的简单化。这是问题产生的根源所在。学生应用“商不变规律”在有余数除法中进行简便计算时，教材直接采用讨论的方式展开。

我们看到，这里仅仅是让学生用验证的方法来解决“余数到底是多少”的难点。这样的教学，学生受到的是“被除数和除数同时除以10，商不变，余数变了”的强化记忆，却没有理解“为什么余数不一样”。算理教学的简单化为后续比大小埋下了“祸根”。

二、策略重构

那么，如何让学生利用现阶段的知识来解决文章开头所讲的困惑呢？笔者尝试进行了以下策略重构。

1.本质入手，借助直观，明晰余数所表示的含义

教学“商不变规律”在有余数除法中的简便计算时，对于“余数究竟是多少”，验算仅是一种表面的方法，实际上教师完全可以从本质入手——依托“计数单位”来给学生解惑。

首先，可改变例题数据，换成900÷40，这样余数正好是除数的一半，学生更容易理解。告知学生，把900÷40看成90÷4来简便计算，实际上就是在求“90个十”里面有几个“4个十”。通过计算，学生发现有22个，还剩“2个十”。（如下图所示）

其次，还可以通过直观图，让学生理解900÷40进行简便计算后余数2所表示的意义，如下图所示。

通过计数单位来理解余数所表示的意义，对于后续学生学习小数除法来说，也是有很大帮助的。

2.提早介入，情境支撑，体会余数与除数的关联

900÷40与90÷4的余数不同，正反映出余数与除数的关联。因此，在学生理解了把900÷40看作90÷4来简便计算时，余数该如何判定之后，教师应及时介入，出示判断题：900÷40=90÷4=22……2。

学生很快就判断出这样写是错误的，原因是900÷40的商是22，但余数应该是20。此时，教师追问：“看来，这个等式错在最后一步，两个算式的商一样，余数却不一样，那么前面一步‘900÷40=90÷4对吗？”由此，暴露出学生的困惑：如果按照商不变规律，这两个算式是相等的，但是它们的余数不一样呀！商不变规律可以用在不能整除的除法算式中吗？这两个算式的结果到底相等吗？这就直接聚焦于文章开头提到的学生心中之困惑了。

那么，如何引导学生理解结果是相等的？我们可以依托现实情境来解决。

把“900÷40”看成900个苹果平均分给40个小朋友，把“90÷4”看成90个苹果平均分给4个小朋友，“900÷40”是否等于”90÷4”，就在于每个小朋友分到的苹果是否一样多。

如何求证两个情境中每个小朋友分到的苹果个数是否一样？两种情况都是每个小朋友分到了22个，即商是一样的，余数不同。剩下的苹果就不能整个整个分了，但如果要继续分的话，过程可以用下图来表示。

两个算式最终的结果都是22个苹果加半个苹果，等式成立。至此，教师追问：“为什么余数不一样，我们通过分苹果却发现实际结果是一样的呢？”让学生观察得到：余数是不能单独比较的，还要根据除数进行判断。就如同20个苹果看上去多，但它对应的是平均分给40个人，而2个苹果看上去少，但它对应的却是平均分给4个人，这两种情况其实结果是一样的。

至此，学生就会深刻体会，在比较有余数除法结果的大小时，不能孤立地看待余数，而应关注与余数相对应的除数，要从两者之间的关联进行分析。

3.有意渗透，告知后续，实现知识之间的有效衔接

当学生通过具体情境明白了余数与除数的关联之后，我们可以继续做一件事：“同学们，刚才通过分苹果，我们发现‘900÷40与‘90÷4的计算结果实际上是相等的，那么到底是不是这样的呢？我们可以用计算器来验证一下。”通过计算器验证，学生清晰地看到900÷40=90÷4=22.5，由此确定之前的推理是正确的。接着，教师可以明确告诉学生：“其实，等到了五年级，我们学习了小数除法以及分数表示商之后，就可以用小数或分数来表示商。”

通过上述环节，一方面让学生提前了解有余数除法中商的不同表示方法，感受知识的延续性;另一方面，再一次让学生明确“商不变规律”在有余数的除法算式中依旧成立。

三、反思感悟

学生出现的错误，很大程度上印证着教师在教学中的疏漏与欠缺。这是在本次问题提出与解决过程中笔者的最大感受。幸好“亡羊补牢，为时不晚”，通过上述环节的明理之后，学生深刻领会了为何“商不变规律”在有余数除法中同样适用以及该怎么使用的问题。至此，学习过程中出现的暂时性的“知识断层”被修复，教学难点也终于得到破解。

由此，笔者深切体会到，在开展教学的过程中，教师既要站在学生已有知识能力水平的基础上去设计教学，又要应用足够的知识储备来预设问题，及时发现学生在学习过程中存在的疑点与困惑，真正做到未雨绸缪、有的放矢地开展教学。教师要始终站在知识的本质角度出发，努力去寻求新旧知识的联结点，适度改编教材，创新教学手段，让学生的困惑真切地获得破解与落地。

当然，另外值得一提的是，在教学中，教师应该多一点关注学生思维能力的培养，把握每一道习题的用意与初衷，切不可一味追求结果，再用一些所谓的“应试小技巧”来限制学生的思维。

（责编 李琪琦）