钟圆照

在一次以计算为主题的教研活动中，教师刚上完“两位数乘两位数——笔算乘法”，为检测效果，当场发下A、B两份测试卷各52份，共收回104份。（A、B测试卷见图1和图2）A问卷学生答题正确率约96%;而问卷B正确率却只有47%。

从问卷的结果可了解学生的学情盲区。其一，不知“算理”为何物。在计算过程中，学生只知道怎样将算式算对，而对于算理的理解却少人能清楚知道。调查问卷B中的第①题为例，学生知道如何列出竖式计算（过程），却不知道每一个步骤背后的含义。41的1是进位的1，这个1应该表示10，而不是简单的“1”，学生只看表面，却不知内含的算理为何物。其二，不懂“算理”有何用。（见图3）多数学生（甚至部分教师）都认为计算只要会算就行了，算理根本用不上，故此不用理会。殊不知这种没有算理只有算法的计算往往只是停留于表面，只知其一，不知其二，使得计算的学习变得肤浅。当遇到真正要用到算理去解决问题时，比如，B问卷中的第③题，很多学生便难以将题目情景与式子每一步有效结合。

到底师生的“病根”何在？笔者认为，从数据中至少暴露出以下三大“病因”：第一，教学理念没及时更新。因只关注算法和题量的训练，却忽视算理的理解与理法的结合。而中段小学生由于理解和认知能力有限，最终导致“知其然而不知其所以然”的现象屡见不鲜。第二，急功近利，忽略算理。学生到了中段，随着计算步骤增加，往往只重视算法的掌握，然后机械重复地训练，忽视了每步计算步骤背后的含义和对算理的深入理解，从而造成对知识一知半解。第三，形式单一，思维狭窄。平时计算练习往往是以“口算+笔算”的形式来检测学生计算能力，导致计算教学只注重计算技能形成，而不关注计算素养的提高，久而久之造成学生思维狭窄，学生运算思维降低。

笔者针对上述问题，借助“几何直观”为药引，以“理根络”“定起点”“凸本质”为三贴“处方诊治”，效果明显，仅供一线教师商榷。

一、对比教材，理清“根络”

（一）对比教学内容，寻找两位数乘两位数的“络”

在实验版教材一般按“口算——估算——笔算”的顺序编排，把解决问题与计算整合在一起，目的是培养学生能运用所学知识解决生活中的问题，但在实施过程中教师却很难把握结合的“度”，容易忽略算理的教学，反而造成学生运算能力降低。而新教材则调整为“口算——笔算——解决问题”，把估算穿插在解决问题中。计算和解决问题分开，教师在教学中容易找到侧重点。同时，将实验版“口算乘法”换成“两位数、几百几十乘一位数”和“两位数乘整十数”，这样编排更利于学生在探究笔算乘法时想到“拆分法”。

（二）对比呈现方式，突显两位数乘两位数的“根”

“两位数乘两位数”这一单元，无论是实验教材还是新教材都非常注重让学生经历知识的形成过程，掌握计算的方法。但同时新教材在教学目标上增加了“借助几何直观理解算理”。而在教学内容的呈现方式上，更注重利用圖形表征、实物表征来帮助学生理解算理。显然，编者用意是想突出几何直观的作用。在“两位数乘两位数”这节课中借助点子图与算式一一对应，放手让学生去探究算法，引导学生亲历乘法竖式的建模过程，这样给抽象的算理赋予了形象，有利于学生理解算理，也使学生逐步学会借助几何直观解决问题、表达交流，提升数学思维水平。而实验版教材虽有“拆分法”的呈现，却少了“点子图”的辅助，造成算理教学的缺失。

二、透析学情，定准“起点”

“新课标”明确指出，“数学活动必须建立在学生认知发展水平和已有知识经验基础上。”为了进一步分析几何直观在“两位数乘两位数”中发挥的作用，充分了解学生学情和教材实际，笔者对三年级某班（50名学生）进行前测。题目如下：14×12，请用你喜欢的方法进行计算。调查结果如（表1）。通过前测结果的统计发现学生的主要问题：有12名学生用竖式计算，其中有5位学生出现以下错误（图4）。

从能正确列出竖式的学生访问中得知，他们是通过预习或父母教而能正确列出的。学生对笔算方法只知道如何书写，但问及每一步是怎么算出来，学生们不会表达。特别是对如何书写第二步乘积的结果感到困惑，他们的方法只是停留在机械记忆层面上。另外，36名学生用了拆分法，其中“把一个乘数拆分成整十数与一位数”的人数居多。这显然是受到上节课“口算乘法”知识迁移的影响，而恰恰这种方法与竖式计算有着密切联系。学生掌握了这种拆分法能很好贯穿前后知识的内在联系，帮助学生更好地理解笔算乘法的算理。另外也有个别学生出现以下错误（图5）。

通过以上的调查与分析，发现学生对两位数乘两位数的知识并非一片空白，大部分学生能利用已有的知识及经验解决，只是在拆分的过程与竖式计算联系较困难。因此，本课的关键应在于教师根据学生的已有知识与经验，借助有效的直观手段，帮助学生经历算法的抽象建构过程，充分理解算理，进而有效掌握算法，为运算能力的提高奠定扎实的基础。而几何直观就是学生从具体向抽象过渡的重要“脚手架”。故此，要给学生搭建充分的动手操作、合作交流的平台，提高学生的运算能力和思维深度。

三、践行研究，凸显“本质”

笔者将教学拟定为体现学生思维所要经历形成的四步曲：“以形想式”——“以形明理”——“以形懂法”——“用形转化”。巧用几何直观，让学生经历计算过程，揭示算理的本质，感悟算法的实质。

（一）以形想式，初感竖式模型

创设教学情境，激发学生强烈的探索欲望，为进一步理解算理。

层次一：

（出示问题（图6））

师：谁能解决这个问题？

追问：这个算式表示什么意思？

生：表示12个14的和是多少。

师：结果是几？（学生表示不知道）

师：看来口算有点难度，我们还可以用什么方法？（生一下就想到用竖式计算）