乔赫廷 蔡高源

摘 要：本文基于SIMP拓扑优化方法，提出了一种新的拓扑优化模型，用于无铰链柔顺机构的拓扑优化设计。目的在于使机构在保证传输效率的同时具有更高的稳定性。根据目标函数相对于设计变量的变化，推导出其灵敏度。基于得到的灵敏度数值进行迭代计算，直到达到最优拓扑。最后，以反向位移机构为例，验证了本文提出的模型对于无铰链柔顺机构设计的有效性。

关键词：柔顺机构;拓扑优化;灵敏度分析

1 介绍

柔顺机构是通过其自身材料的弹性变形实现力或位移从输入端到输出端传递的整体式结构[1]。与传统的刚性机构相比，柔顺机构因其无须装配与润滑而具有运动无噪声、摩擦磨损小、可靠性高、易小型化等优点。因此柔顺机构被广泛应用于生物医疗器械、超精密定位、航空航天等高新技术领域中，成为机械设计行业热点之一[2]。

目前，柔顺机构主流的构型设计方法为拓扑优化方法（Topological optimization approach）。Ananthasuresh[3]于1994年首先基于拓扑优化的思想设计柔顺机构，为柔顺机构的设计开辟了一条新的道路。随后，许多学者针对柔顺机构的拓扑优化设计进行了探索性的研究。Euihark Lee等[4]针对柔顺机构局部应变高的问题提出了一种基于应变约束的拓扑优化方法。Daniel M.De Leon等[5]采用vonMises应力P范数近似最大应力的方式，将应力约束引入到柔顺机构拓扑优化模型中。Xiaojun Wang等[6]在考虑各种不确定因素基础上提出一种基于运动误差的柔顺机构鲁棒性拓扑优化方法。随着结构拓扑优化理论与方法的不断完善，柔顺机构拓扑优化的模型和与之相应的求解方法也日趋成熟。然而，基于传统优化模型所获得的最优拓扑形式通常存在虚铰（两个构件仅仅采用一个实体单元相连接的构型方式，如图1所示），导致柔顺机构具有伪刚体变形模式，即整体机构的变形集中于虚铰附近。

因此，如何避免柔顺机构中虚铰的出现就成了柔顺机构拓扑优化设计中的研究热点。G.H.Yoon等[7]利用多尺度小波拓扑优化公式设计柔顺机构以避免虚铰的产生。Luo等[8]提出了一种新的混合滤波方案来解决数值不稳定性问题，既能有效地消除棋盘格和网格依赖性，又能在一定程度上防止虚铰的产生。Luo等[9]通过控制结构中构件的尺寸，提出了无铰链式柔顺机构水平集方法。Zhang等[10]将制造性约束引入到优化模型中，来消除柔顺机构中难以制造的虚铰。

然而，在保证柔顺机构输出最大化的同时，其刚度无法进行有效的保障，具有较大的随机性。因此，提出一种具有理想刚度的无铰链柔顺机构设计方法就显得尤为重要。

本文以实现柔顺机构拓扑优化设计为研究对象，避免最优拓扑形式出现虚铰链为目标。提出了一种新的目标函数，旨在找出无铰链柔顺机构的柔度和刚度之间较为合适的平衡点，设计一种具有理想刚度的无铰链柔顺机构拓扑形式。

2 優化问题与优化模型设计

2.1 基于SIMP方法的传统拓扑优化模型

基于SIMP方法的传统拓扑优化模型以柔顺机构输出端的位移为目标函数，通过优化迭代计算使其最大化。具体的拓扑优化模型如下：

式中，目标函数C定义为输出端节点位移;K为系统的刚度矩阵;U为载荷F作用下的节点位移矢量;F为输入端加载的载荷;ve，xe，ue，ke分别代表单元e的体积，相对密度，节点位移及单元刚度矩阵;β为优化体积比;V0为设计域的初始体积;xmin为单元相对密度的最小极限值0，为防止求解时奇异，本文中取xmin=0.001。

采用基于SIMP方法的传统拓扑优化模型来设计柔顺机构时，其最优拓扑形式通常存在些许不足，以反向位移机构为例，最终优化结果如图2所示：

通过最终优化结果可以发现，基于SIMP的传统拓扑优化插值模型所得到的最优构型中存在明显的虚铰结构，导致了虚铰附近的应力集中，机构中应变能过大且难以小型化等问题。这也对实际生产机构的制造、性能、效率及使用寿命提出了不小的考研与挑战。究其根本原因在于构型中虚铰的存在。因此，在机构拓扑优化设计中，避免机构中虚铰的产生就显得尤为重要。

2.2 基于SIMP方法的改进拓扑优化模型

如图3a所示，Ω为给定载荷和边界条件的基本设计域。假设Fin为输入端i处的输入力，Fout为具有刚度为ks的弹簧在输出端j处模拟其他工件对柔顺机构施加的反作用力。以此来建立优化模型。高效的柔顺机构应该保证其输出端位移与输入端位移的比值最大化，即机构的几何增益GA=dout/din最大化。柔顺机构除了要具备一定的柔度来完成预期的工作外，还应保证自身具有一定的刚度来抵抗外力，保持自身的稳定性。如图3b所示，当优化模型的输出端j被固定时，机构自身就具备了一定的刚度来限制输入端的位移。为了找到柔顺机构中柔度和刚度之间较为合适的平衡点，提出如下线性加权拓扑优化模型：

式中SE=12uT3Ku3，其中U3为图3b中载荷作用下的节点位移矢量;α为权重系数;ve为优化后的单元体积;xe为优化后的单元相对密度;β为优化体积比;V0为设计域的初始体积;K为系统的刚度矩阵;xmin为单元相对密度的最小极限值0，为防止求解时奇异，本文中取xmin=0.001。为了便于求解，可将机构分解到两个特殊位置进行分析，如图3c、图3d所示。机构输入端位移din和输出端位移dout可以分别表示为：

式中dij=uTjKui/Fi表示在力Fj的作用下柔顺机构在i端口处的位移，其中u1、u2分别为图3c和图3d中载荷作用下的节点位移矢量;θ为位移组合系数。进而输入力Fin和输出力Fout可以分别表示为：

3 改进拓扑优化模型灵敏度分析

灵敏度分析意味着找到目标函数f（xe）相对于设计变量xe密度的导数。为了实现基于SIMP方法的拓扑优化，需要对其进行灵敏度分析来指导优化算法的搜索方向。

4 数值算例

反向位移机构的设计如图4所示，设计域取为80×80，利用平面4节点单元对设计域进行有限元离散处理。具体参数如下表所示：

该算例中几何增益GA与应变能SE比值取为11∶9。通过观察图5、图6、图7得，改进后的最优拓扑构型变形清楚地显示出输出端口（右边缘的中心）在向输出端口传输输入力的同时，按所需的方向移动，且最终输出位移远远大于传统优化模型位移。所得到的拓扑较使用传统SIMP优化方法获得的拓扑构型传输效率更高，且没有任何虚铰，避免了应力集中等一系列问题，更加符合实际生产中需求。

实例表明，所提出的基于SIMP方法的改进拓扑优化模型能够有效地解决无铰链柔性机构的设计问题，且优化后的构型能够在保证传输效率的同时使结构具有更高的稳定性。

5 结论

本文提出了一种适用于无铰链柔性机构设计的基于SIMP方法的改进拓扑优化模型。优化问题被表述为找出柔顺机构的柔度和刚度之间的平衡点。由于在目标函数中引入了应变能，成功地避免了铰链的形成且保证了柔顺机构的稳定性。数值算例表明，通过该模型设计的柔顺机构通过机构自身的弹性变形可以得到理想的输出位移和机构稳定性，证明了该模型对于无铰链柔顺机构设计的有效性。

参考文献：

[1]M.P.Bendse，Kikuchi N.Generating optimal topologies in structural design using a homogenization method[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering，1988，71（2）：197224.

[2]李兆坤，张宪民.多输入多输出柔顺机构几何非线性拓扑优化[J].机械工程学报，2009，45（1）：180188.

[3]Ananthasuresh G，Kota S.Designing compliant mechanism[J].Mechanical Engineering，1995，117（11）：9396.

[4]Euihark Lee，Hae Chang Gea.A strain based topology optimization method for compliant[J].Struct Multidisc Optim，2014，49：199207.

[5]Daniel M.De Leon，Joe Alexandersen，Jun S.O.Fonseca，et al.Stressconstrained topology optimization for compliant mechanism design[J].Struct Multidisc Optim，2015，52：929943.

[6]Xiaojun Wang，Xinyu Geng，Lei Wang，et al.Motion error based robust topology optimization for compliant mechanisms under material dispersion and uncertain forces[J].Struct Multidisc Optim，2018，57：21612175.

[7]G.H.Yoon，Y.Y.Kim，M.P.Bendse，et al.Hingefree topology optimization with embedded translationinvariant differentiable wavelet shrinkage[J].Struct Multidisc Optim，2014，27：139150.

[8]Luo Z，Chen L，Yang J，et al.Compliant mechanism design using multiobjective topology optimization scheme of continuum structures[J].Struct Multidisc Optim，2005，30（2）：142154.

[9]Luo J Z，Luo Z，Chen S K，et al.A new level set method for systematic design of hingefree compliant mechanisms[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering.Journals & Books，2008，198（2）：318331.

[10]Zhang Y H，Yang S，Ge W J，et al.Topology optimization of compliant mechanism based on minimum manufacturing constraints[J].Mechanism and Machine Science，2016：645656.

[11]Buhi T.Pedersen CBW.Sigmund O.Stiffness design of geometrically nonlinear structures using topology optimization[J].Struct Multidiscip Optim，2000，19（2）：93104.

基金項目：国家自然科学基金（51505298）;辽宁省自然科学基金计划重点项目（20170520143）资助项目;辽宁省教育厅一般项目（LJGD2019008）

作者简介：乔赫廷（1982— ），男，汉族，内蒙古人，博士，副教授，结构与多学科优化设计。