林志强

( 福州理工学院,福建 福州 350506 )

0 引言

在文献[1]中，作者研究了带有固定局部化源的抛物型方程组

得到了该方程组唯一非负古典解的存在性以及解的全局存在性的充分条件和该方程组在有限时间解的爆破性，并证明了在某一适当的条件下解的爆破集是整个区域.在文献[2]中，作者研究了如下带有非局部源的抛物型方程组：

作者得到了该方程组局部解的存在唯一性，并用上下解的方法得到了该方程组解的整体存在性和有限时刻爆破的充分条件.在文献[3]中，作者研究了带有局部源的抛物型方程整体解的存在性和解的爆破性.在文献[4]中，作者研究了带有非线性局部源的抛物型方程组解的一致爆破模式和边界层问题.在文献[5]中，作者研究了带有局部源的渗流方程整体解的有界性.在文献[6]中，作者研究了带局部源的退化抛物方程(渗流方程)解的爆破性.在文献[7]中，作者研究了带局部源的退化和奇异的抛物方程解的爆破性.在文献[8]中，作者研究了带局部源的弱耦合退化和奇异抛物方程组整体解的存在性和解的爆破性.受以上文献的启发，本文讨论下列方程组：

(1)

问题(1)不仅可以用于描述带有内部局部源项的几何体的热传导问题[9]，还可以用于描述某些动力系统发生在一点、几点甚至某曲线处的物理现象[10-11]，因此研究问题(1)具有重要的现实意义.

1 比较原理

为讨论问题(1)的非负古典解的唯一性，首先给出问题(1)上下解的定义.

定义1称非负函数(u(x,t),v(x,t))为问题(1)的上解，如果(u(x,t),v(x,t))∈[C([0,a]×[0,T))∩C2,1((0,a)×(0,T))]2且满足

(2)

类似地,如果(u(x,t),v(x,t))∈[C([0,a]×[0,T))∩C2,1((0,a)×(0,T))]2满足问题(2)的反向不等式，则称其为问题(1)的下解.

ut-(xαux)x≥μ1(t)λ1(x0(t),t)u(x0(t),t)+ν1(t)θ1(x0(t),t)v(x0(t),t),

(x,t)∈(0,a)×(0,T);

vt-(xβvx)x≥μ2(t)λ2(x0(t),t)v(x0(t),t)+ν2(t)θ2(x0(t),t)u(x0(t),t),

(x,t)∈(0,a)×(0,T);

u(0,t)≥0,u(a,t)≥0,v(0,t)≥0,v(a,t)≥0,t∈(0,T);

u(x,0)≥0,v(x,0)≥0,x∈[0,a],

则有u(x,t)≥0,v(x,t)≥0,(x,t)∈[0,a]×[0,T).

(3)

则

w(x,t)≥0,z(x,t)≥0,(x,t)∈Ωr.

(4)

令w(x,t)=u(x,t)+ηec t,z(x,t)=v(x,t)+ηec t，其中η(η>0)充分小，C是待定的常数,则在Ωr边界上有w(x,t)>0,z(x,t)>0,且

wt-(xαwx)x-μ1(t)λ1(x0(t),t)w(x0(t),t)-ν1(t)θ1(x0(t),t)z(x0(t),t)≥

ηec t(c-μ1(t)λ1(x0(t),t)-ν1(t)θ1(x0(t),t));

zt-(xβzx)x-μ2(t)λ2(x0(t),t)z(x0(t),t)-ν2(t)θ2(x0(t),t)w(x0(t),t)≥

ηec t(c-μ2(t)λ2(x0(t),t)-ν2(t)θ2(x0(t),t)).

(5)

则(w(x,t),z(x,t))≥(≤)(u(x,t),v(x,t))，(x,t)∈[0,a]×[0,T).式(5)中r∈(0,T).

证明首先证明“ ≥ ”的情况.令φ1(x,t)=w(x,t)-u(x,t),φ2(x,t)=z(x,t)-v(x,t)，并将方程(5)减去问题(1)，则根据中值定理有：

φ1t-(xαφ1x)x≥emw(x0(t),t)+n z(x0(t),t)-em u(x0(t),t)+n v(x0(t),t)=emw(x0(t),t)+n z(x0(t),t)-

em u(x0(t),t)+n z(x0(t),t)+em u(x0(t),t)+n z(x0(t),t)-em u(x0(t),t)+n v(x0(t),t)=en z(x0(t),t)[emw(x0(t),t)-em u(x0(t),t)]+

em u(x0(t),t)[en z(x0(t),t)-en v(x0(t),t)]=en z(x0(t),t)mem η1φ1(x0(t),t)+em u(x0(t),t)nen η2φ2(x0(t),t)=∶

μ1(t)λ1(x0(t),t)φ1(x0(t),t)+ν1(t)θ1(x0(t),t)φ2(x0(t),t),

φ2t-(xβφ2x)x≥eq z(x0(t),t)+p w(x0(t),t)-eq v(x0(t),t)+p u(x0(t),t)=eq z(x0(t),t)+p w(x0(t),t)-

ep w(x0(t),t)+q v(x0(t),t)+ep w(x0(t),t)+q v(x0(t),t)-eq v(x0(t),t)+p u(x0(t),t)=(eq z(x0(t),t)-eq v(x0(t),t))ep w(x0(t),t)+

(ep w(x0(t),t)-ep u(x0(t),t))eq v(x0(t),t)=ep w(x0(t),t)qeq η3φ2(x0(t),t)+eq v(x0(t),t)pep η4φ1(x0(t),t)=∶

μ2(t)λ2(x0(t),t)φ2(x0(t),t)+ν2(t)θ2(x0(t),t)φ1(x0(t),t).

其中η1和η3是u和w的中间值,η2和η4是v和z的中间值.由上述可知φ1(x,t)和φ2(x,t)满足:

φ1t-(xαφ1x)x≥μ1(t)λ1(x0(t),t)φ1(x0(t),t)+ν1(t)θ1(x0(t),t)φ2(x0(t),t),

(x,t)∈(0,a)×(0,r);

φ2t-(xβφ2x)x≥μ2(t)λ2(x0(t),t)φ2(x0(t),t)+ν2(t)θ2(x0(t),t)φ1(x0(t),t),

(x,t)∈(0,a)×(0,r);

φ1(0,t)≥0,φ1(a,t)≥0,φ2(0,t)≥0,φ2(a,t)≥0,t∈(0,r);

φ1(x,0)≥0,φ2(x,0)≥0,x∈[0,a].

对任意r∈(0,T),由引理1知(φ1(x,t),φ2(x,t))≥(0,0)，所以在[0,a]×[0,T)上有w(x,t)≥u(x,t),z(x,t)≥v(x,t).因“ ≤ ”的证明与“ ≥ ”的情况类似,故省略.综上,引理2得证.

2 解的有限时间爆破性

定理1假定(u,v)是问题(1)的非负解，则(u,v)在有限时刻爆破，且爆破集为(0,a).

3 解的同时爆破性

为了证明问题(1)的解存在全局爆破和爆破集，本文假设：

(H)α,β∈(0,1),且对于常数M1和M2有(xαu0x)x≤M1,(xαv0x)x≤M2,x∈(0,a).

引理3令假设(H)成立，则问题(1)的解(u(x,t),v(x,t))满足

(xαux)x≤M1,(xαvx)x≤M2,(x,t)∈(0,a)×(0,T).

(6)

证明因引理3的证明与文献[8]中的证明类似,故略.

引理4令假设(H)成立，并假定问题(1)的解(u(x,t),v(x,t))在有限时刻T同时爆破，则

证明因引理4的证明与文献[8]中的证明类似,故略.

引理5令假设(H)成立，并假定问题(1)的解(u(x,t),v(x,t))在有限时刻T同时爆破，则

(7)

在任意子集[c,d]⊂(0,a)一致成立.

证明因引理5的证明与文献[8]中的证明类似,故略.

定理2假定(u,v)是问题(1)的非负解，则以下结论成立：

(i)当p≥m,n≥q时，u和v同时爆破；

(ii)当p

证明i)假定u在有限时刻T爆破，而v在(0,a)×(0,T)上保持有界，则下列式子在(0,a)上的任意子集一致成立:

G′1(t)=g1(t)=em u(x0(t),t)+n v(x0(t),t)≅em G1(t)+n v(x0(t),t),t→T;

G′2(t)=g2(t)=ep u(x0(t),t)+q v(x0(t),t)≅ep G1(t)+q v(x0(t),t),t→T.

由于u0(x),v0(x),v(x,t)是(0,a)×(0,T)上的有界非负函数，所以存在4个正的有界函数ki(t),i=1,2,3,4,且同时有

k1(t)em G1(t)≤G′1(t)≤k2(t)em G1(t),t→T;

k3(t)ep G1(t)≤G′2(t)≤k4(t)ep G1(t),t→T.

(8)

由式(8)可得

(9)

(10)

k0(G1(t2)-G1(t1))≤G2(t2)-G2(t1),p=m.

(11)

假定v在有限时刻T爆破,u在(0,a)×(0,T)上保持有界，则当n≥q时利用类似于上述的方法可得到u和v同时爆破.

ii)首先考虑p

(12)

(13)

(14)

当pq时，在[0,t]上对式(14)进行积分可得

(15)

(16)

4 解的爆破速率

定理3假定(u,v)是问题(1)的古典解，且(u,v)在有限时间T爆破.若α,β∈(0,1)且对于常数M1和M2有(xαu0x)x≤M1,(xαv0x)x≤M2,x∈(0,a),则下列结论成立：

(iv)当p=m≥0且n=q≥0时，存在常数C(C>0)使得：

-cln(T-t)-C≤u(x,t)≤-Cln(T-t)+C,x∈(0,a),t→T;

-cln(T-t)-C≤v(x,t)≤-Cln(T-t)+C,x∈(0,a),t→T.

证明由定理2的证明可知,u和v在同一时刻T爆破.由引理5可得:

(17)

(18)

其中C>0,x∈(0,a),t足够接近于T.由式(17)可得:

G′1(t)=g1(t)=em u(x0(t),t)+n v(x0(t),t)≅em G1(t)+n G2(t),t→T;

(19)

G′2(t)=g2(t)=ep u(x0(t),t)+q v(x0(t),t)≅ep G1(t)+q G2(t),t→T.

(20)

联立式(19)和式(20)可得

(21)

i)由式(21)可得:

(22)

(23)

再由式(18)、(20)、(22)和式(23)可得:

(24)

(25)

再由式(7)即可得结论(i)成立.

ii)由式(8)得

(26)

(27)

(28)

由式(27)和式(28)可得

(29)

iii) (iii)的证明与(ii)的证明类似,故略.

(30)