许广智，李一杰

(辽宁大学物理学院，辽宁 沈阳 110036)

狭义相对论是高校理工科物理课程中的重要内容.但由于狭义相对论效应发生在高能高速条件下，与生活经验相距甚远，学生们对相对论带来的时空观变革往往无感，对得到的与生活相悖的结论感到困惑.实际教学中，可以引入闵科夫斯基时空几何(时空图)来解释狭义相对论的相关问题，辅助理解[1].比如，利用时空图来解释尺缩钟慢效应[1-5]，容易使学生们理解为什么不能也不必问“究竟谁的尺更短”，“究竟谁的钟更慢”之类的问题[1,2].另外，利用时空图，也能够对双生子佯谬[1,6]、汽车入库[1,5]等问题给出直观的定性解释.取得较好的教学效果.

但是，另一方面，诸如多普勒效应、光行差等效应以及习题均涉及定量分析及计算，而教材及文献中多给出代数方法[5,7-12].利用时空图，能否对这些问题进行分析，答案是肯定的[1,13,14].本文下面内容中将介绍应用时空图进行定量计算的方法，并利用时空图讨论多普勒效应、光行差等问题.

1 应用时空图的定量计算方法

简单来说，应用时空图进行计算的步骤主要是绘制时空图，找出所求物理量在时空图中的对应，最后利用几何关系给出结果.许多文献给出了绘制时空图的详细方法[1-4]，这里不再详述.在下面几小节内容中对时空图中的几何关系说明几点.

1.1 时空图中线段的长度

时空图中线段的长度L，即两事件点的时空距离，由式(1)、(2)与其间隔s2相联系，其大小是绝对的实数值[6]，与选取的参考系无关.

s2=cΔt2-Δx2-Δy2-Δz2

(1)

(2)

1.2 时空图中两线间的角度

时空图中两线间的角度，数值上等于相对应的参考系间的相对快度，其大小也是绝对的.快度/角度具有相加性.由快度与速度的关系[15]

(3)

可知速度不具有相加性，只有在低速条件下

v=cthη≈cη+O(η)

(4)

图1 沿x轴方向运动两物体的二维时空图

(5)

(6)

可见，利用时空图中角度的相加性，速度变换转化为角度的线性运算，运算也变得简单.在一些复杂问题中，利用角度进行运算的便捷更为明显.比如在文献[18]中，讨论了相对论极限下角速度为ω，长度为R的长杆绕一端点转动问题，给出了不违背狭义相对论的杆外缘转动速度.这里利用角度相加性，容易重复出文献中的结果.

把长杆均分为n段，各段有相同角速度ω，内圈某节点参考系下观测下一节点的相对速度为

(7)

则相对快度为

(8)

利用相对快度的洛伦兹不变性和相加性，长杆外缘相对转动中心的快度为

(9)

最后，转动中心参考系中，观测长杆外缘速度为

(10)

1.3 时空图中的直角三角形

通过洛伦兹变换及快度定义可以证明时空图中两时空矢量A、B的点积定义为

A·B=AΤgB=AμgμνBν=|A||B|ch(ηA-ηB)

(11)

其中ηA-ηB是A、B之间的夹角.可见，点积定义在闵氏时空与三维欧氏空间中具有相同的形式，不同的是前者遵循双曲(罗巴切夫斯基，罗氏)几何，后者遵循三角(欧氏)几何.这也使得时空图下的直角三角形中的边角满足不同于欧氏空间的几何关系.例如，在图1中，AB⊥OB，所以△OBA是直角三角形，有

(12)

(13)

(14)

容易看到，直角三角形△OCA中也有类似关系.

1.4 三维时空图

图2 确定三维时空图中物体在S′参考系中的坐标

而ACBD是A点在S′系的等时面，此平面中的矢量均是空间矢量，长度角度依然遵循欧式几何关系.例如假设物体在S′系中在x′Oy平面与x′轴成θ′角运动，则

(15)

(16)

特别的，如果OA是类光矢量，则

(17)

th∠BOC=cosθ′

(18)

sh∠BOC=cotθ′

(19)

在处理三维时空图或者更复杂的四维时空图问题时，可以采用绘制S与S′系共同坐标平面(如图2中的xOct平面)的方法，利用上面等式关系将问题转化为二维问题.

thη′x=thη′ cosθ′=th(ηx-ξ)

(20)

(21)

thηychηx/ch(ηx-ξ)

(22)

利用双曲函数和差公式及式(3)即得x′与y′方向的速度变换公式.

1.5 两道例题

作为时空图法定量计算的例子，下面我们求解教材中的两道习题.

例1(文献[5]第6章习题4)：一辆以速度v运动的列车上的观察者，在经过某一高大建筑物时，看见其避雷针上跳起一脉冲电火花，电光迅速传播，先后照亮了铁路沿线的两铁塔.求列车上观察者看到的两铁塔被电光照亮的时刻差.设建筑物及两铁塔都在一直线上，与列车前进方向一致.铁塔到建筑物的地面距离已知都是l0.

解答：此题问题分两种情况：1) 铁塔分别被照亮后反射光线到达观察者的时刻差；2) 铁塔分别被照亮时在观察者参考系的时刻差.绘制如图3两时空图分别对应两种情况.线OC为列车上观察者世界线，虚线是电光世界线，点线为辅助线.

图3 列车观察者观测电光照亮铁塔的时空图

(23)

电光在任一惯性系中快度的双曲正切值都为1:

th∠ACB=th∠ADB=1

(24)

(25)

(26)

(27)

∠CAB=∠DBA=η

(28)

(29)

(30)

(31)

所以，两种情况结果相差2倍.

例2(文献[5]第6章习题2)：设有2根互相平行的尺，在各自静止的参考系中的长度均为l0，它们以相同速率v相对于某一参考系运动，但运动方向相反，且平行于尺子.求站在一根尺上测量另一根尺的长度.

解答：绘制图4时空图，线LA、LC分别是沿x正方向运动尺子(尺1)两端世界线，LB是相对尺1静止参考系中等时线(空间轴)，尺子两端世界线所夹LB上的长度即l0.相对另一尺子(尺2)静止参考系中时间轴及空间轴分别为LD和LE.LA、LC所夹LE上的长度即尺2参考系中测量的尺1长度.注意到LB与LC垂直，LB、LE与x轴夹角均为η，可得

图4 反向运动两尺的时空图

(32)

2 其它若干问题

光多普勒效应、光行差等是相对论的重要实验证据.对这些效应的讨论，文献中采用不同的方法[7-12].下面我们应用时空图法来进行分析.

2.1 光多普勒效应

某参考系中测量光信号的波长，即是在此参考系同时面上测量光信号相邻波峰所在波阵面之间的空间距离.由于同时的相对性，光源相对观察者移动时，测量到光波长与光源静止时不同.同时与光波传播方向相关.下面分3种情况(光信号传播方向与光源与观察者相对运动方向平行、垂直、成夹角)分别进行讨论.

图5 光源与光线平行时光波的多普勒效应时空图

(33)

(34)

(35)

图6 光源与光线垂直时光波的多普勒效应时空图

(36)

(37)

(38)

图7 光源与光线有夹角时光波的多普勒效应时空图

(39)

(40)

(41)

当θ取0和π/2时，结果回归到第一、二种的平行和垂直情况.上面我们求解了多普勒效应中的光波波长，也可以采用类似方法求解相邻波峰到达同一空间位置时测量的光波周期.

2.2 光行差

设远处光源在S系下距离原点空间距离为d，与x轴夹角为θ，光线在原点的时空点到达沿着x轴正方向运动的观测者.如图8，考虑xOct平面的时空图，AO是光源出射光线世界线在此平面的投影.根据式(18)、(19)，有sh∠ξ=cotθ,ch∠ξ=cscθ.AC是S′系上相等x值坐标平面在此平面的投影，OC⊥AC，sh∠OAC=cotθ′.因此得到

图8 光行差时空图

(42)

2.3 运动平面镜反射问题

平面镜沿x轴运动，镜面垂直运动方向，波长为λ0平面波与运动方向成夹角θ0入射，求反射光波波长及反射角.(参考文献[5]第六章习题10)

图9 光线被运动平面镜反射的时空图

(43)

chξ=cscθ0,shξ=cotθ0

(44)

γ-2sinθ0/(1+β2+2βcosθ0)

(45)

λ=dsinθ,λ0=dsinθ0

(46)

(47)

3 结论

利用时空图，能够使学生对相对论时空观有更清晰的认识，明确事件点具有绝对时空位置、相对时空坐标的含义[19].同时，时空图中自然地包含了不同参考系间的洛伦兹变换规则，利用时空图学生不必记忆诸如洛伦兹变换、速度变换等公式，仅需要熟悉双曲函数运算规则，就能对相对论中的问题进行定量分析计算.这能使学生绕开较为繁琐的代数计算，更好地帮助他们理解其中的物理内容.