肖名炜，肖祥春*,丁明玲

(1.厦门理工学院应用数学学院，福建 厦门 361024；2.福建农林大学计算机与信息学院，福建 福州 350002)

Hilbert空间中的K-g-框架[1]是由肖祥春等把有界线性算子K作用于g-框架而得到的.正由于K-g-框架含有有界线性算子K，才使得K-g-框架的很多性质都与g-框架和经典框架不同.例如，算子序列{Λj∈B(H,Vj):j∈J}是H关于{Vj:j∈J}的K-g-框架，当且仅当其合成算子是有界的，且R(K)⊂R(T)[1]；而{Λj∈B(H,Vj):j∈J}是H关于{Vj:j∈J}的g-框架，则等价于其合成算子是有界满的[2].再者，对经典框架和g-框架而言，交错对偶涉及的两个序列是可交换的，但K-g-框架的K-对偶涉及的两个序列一般是不可交换的[3].关于g-框架和K-g-框架的更多内容，可查看文献[1-2,4-9].

经典框架的等式最早由Balan等[10]在寻找信号重构的算法时发现. 随后，经典框架、g-框架、Hilbert-Schmidt框架的许多著名等式和不等式相继被发现.关于框架的等式的更多内容可查看文献[10-16].

最近Poria[13]给出了Hilbert-Schmidt框架的若干个含有参数的等式和不等式，受此启发本文进一步给出K-g-框架的2种不同形式的含有参数的等式和不等式.正是由于这个参数，本文的等式和不等式更具有一般性，当含有的参数取特定的值时，可以得到许多关于经典框架和g-框架已有的著名等式和不等式.

本文采用如下记号：H,V为Hilbert空间，其内积记为〈·，·〉，范数为‖·‖.IH为Hilbert空间H的单位算子.B(H,V)表示H映射到V的所有有界线性算子的集合.特殊地，若H=V，B(H,V)简写为B(H)；若K∈B(H,V)，则R(K)和N(K)分别表示为有界线性算子K的值域和核空间.

1 K-g-框架的基本性质及主要引理

本节主要回顾K-g-框架的基本性质，并给出2个算子等式.

定义1[16]序列{Λj∈B(H,Vj):j∈J}称为H关于{Vj:j∈J}的g-框架，如果存在常数A,B>0使得

(1)

定义2[1]序列{Λj∈B(H,Vj):j∈J}称为H关于{Vj:j∈J}的K-g-框架，如果存在常数A,B>0使得

∀f∈H

(2)

设{Λj:j∈J}为H关于{Vj:j∈J}的g-Bessel序列，则{Λj:j∈J}的框架算子定义如下：

(3)

若{Λj:j∈J}还是H关于{Vj:j∈J}的K-g-框架，则根据文献[1]可知存在H中一个g-Bessel序列{Γj:j∈J}，使得

(4)

并称{Γj:j∈J}为{Λj:j∈J}的K-对偶.一般情况下{Λj:j∈J}和{Γj:j∈J}的位置是不可交换的[3].

接着给出2个有界线性算子的等式.

引理1设P和Q为Hilbert空间H上的有界线性算子，且满足P+Q=L,则对任意的参数λ，有如下等式成立：

Q*Q+λL*P-Q*L=P*P+(λ-1)L*L+

(1-λ)L*Q.

(5)

证明对任意的参数λ，通过如下计算可得

Q*Q+λL*P-Q*L=L*L+P*P-L*P-

P*L+λL*P-Q*L=L*L+P*P+

(λ-1)L*P-(P*L+Q*L)=L*L+P*P+

(λ-1)L*(L-Q)-L*L=P*P+

(λ-1)L*L+(1-λ)L*Q.

引理2设P和Q为Hilbert空间H上的有界线性算子，且满足P+Q=L,则对任意的参数λ，有如下等式成立：

Q*Q+λP*Q+L*P=L*L+(1-λ)P*P+

(λ-1)P*L.

(6)

证明对任意的参数λ，通过如下计算可得

Q*Q+λP*Q+L*P=(L-P)*(L-P)+

λP*(L-P)+L*P=L*L+P*P-L*P-

P*L+λP*L-λP*P+L*P=L*L+

(1-λ)P*P+(λ-1)P*L.

(7)

2 K-g-框架的等式和不等式

本节将给出K-g-框架含有参数λ的若干等式和不等式.当其中的参数λ取特定值时，本文的结论包含由Balan等[10]、Gavruta[11]、Li等[12]和Zhu等[16]得到的许多著名等式和不等式.

定理1设{Λj:j∈J}是H关于{Vj:j∈J}的K-g-框架，其K-对偶为{Γj:j∈J}，则对任意{aj}j∈J∈l∞(J)和参数λ有：

(i) 对λ∈i,有

(8)

(ii) 对λ∈[0,4], 有

(9)

证明因{Γj:j∈J}为{Λj:j∈J}的K-对偶，故式(4)成立.对任意{aj}j∈J∈l∞(J)，I⊂J，f∈H,定义算子P,Q:H→H如下：

(10)

容易验证P,Q∈B(H)，结合式(4)可得

P+Q=K.

(11)

对任意λ，根据引理1可得

Q*Q+λK*P-Q*K=P*P+(λ-1)K*K+

(1-λ)K*Q.

(12)

由此可得，对任意f∈H,

〈Q*Qf,f〉+λ〈K*Pf,f〉-〈Q*Kf,f〉=

〈P*Pf,f〉+(λ-1)〈K*Kf,f〉+

(1-λ)〈K*Qf,f〉.

(13)

把式(10)带入式(13)即可知式(8)成立.

对λ∈[0,4],有

λ‖Kf‖2=‖Pf‖2-λRe〈Pf,Kf〉+

(14)

从式(12)也可以推出

P*P-λK*P+λK*K=Q*Q+(λ-1)K*Q+

K*K-Q*K=Q*Q+(λ-1)K*Q+P*K.

(15)

结合式(14)和(15)可得

(λ-1)Re〈K*Qf,f〉+Re〈P*Kf,f〉=

Re[‖Qf‖2+(λ-1)〈K*Qf,f〉+

〈P*Kf,f〉]=Re〈(Q*Q+(λ-1)K*Q+

P*K)f,f〉=Re〈(P*P-λK*P+

λK*K)f,f〉=‖Pf‖2-λRe〈Pf,Kf〉+

因此式(9)成立.

如令K=IH，λ=1，则由定理1(i)可得到文献[14]的定理3.1.

对任意子集I⊂J， 令

(16)

则由定理1可得如下的推论.

推论1设{Λj:j∈J}是H关于{Vj:j∈J}的K-g-框架，其K-对偶为{Γj:j∈J}，则对任意子集I⊂J有

(ii) 对λ∈[0,4], 有

如仅令λ=1，则从定理1也可得如下推论.

推论2设{Λj:j∈J}是H关于{Vj:j∈J}的K-g-框架，其K-对偶为{Γj:j∈J},则对任意{aj}j∈J∈l∞(J)，有

证明令λ=1，则(i)和(ii)可由定理1直接得到.对于(iii)，在推论1(ii)中令λ=1， 则可得

移项即得到(iii).

接着给出K-g-框架的另一类型含有参数的等式和不等式.

定理2设{Λj:j∈J}是H关于{Vj:j∈J}的K-g-框架，其K-对偶为{Γj:j∈J}，则对任意{aj}j∈J∈l∞(J)和参数λ有

(17)

(18)

(19)

(20)

(v) 对任意λ∈[-3,1],有

(21)

证明设算子P,Q如定理1所定义，因为{Γj:j∈J}是{Λj:j∈J}的K-对偶，则可知式(4)成立.根据引理2可得，对任意的λ， 有

Q*Q+λP*Q+K*P=K*K+(1-λ)P*P+

(λ-1)P*K.

对任意f∈H,由此可得

‖Qf‖2+λ〈Qf,Pf〉+〈Pf,Kf〉=‖Kf‖2+

(1-λ)‖Pf‖2+(λ-1)〈Kf,Pf〉.

(22)

在式(22)中用P和Q的具体形式(10)代入即知(i)成立.

对任意f∈H, 根据式(22)可得

Re〈Pf,Kf〉=Re[‖Qf‖2+λ〈Qf,Pf〉+

〈Pf,Kf〉]=Re[‖Kf‖2+(1-λ)‖Pf‖2+

(λ-1)〈Kf,Pf〉]=‖Kf‖2+

(λ-1)Re〈Kf,Pf〉+(1-λ)‖Pf‖2=

(23)

因此(ii)成立.由式(23)也可得

移项可知(iii)成立.

另对λ≤1，有

‖Kf‖2+(λ-1)Re〈Kf,Pf〉+(1-λ)‖Pf‖2=

(1-λ)[‖Pf‖2-Re〈Kf,Pf〉]+‖Kf‖2=

(24)

结合式(22)和(24)可知(v)成立.

由式(24)也可得

(λ-1)Re〈Kf,Pf〉+(1-λ)‖Pf‖2≥

(25)

又因为λ≤1，从式(25)可得到

所以(iv)成立.

注3在定理2(v)中，令{Λj:j∈J}是H关于{Vj:j∈J}的界为A的紧g-框架(此时K=IH，Γj=1/AΛj)，且取λ=0，{aj}j∈J如式(16)定义，则可得文献[12]的定理3.1. 如令K=IH，λ=0， 则由定理2(v) 也可得文献[15]的定理4.1.