丁小将

(江苏省南京市雨花台区梅山第一中学 210039)

进入初三后学生的学习难度和强度都变得比以往任何时候都要大，教师和学生都要面对大量的习题，甚至部分学生想靠不停的刷题来提高自己的数学成绩，于是大搞题海战术，反而忽略书本中例题和习题的作用，有些学生认为书本中的例题、习题过于简单.事实并非如此，作为教师如果能在平时的教学中注意对教材中例题、习题进行进一步归纳和拓展，帮助学生构建合理的知识体系和模型，这样对减轻学生负担，使学生从”题海”中解脱出来，对于老师的教学水平的提高也具有较大的作用.

图1

题目(沪教版《九年义务教育课本·数学》九年级第一学期第36页例4)已知：如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高.求证：(1)AC2=AD·AB;(2)CD2=AD·BD

类似的还可以推出：BC2=AB·BD

反思这是教材中的一道例题，尽管教材中没有提及射影定理，但在几何证明及计算中应用很广泛，如果能够掌握好这个基本图形，常常给我们在解直角三角形的过程中，避免使用勾股定理带来的开平方的繁琐计算，对于学生解题速度的提高有很大的帮助作用.

一、射影定理的介绍

书本中的这道例题实际上就是射影定理：直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项.

二、变式的应用

1.变换条件

图2

如图1，若△ABC中，CD为高，且有DC2=BD·AD或AC2=AD·AB或BC2=BD·AB，则有∠DCB=∠A或∠ACD=∠B，均可得到△ABC为直角三角形.

2.射影定理的变式题

若△ABC不为直角三角形，当点D满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立.

如图2：△ABC中，D为AB上一点，若∠CDB=∠ACB，或∠DCB=∠A，则有△CDB∽△ACB，可得BC2=BD·AB；反之，若△ABC中，D为AB上一点，且有BC2=BD·AB，则有△CDB∽△ACB，可得到∠CDB=∠ACB，或∠DCB=∠A.

三、射影定理及其变式，在相关线段关系中证明的应用

例1已知：如图3，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使得AE=AB，联结DE、AC．点F在线段DE上，联结BF，分别交AC、AD于点G、H．

图3

(1)求证：BG=GF；

(2)如果AC=2AB，点F是DE的中点，求证：AH2=GH·BH(2020上海静安区二模卷第23题)

分析(2)在(1)解决问题的基础上，第二问中要证明的结论，对应的图形其实就是射影定理的变式图形，△ABH虽然不是直角三角形，但看到这样的等积式，仍然要有意识地想到证明△AGH∽△BAH,有了这样的解题方向，思考问题的方向也就明确，易证AB=AE=CD,再证明△BEF≅△DEA，得出∠ADE=∠EBF,易证∠ADE=∠GAH,所以∠EBF=∠GAH,又因为∠AHG=∠AHB，证得△AGH∽△BAH，问题得到解决.

例2如图4,已知⊙O中，D为弧AC中点，过点D的弦BD被弦AC分为两部分，求证：CD2=DE·DB

分析易得到∠DBC=∠ABD=∠DCE，满足射影定理变式(2)的条件，故有CD2=DE·DB.

图4 图5

例3 已知：如图5，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线交AB于点E，交AD于点H，交AC于点G，交BC的延长线于点F，求证：DF2=CF·BF.

证明：连AF，∵FH垂直平分AD，

∴FA=FD，∠FAD=∠FDA，

∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，

∴∠FAD-∠CAD=∠FDA-∠BAD，

∵∠B=∠FDA-∠BAD，

∴∠FAC=∠B，又∠AFC为公共角，

∴AF2=CF·BF，∴DF2=CF·BF

反思上述三个例题的图形不管是以圆为载体，还是在其它较为复杂的图形中，如果能够从题目的结论中分析出，虽然不是直角三角形的射影定理的直接应用，但是如果能够从线段之间存在着比例中项的关系，然后从“共边、共角”的基本模型中找出对应的相似三角形，根据对应线段成比例，从而使问题得到解决.

四、射影定理在线段长度计算中相关应用

图6

(1)如图6，设AD=x，用x的代数式表示DE的长；

(3)如果△AFD为直角三角形，求DE的长．

分析在解决好第(1)、(2)问的前提下，第(3)问，当点E在AC上时，

∵∠AED=∠ADE,且都为锐角，∠AED>∠AFE

当点E在AC的延长线上时，∵∠FAD<∠BAC，而∠BAC在Rt△ABC中为锐角，∴∠FAD为锐角，∠AED=∠ADE,且都为锐角，若△AFD为直角三角形，则只能∠AFD=90°，再次利用射影定理中的线段关系：EF2=CE·AE，

反思例4作为一道中考模拟考试的压轴题，是有一定的难度，尤其(3)的计算线段长度，在已知条件下得出相应的直角三角形，如果能够熟练应用射影定理，根据相关线段的乘积式来求出线段的长度，避免采用勾股定理计算时带来开平方的复杂计算，解题时能够提高解题速度和计算的准确性，从而达到事半功倍的效果.

中考复习中许多学生为了提高数学成绩，一味地盲目刷题，而忽视了书本中的很多例题、习题，以这些题目为原型可以总结、归纳出很多有用的结论和规律，所以在中考复习中无论老师还是学生，如果能注重对课本的研究，对教材中的例、习题进行“再创造”，有效地帮助学生提高学习效率，提高学生探究能力和推理能力，使学生在中考紧张、忙碌的复习中有条不紊的把数学知识牢固的掌握，最终取得理想的中考成绩.