曹利民，王伟，郭宗和

(山东理工大学 交通与车辆工程学院，山东 淄博 255049)

各种设备产品在工作过程中产生的振动对设备的使用性和安全性都会造成一定程度的影响，降低设备的使用效果和使用效率，减小设备在使用过程中的振动可以使设备的使用性能和安全性得到提高。王巍等[1]设计了一种新型的压电作动器，这种作动器由一片压电片粘贴在一个弓型梁底座上构成，使用时将底座粘贴于被控结构上，压电片驱动弓型梁底座弯曲变形进而对被控结构产生作动效果;经过分析对比发现，拱形压电作动器与传统压电片作动器相比具有更好的控制效能及良好的使用灵活性，特别是对高阶模态的控制效果要优于传统压电片作动器，这种弓型梁构型设计在振动压电能量收集技术上具有一定的应用潜力。Foutsitzi等[2]对用于梁结构压电作动器的最佳电压和最佳位置进行了数值研究，建立了基于Timoshenko梁理论的压电作动器性能有限元模型，证明了所提出的混合遗传算法具有确定控制作动器在可能位置内的最佳电压和位置的能力。Wang等[3]从可控性角度出发，研究了在梁上布置压电片的最佳位置及其尺寸，通过最大化可控性角度得出压电作动器的优化设计指标，分析了一对压电片作动器在各种梁上的示例，为压电作动器的结构振动控制提供了工具，并且给出了压电耦合结构性的定量指标。Zhang等[4]介绍了一种新的尺蚯蚓型压电作动器，并设计了一个具有高压驱动和闭环控制系统的实验系统，建立了模拟动态模型；仿真结果表明，所设计的闭环控制器可以精确控制压电作动器的动作。除此之外，文献[5-15]分别对压电陶瓷能量收集、三稳态能量收集、压电作动器的控制、不同形式的新型压电作动器以及压电材料在其他方面的应用进行了研究。

本文研究一种新型的对设备和装置进行变形和振动衰减的拱形压电作动器装置，结合卡式第二定理推导作动器输出力表达式，并通过仿真分析进行验证。

1 拱形压电作动器的结构模型

高精度拱形压电作动器的结构模型如图1所示，该拱形压电作动器由拱形装置、压电堆以及振动设备组成。其中，拱形装置与振动设备之间以及压电堆与拱形装置和振动设备之间都通过环氧树脂胶进行粘接。通过给压电堆通入电压可使压电堆产生力和变形，该压电堆产生的力和变形通过拱形装置传递到振动设备上，并与振动设备产生的振动进行相互作用，从而对振动设备起到衰减变形和振动的作用。

图1 拱形压电作动器结构模型Fig.1 Structural model of arched piezoelectric actuator

2 拱形压电作动器的设计

2.1 理论解计算

压电堆通入不同的电压时，在竖直方向上会产生大小不同的位移和作用力，将该拱形压电作动器装置进行简化，其受力作用情况如图2所示。

图2 拱形装置受力情况Fig.2 Force of arch device

因为该拱形装置为对称结构，所以可根据正对称关系对结构进行简化求解。图2中的A处也有作用力，但由于该处是与悬臂梁的粘贴部位，对于理论计算的影响较小，因此将该处的受力给予省略，其力学简化模型如图3所示。下面利用卡式第二定理进行结构分析。

图3 力学简化模型Fig.3 Simplified mechanics model

根据图3中的受力关系可知，AB段的弯矩和轴力分别为：

M1=M0+FRcosθ-FNR(1-sinθ)，

(1)

FNx=Fcosθ,FNy=FNsinθ；

(2)

AO段的弯矩和轴力分别为：

M2=-M0-FR+FNR，

(3)

FNL=FN,

(4)

式中:F为压电堆产生的作用力;M1、M2分别为AB段和AO段的弯矩;FNx、FNy分别为AB段在水平方向和垂向的轴力;FNL为AO段的轴力;θ为拱形装置受压电力方向与水平方向的夹角;R为拱形半径。

拱形结构的变形能为

(5)

式中:E1、A1、Iz1分别为拱形装置的弹性模量、横截面积、转动惯量；E2、A2、Iz2分别为悬臂梁的弹性模量、横截面积、转动惯量。

将变形能的公式分别对M0和FN求偏导，可得：

(6)

(7)

令F=1并将其代入公式(1)至(7),可求得FN和M0。

分别对M1和M2求导得：

(8)

(9)

根据莫尔积分法可得拱形装置在单位载荷下的位移，即

(10)

由此可求得拱形装置的刚度

k=F/δΔ。

(11)

在压电堆上施加电压U后，可得压电堆的位移，即拱形装置在电压U下的变形量

δ=d33nU，

(12)

式中：d33为应变系数；n为压电片个数；U为驱动电压。

则压电堆在通入电压U下所产生的力为

F=kδ，

(13)

因此作用在振动设备上的弯矩为

M=M0+FR-FNR。

(14)

拱形装置产生的弯矩值越大，在一定的变形范围内对振动设备的变形和振动的衰减效果也就越好。该弯矩可以将振动设备本身产生的一部分振动进行抵消，从而达到衰减变形和振动的作用。

2.2 建模仿真

将该拱形压电作动器应用于悬臂梁上，使用ANSYS软件对其进行建模仿真。

悬臂梁和拱形装置的单元均为SOLID45。SOLID45单元用于构造三维固体结构，单元通过8个节点来定义，每个节点有3个沿着x、y、z方向平移的自由度；单元具有塑性、蠕变、膨胀、应力强化、大变形和大应变能力。压电堆的单元为SOLID5，SOLID5具有三维磁场、热场、电场、压电场和结构场分析能力，并能在各场之间实现有限的耦合；本单元有8个节点，每个节点最多有6个自由度；压电堆的使用型号为PZT-5A，其参数如下[16]：

刚度CE为

1010N/m2，

(15)

压电应力常数e为

(16)

介电常数ε为

(17)

在ANSYS中输入以上压电堆参数，建立拱形压电作动器以及悬臂梁模型，并进行其他材料属性的设置和网格划分，悬臂梁、拱形装置和压电堆均采用六面体网格划分。其中，悬臂梁的尺寸为500 mm×50 mm×5 mm；拱形装置的内半径为17 mm，宽度为30 mm，厚度为4 mm；压电堆的高度为12 mm，宽度为10 mm。最后给压电堆施加电压，进行仿真求解。

将该装置应用于悬臂梁上，其仿真模型如图4所示。模型悬臂梁左端为完全固定约束，各部件之间通过粘贴组合在一起，对压电堆施加电压后，对其进行仿真分析，其变形结果如图5所示。

图4 拱形压电作动器在悬臂梁上的应用模型Fig.4 Application model of arched piezoelectric actuator on cantilever beam

图5 仿真变形结果Fig.5 Simulation deformation results

不断改变通入压电堆的电压大小，对不同电压下悬臂梁的变化情况进行仿真，将仿真结果与理论计算结果进行对比(如图6所示)，发现两者结果基本吻合，证明了理论计算的正确性。但从图6中可以看出，仿真分析结果与理论计算结果有细小的偏差，这是由仿真分析中网格划分的细密程度导致的。因此，仿真分析与理论计算结果是一致的。

图6 仿真结果与理论计算结果对比图Fig.6 Comparison between simulation results and theoretical calculations results

通过图6也可以看出，拱形压电作动器的作用效果与压电堆通入电压的大小是成正比例关系的，压电堆通入的电压越大，其使悬臂梁产生的位移也就越大，对于悬臂梁的变形和振动的衰减效果也就越好。

压电堆不通电压的情况下，在悬臂梁端部施加一个正弦载荷，将悬臂梁在该载荷下端部随时间变化的位移与压电堆通入电压后同样正弦载荷作用下悬臂梁端部随时间变化的位移进行比较，观察该拱形装置所起到的振动和变形的衰减作用，其比较结果如图7所示。

图7 悬臂梁在正弦载荷下的端部位移Fig. 7 End displacement of cantilever beam under sinusoidal load

由图7可以看出，拱形压电作动器对施加正弦载荷后悬臂梁的振动和变形有一定程度的衰减作用。

压电堆不通电压的情况下，在悬臂梁端部施加一个冲击载荷，将悬臂梁在该载荷下端部随时间变化的位移与压电堆通入电压后同样冲击载荷作用下悬臂梁端部随时间变化的位移进行比较，观察该拱形装置所起到的振动和变形的衰减作用，其比较结果如图8所示。

图8 悬臂梁在冲击载荷下的端部位移Fig. 8 End displacement of the cantilever beam under impact load

由图8可以看出，该拱形压电作动器可以有效减小悬臂梁的振动幅度，对振动有一定的衰减作用，提高了悬臂梁的使用稳定性。

3 拱形压电作动器的参数优化及分析

3.1 拱形压电作动器的参数优化

通过对称性可知，B点的转角和弯矩都为0，因此有

(18)

将式(6)和式(7)化简可得：

(19)

(20)

联立方程组(19)和(20)并求解，可以得到轴力FN和弯矩M0分别为：

FN=(8-2π)FR2A1A2E22Iz2/(π2R2E22A1A2Iz2+

2πR2E1E2A1A2Iz2+π2E22A2Iz1Iz2+

2πE1E2A2Iz12+4πE1E2A1Iz1Iz2+

8E12A1Iz22-8R2E22A1A2Iz2)，

(21)

M0=-FR(4E12Iz12A1+πIz12E2A2E1+

πR2E2A1A2E1Iz1+8E1Iz1Iz2A1E2+

2πIz1E22Iz2A2-12R2A1A2E22Iz2+

4πR2A1A2E22Iz2)/(π2R2E22Iz2A1A2+

2πR2E2A1A2E1Iz1+π2Iz1E22Iz2A2+

2πIz12E2A2E1+4πE1Iz1Iz2A1E2+

8E12Iz12A1-8R2A1A2E22Iz2)。

(22)

引入以下无量纲参数：

(23)

在式(21)和式(22)中代入相应数据并通过式(23)对其进行化简，得到轴力FN和弯矩M0如下：

(24)

M0=FR(1.2288×10-5α2+8.8495R2+

1.309×10-4+α(0.1508R2+1.0011×10-4))/

(2.4576×10-5α2+0.2921R2+2.0562×10-4+

α(0.3016R2+1.6588×10-4))。

(25)

通过拱形压电作动器的仿真分析与理论计算的对比可知，该拱形压电作动器的作用效果随压电堆通入电压的增大而越来越好。因此，在压电堆的作用下，作用在悬臂梁上的M0和FN会随着压电堆通入电压值的变化而不断变化，从而改变该拱形压电作动器的作用效果。由公式(14)可知，当M0的数值越大、F的数值越大以及FN的数值越小时，该拱形装置作用在悬臂梁上的弯矩也就越大，即对悬臂梁的作用效果也就越好，对悬臂梁的变形和振动的衰减能力也就越强。总的来说，当弯矩M的值越大，该装置的作用效果越好。

3.2 材料对作用效果的影响

改变悬臂梁和拱形装置的材料，即在表达式中改变各种材料的弹性模量，观察在不同材料组合下拱形装置对振动的衰减能力。不同材料的组合方式下，拱形装置对悬臂梁产生的弯矩M见表1。

表1 拱形装置与悬臂梁在不同材料组合下产生的弯矩Tab.1 Bending moments produced by arching device and cantilever beam under different material combinations

由表1可以看出，在不同材料的组合下，拱形装置对悬臂梁产生的弯矩不同。拱形装置的材料为球墨铸铁、悬臂梁的材料为铝合金时，拱形装置对悬臂梁产生的弯矩比较大，即α的值越大，拱形装置输出的力矩也就越大。当拱形装置的弹性模量远大于悬臂梁的弹性模量时，拱形装置对悬臂梁的振动和变形的衰减能力比较强。

3.3 压电材料类型及作用面积对作用效果的影响

改变压电材料的类型以及压电堆的作用面积，分析比较压电材料的类型和作用面积对拱形装置作用效果的影响。对使用PZT-5A和PZT-4为压电材料的压电堆进行分析，其中PZT-4的参数如下：

刚度CE为

1010N/m2，

(26)

压电应力常数e为

(27)

介电常数ε为

(28)

分析结果如图9所示。

图9 不同压电材料和作用面积下的悬臂梁端部位移Fig.9 Displacement of the end of the cantilever beam under different piezoelectric materials and active areas

压电应力常数是衡量材料压电效应强弱的参数，它直接关系到压电输出的灵敏度。由图9的仿真分析结果可以发现，在两种不同压电材料的压电堆中，PZT-5A的作用效果要优于PZT-4的。

压电堆的作用面积越大，对于装置的作用效果越好。从图9中可以看出，两种压电材料的压电堆在不同作用面积下作用效果的变化规律是一样的，因此由一种压电材料的变化规律即可得到其他压电材料的压电堆在不同作用面积下的变化规律。

3.4 电压对作用效果的影响

在不同的电压下，压电片通过拱形装置对悬臂梁粘接处所产生的弯矩M的变化如图10所示。

图10 拱形装置产生的弯矩随电压的变化Fig.10 Variation of bending moment produced by arched device with voltage

由图10可知，该拱形装置对悬臂梁产生的弯矩随着对压电堆施加电压的增大而增大，说明压电堆通入的电压越大，对悬臂梁振动衰减的效果也就越好。

3.5 半径对作用效果的影响

在悬臂梁和拱形装置材料属性和其他参数不变的情况下改变拱形装置的跨度，即改变半径R，观察拱形装置在不同的半径下对悬臂梁产生的弯矩作用。半径大小的影响如图11所示。

图11 拱形装置半径对悬臂梁产生的弯矩Fig.11 The bending moment of the radius of the arched device on the vibration equipment

由图11可知，拱形装置的半径越大，其对悬臂梁产生的力矩也就越大，作用效果也就越好。但是半径也不是越大越好，半径越大，拱形装置的体积也就越大，所占空间也就也大。因此，要整体考虑半径对悬臂梁的适用性。

通过对拱形装置的参数进行优化，可以找到在不同情况下更加适合的参数，使拱形装置在使用过程中能够有更好的作用效果。

4 结论

本文针对拱形压电作动器进行了结构分析和参数优化，使得该装置在振动衰减过程中能够发挥更好的振动和变形的衰减效果。结论如下：

1)在拱形装置材料的弹性模量远大于悬臂梁的弹性模量时，拱形装置对振动和变形的衰减作用越好。

2)不同压电材料对装置的作用效果不同，PZT-5A的作用效果要好于PZT-4的作用效果。

3)压电材料的作用面积越大，拱形装置的作用效果越好。

4)拱形装置的半径不同，对振动和变形的衰减效果也不同。拱形装置的半径越大，对振动和变形的衰减效果也就越好，但是半径的大小也要根据悬臂梁的实际尺寸来确定。

5)从压电材料的正压电效应来看，该拱形压电作动器在进行振动能量收集方面有一定的发展潜力，可以对振动能量进行回收利用，提高能源的利用效率。