王红娟,刘 芳

(内江师范学院，四川 内江 641100)

1 引言

洪涝灾害会冲毁农田，造成农民的经济损失，因此需要修筑堤坝来防洪。 多属性决策方法就是从多种方案中选出最优方案，专家可以通过模糊集对建筑公司进行评价选择最好的建筑公司来修建堤坝， 这是因为专家很难通过精确的值来表达他们对建筑公司的评价。Zadeh[1]提出了模糊集的理论。Atanassov[2]提出了直觉模糊集的理论，其特征是隶属度和非隶属度的和小于等于1。 Yager[3]提出了毕达哥拉斯模糊集，其特征是隶属度的平方与非隶属度平方的和小于等于1。 当专家给出的隶属度的平方与非隶属度的平方和大于1，但三次或更高幂次的和小于等于1时，直觉模糊集和毕达哥拉斯集无法处理这类信息。因此，Yager[4]提出了q阶orthopair模糊集的概念， 它要求隶属度的q次幂和非隶属度的q次幂的和小于或等于1。可以看到当q=1和q=2时，q阶orthopair模糊数分别简化为直觉模糊数和毕达哥拉斯模糊数。近年来，q阶orthopair模糊数受到越来越多的关注[5～9]。

在实际问题中，许多现象服从正态分布[10,11]，如“灯泡使用寿命”和“股票价格”等。对于此，Yang和 Ko[11]介绍了正则模糊数。正则模糊数要更接近于人类的决策思考比三角形和梯形模糊数。许多学者对正则模糊数进行研究。Wang等[10]和Wang等[12]提出了直觉正则模糊数和运算规则以及聚合算子。在此基础上，一系列聚合算子被提出基于直觉正则模糊[14～16]。Yang等[17]提出了q阶orthopair正则模糊数，介绍了q阶orthopai正则模糊加权平均和q阶orthopair正则模糊加权几何等算子。

在q阶orthopair模糊环境中提出的许多属性决策问题没有将专家对方案的熟悉度纳入信息聚合中。多属性决策问题中专家根据属性只给出了对方案的偏好，也就是专家对方案的熟悉度(叫做置信水平)没有包括。因此，Joshi和Gegov[18]提出了基于置信水平的置信q阶orthopair模糊加权平均，置信q阶orthopair模糊有序加权平均，置信q阶orthopair模糊加权几何，置信q阶orthopair模糊有序加权几何。在q阶orthopair正则模糊环境中提出的许多属性决策问题没有将专家对方案的熟悉度纳入信息聚合中。 因此，本文提出了置信q阶orthopair正则模糊加权平均(CNFWA)和置信q阶orthopair正则模糊加权几何(CNFWG)基于置信水平在q阶orthopair正则模糊环境中。

本文主要由以下几方面构成：第二部分给出了正则模糊数、q阶orthopair模糊集、q阶orthopair正则模糊数、q阶orthopair正则模糊数比较大小的方法、q阶orthopair正则模糊加权平均和q阶orthopair正则模糊加权几何；第三部分介绍了置信q阶orthopair正则模糊加权平均和置信q阶orthopair正则模糊加权几何以及各自的幂等性和单调性，且有两个例子；第四部分介绍了一个多属性群决策方法基于置信水平，并且通过一个实例将提出的方法和现有的方法进行比较说明提出的方法更有效；第五部分给出结束语。

2 基础知识

2.1 正则模糊数

2.2 q阶orthopair模糊集

定义2[4]假设Z是一个给定的集合，定义在Z上的q阶orthopair模糊集合Ξ表示为：

Ξ={〈z,ηΞ(z),μΞ(z)〉|z∈Z},

其中0≤ηΞ(z),μΞ(z)≤分别表示z的隶属度和非隶属度满足0≤(ηΞ(z))q+(μΞ(z))q≤1,∀z∈Z(q≥1)。

一般地, 把(ηΞ(z),μΞ(z))叫做一个q阶orthopair模糊数，表示为ζ=(η,μ)。

定义 3[17]设Z是一个给定的集合,(η,μ)∈H,Θ=〈(α,σ),(ηΘ,μΘ)〉是一个q阶orthopair正则模糊集，当它的隶属度和非隶属度分别为：

其中0≤ηΘ(z)≤1,0≤μΘ(z)≤1,0≤(ηΘ(z))q+(μΘ(z))q≤1(q≥1)。

为了方便，将Θ=〈(α,σ),(η,μ)〉称为一个q阶orthopair正则模糊数。

Yang等[17]介绍比较q阶orthopair正则模糊数的方法。设Θ=〈(α,σ),(η,μ)〉,称S1(Θ)=α(ηq-μq)和S2(Θ)=σ(ηq-μq),H1(Θ)=α(ηq+μq)和HH2(Θ)=σ(ηq+μq),分别为Θ的得分函数和精确函数。

设Θ1和Θ2为两个q阶orthopair正则模糊数，则

(1)如果S1(Θ1)>S1(Θ2),则Θ1>Θ2;

(2)如果S1(Θ1)=S1(Θ2)并且H1(Θ1)>H1(Θ2),则Θ1>Θ2;

(3)如果S1(Θ1)=S1(Θ2)并且H1(Θ1)=H1(Θ2)则如果S2(Θ1)Θ2;

如果S2(Θ1)=S2(Θ2)并且H2(Θ1)Θ2;如果S2(Θ1)=S2(Θ2)并且H2(Θ1)=H2(Θ2),则Θ1=Θ2。

q-RONFWA(Θ1,…,Θm)

q-RONFWA(Θ1,…,Θm)=

3 q阶orthopair正则模糊聚合算子基于置信水平

下面将提出置信q阶orthopair正则模糊加权平均和置信q阶orthopair正则模糊加权几何算子。将专家的置信水平与评价方案融合在一起。

则称CNFWA为置信q阶orthopair正则模糊加权平均算子。

例1设Θ1=〈((0.4,0.03),(0.6,0.5)),0.3〉,Θ2=〈((0.7,0.04),(0.5,0.5)),0.6〉,Θ3=〈((0.6,0.04),(0.7,0.1)),0.5〉和Θ4=〈((0.5,0.02),(0.4,0.3)),0.8〉是4个q阶orthopair正则模糊数和它们的置信水平，令w=(0.25,0.2,0.3,0.25)T为它们的权重向量，q=3，则：

CNFWAq(〈Θb,lb〉,…,〈Θ4,l4〉)

CNFWA算子有幂等性和单调性：

(1)幂等性: 如果〈Θb,lb〉=〈Θ,l〉，∀b,即αb=α,σb=σ,ηb=η,μb=μ,lb=l，则：

CNFWAq(〈Θ1,l1〉,…,〈Θm,lm〉)=lΘ

CNFWAq(〈Θ1,l1〉,…,〈Θ,lm〉)≥C

则称CNFWG为置信q阶orthopair正则模糊加权几何算子。

例2设Θ1=〈((0.5,0.06),(0.5,0.4),0.5〉,Θ2=〈((0.1,0.07),(0.6,0.4),0.6〉,Θ3=〈((0.8,0.06),(0.5,0.5),0.6〉和Θ4=〈((0.7,0.01).(0.5,0.6),0.8〉是4个q阶orthopair正则模糊数和它们的置信水平，令w=(0.24,0.26,0.3,0.2)T为它们的权重向量，q=3，则：

CNFWGq(〈Θ1,l1〉,…,〈Θ4,l4〉)

CNFWG算子有幂等性和单调性：

(1)幂等性:如果〈Θb,lb〉=〈Θ,l〉，∀b,即αb=α,σb=σ,ηb=η,μb=μ,lb=l，则

CNFWGq(〈Θ1,l1〉,…，〈Θm,lm〉)=Θl。

4 多属性决策方法基于置信水平

下面给出关于CNFWG和CNFWG算法的步骤。

步骤3： 分别用q-RONFWA和q-RONFWG对γ=(Θrb)p×m每一行进行聚合得到Θr=((αr,σr),(ηr,μr))(r=1,…,p)；

步骤4：根据q阶orthopair正则模糊数比较大小的方法，得到最优方案。

例：某地农民通过专家的评价要从{Ψ1,…,Ψ4}这4家建筑公司里选一家来修筑堤坝，3位专家{Φ1,Φ2,Φ3}和他们的权重为0.3,0.35,0.35，公司的属性为技术(ϑ1)、经验(ϑ2)和成本(ϑ3)且权重为0.4,0.3,0.3，专家用q阶orthopair正则模糊数对建筑公司进行评价和他们的置信水平得到专家矩阵，如表1。

表1 专家矩阵

表2 决策矩阵

表3 决策矩阵

步骤3：用q-RONFWA和q-RONFWG对γ=(Θrb)p×m每一行进行聚合分别得到：

Θ1=〈(0.608,0.608),(0.644,0.411)〉,Θ2=〈(0.557,0.557),(0.698,0.359)〉,Θ3=〈(0.601,0.601),(0.679,0.400)〉,Θ4=〈(0.513,0.513),(0.615,0.394)〉,

Θ1=〈(0.787,0.099),(0.727,0.357)〉,Θ2=〈(0.751,0.123),(0.765,0.295)〉,Θ3=〈(0.770,0.084),(0.711,0.395)〉,Θ4=〈(0.721,0.086),(0.689,0.315)〉。

计算得分值分别为S1(Θ1)=0.149,S1(Θ2)=0.200,S1(Θ3)=0.181,S1(Θ4)=0.114,S1(Θ1)=0.315,S1(Θ2)=0.375,S1(Θ3)=0.269,S1(Θ4)=0.271。

根据步骤3四种方案的排序分别为Ψ2>Ψ3>Ψ1>Ψ4和Ψ2>Ψ1>Ψ4>Ψ3，虽然排序略微不同，但方案Ψ2是最优方案。

表4 不同方法的排序结果(q=3)

表4给出了不同方法的排序结果。 从中可以看到不同方法的排序结果有些不同，但是都是最优方案。 Yang等[17]介绍的方法是假设专家对所有方法都百分百熟悉的情况下对方法进行评价在q阶orthopair正则模糊环境中，但是在实际问题中由于各种限制专家不可能对所有方法都是百分百熟悉，这篇文章介绍的方法考虑了专家不完全对各家建筑公司都完全熟悉的问题在q阶orthopair正则模糊环境中，因此介绍的方法要更实用和有效。

5 结语

在q阶orthopair正则模糊情况下，现有的各种群决策方法都是假设专家对所有方案都百分百熟悉的情况下对方法进行评价，但是由于各种限制专家不可能对所有方案都是百分百熟悉。根据置信水平和q阶orthopair正则模糊数提出了CNFWA和CNFWG算子；进一步介绍了CNFWA和CNFWG各自的幂等性和单调性，将多属性群决策方法应用到实例中， 和Yang等[17]介绍的进行比较，说明本文所述方法更适用于决策问题。同样基于上述理由，在今后的工作中，将置信水平应用到语言环境中，这将是今后要做的工作。