沈志强

【摘 要】HPM视角下数学教学设计的主要方式之一是根据重构的历史进行教学。祖暅原理在球体的体积公式发展中起到了非常重要的作用，本文针对这一教学内容，采用重构的方式对球体体积公式发展中几个重要历史阶段的难点和突破点进行教学探究和应用。

【关键词】HPM;祖暅原理;球体体积;重构式

为了更好地促进学生发展，帮助学生形成正确的数学观和人生观，将数学史融入高中数学教学迫在眉睫，这也是HPM领域研究的重要方向之一。数学史在数学教学中的运用方式一般有图1所示的四种方式。

由于高考的压力以及一线教师对相关数学史知识缺乏足够的了解，数学史近年来虽经常出现在数学课堂中，但大多以课题引入的形式出现。基于此，笔者从HPM的视角对祖暅原理与球体的体积这一内容进行了教学设计。

1   教材与学生的认知

“祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积”是人教版必修2第一章“探究与发现”中的内容。在这个专题中，教材在对祖暅作了简单介绍后，便直接给出祖暅原理，并在此基础上利用长方体的体积计算推导出柱体和锥体的体积计算公式，最后构造了一个底面半径和高相等的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，并证明这两个几何体每一个水平截面的面积相等，从而得到它们的体积相等，进而求出半球的体

积[1]。教材这一安排能培养学生的探究能力，但把這个结论直接传授给学生，很难让学生体会到我国古代数学家刘徽和祖暅在推求球体体积公式时所蕴涵的丰富智慧与其中的文化内涵。鉴于此，笔者对教材作了如图2所示的框架图设计：

2   史料的选取与加工

球的度量历史悠久，首先摘取几段球体体积公式推求发展的关键历史时期。

2.1  刘徽对《九章算术》的质疑

《九章算术》中给出了球体体积公式：V球=（d为球的直径），刘徽对这一公式的正确性产生质疑，在化圆为方的思想启发下，他发现内切球的体积与正方体的体积之比为。在《九章算术》中取 π=3 的情况下，只有内切球与圆柱体的体积之比也是时，上述公式才成立，而实际上后者是不成立的[2]。为了说明这一关键点，刘徽创造了一种新的几何体：以正方体相邻的两个侧面为底面分别做两次内切圆柱切割，剔除外面部分，剩下的部分刘徽把它称为“牟合方盖”（如图3）。他用截面法证明内切球与“牟合方盖”的体积之比为，显然“牟合方盖”的体积比圆柱要小，由此证明了《九章算术》中的公式是错误的。

刘徽把球的体积问题转化为了牟合方盖的体积问题，虽然其没能成功求出牟合方盖的体积，但他清晰的思路为后人解决这一问题奠定了基础。

2.2  祖暅原理的产生

祖暅不仅沿着刘徽的结论进一步探索得到牟合方盖与其外切正方体的体积之比是，还把推导过程中用到的结论总结为“幂势相同，则积不容异”，即若夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任一平面所截得到的截面面积相等，则这两个几何体的体积就相等，这就是“祖暅原理”。

3   “祖暅原理与球体的体积”教学设计

3.1  阅读史料，启发思考

让学生在课前仔细阅读准备好的历史材料，从材料中了解球体体积公式发展的过程，并思考以下几个问题。

问题1：将球的体积问题和正方体、圆柱的体积联系起来，在高相同的情况下，把它们相切的面积之比作为体积之比，体现了什么数学思想和处理方法。

设计意图：引导学生理解化归的数学思想，明白空间问题的平面化。

问题2：通过对球体积公式推导的历史回顾，我们感受到了数学公式背后古人的努力与智慧，请谈谈其中你印象最深的点。

设计意图：引导学生关注刘徽的质疑、牟合方盖的构造及祖暅突破困难的智慧。

问题1和问题2有一定开放性，旨在引导学生关注祖暅原理的发现过程。

3.2  问题探究，层层深入

在球体积公式推导过程中，刘徽付出了很多努力，尤其是从方与圆、球与立方的关系联想中构造出了“牟合方盖”，虽然他没能求出其体积，但他的推证思路为后人解决这个问题打下了良好的基础[3]。接下来师生一起共同研究以下问题。

问题3：为了求出“牟合方盖”的体积，祖暅想到了由于牟合方盖具有对称性，所以可以先求八分之一“牟合方盖”的体积，请结合图4给出的几个几何体的特点，研究八分之一“牟合方盖”截面的特点。

设计意图：让学生再次思考具体环节中的细节，然后相互讨论交流。

师生共同解决：学生在教师引导下根据牟合方盖的结构特点，如图4（a），发现八分之一牟合方盖的截面是正方形。设边长为 a ，球的半径为 r ，ΔQPR是RtΔ，由勾股定理得 r2-h2=a2 ，这刚好是八分之一牟合方盖的截面的面积。为了表述简洁，本文把立方体去掉“牟合方盖”之后的几何体称为“牟合方盖差”。在同一水平面上，八分之一立方体的截面面积为 r2，所以八分之一“牟合方盖差”在高 h 处的截面面积为 r2-a2=h2 。

问题4：能否构造一个几何体使得其截面面积也有此特点。

设计意图：引导学生根据截面面积的特点，从以前学过的几何体出发进行构造，使得构造出的几何体截面面积与要求的几何体符合祖暅原理。

教师引导学生发现，底边长为 r 、高也是 r 的倒立正四棱锥的截面面积有这个特点，如图4（b），此倒立正四棱锥与八分之一“牟合方盖差”在任意等高处的截面面积总相等。

问题5：根据上述的讨论与思考，请大家求出“牟合方盖”与球的体积。

设计意图：帮助学生再次回顾祖暅原理，并推导、计算“牟合方盖”与球的体积。

然后根据刘徽得出的球与牟合方盖体积比为的结论得到==。

问题6：在刚才问题的解决中最核心的就是构造符合祖暅原理的几何体，请提炼这个定理中的关键点。

设计意图：引导学生再次关注祖暅原理，并构造新的几何体去求球的体积。

问题7：能否嘗试和古人一样从已知体积的几何体直接推导出球的体积呢？如果要运用祖暅原理，必须满足的关键条件是什么？

设计意图：引导学生再次关注祖暅原理的本质，找两个几何体同底等高，并且保证相同高度的截面面积相同。

问题8：球没有底面，应该如何构造与它同底面的几何体？

设计意图：引导学生关注祖暅取八分之一牟合方盖的思路，即取半球解决问题。

问题解决：已知圆柱、圆锥的体积，由球的对称性取二分之一的球体计算，半球是有底面的几何体。

问题9：在祖暅原理中，除了高度相同，更要关注截面面积是否相同，在不知道用什么几何体来和半球对比时，应该如何解决？

设计意图：引导学生从球的截面积公式中寻找启发，思考若已知球的半径为 R ，用与底面平行且高度为 h 的平面截球所得的截面形状以及截面面积。

师生共同解决：因为半球的截面形状为圆，所以截面面积 S半球截面=πR2-πh2 。引导学生从式子特点想到圆环，从相同圆心、半径为 R 的大圆中挖去半径为 h 的小圆。

问题10：如果球是确定的，则半径 R是常数，而 h 是随着截面高度变化而变化的。根据祖暅原理，该怎么做才能求出半球的体积？

设计意图：引导学生根据祖暅原理找一个几何体和半球等高且高度为 h 处的截面面积为 S=πR2-πh2 ，如同一个圆柱去掉一个圆锥。圆柱和圆锥的底面半径和高均为 R 。

师生共同解决：根据祖暅原理，半球的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，相当于从一个圆柱中间挖去一个底面积相等，高度相同的圆锥。即 V球=2（V圆柱-V圆锥）。

教师总结：通过对祖暅原理的学习，我们能够将体积求解的关注点放在截面上进行观察，从而通过截面的特征看到几何体的构造。

3.3  理解思路，巩固应用

为了帮助学生巩固对祖暅原理推导球体体积公式方法的理解，在学生已经学过椭圆的基础上设计如下例题。

例1：已知椭圆的方程为，请求出将它的图象绕 y 轴旋转一周所形成的几何体的体积。

解：平行于 x 轴且距离为 y（y>0） 的直线与椭圆第一象限部分的交点为，则该几何体对应平面的截面是一个圆，面积为，这个截面的面积等于一个大圆半径为2，小圆半径为的圆环的面积。

由祖暅原理，可以构造一个几何体，即从一个圆柱中间挖去一个倒立的圆锥，经计算该几何体（椭球）的体积为。

课后练习：已知双曲线的标准方程为，将此双曲线在 -2 ≤ y ≤ 2 的部分绕 y 轴旋转一周后，得到一双曲面，求其体积（解法略）。

设计意图：让学生在研究和理解球的体积公式推导的基础上，学会利用祖暅原理解决一些新的几何体的体积。并让有兴趣的学生课后进行后续应用。

4   总结与反思

有教师认为“祖暅原理”是一个探究性问题，只要能应用它求体积就可以了，且高考题中与球相关的内容涉及得非常少，但笔者认为这背离了教材的编写目的。《普通高中数学课程标准》提倡“数学探究与数学文化应尽可能地有机结合高中数学课程的内容，选择介绍一些对数学发展有重大作用的历史史实和人物”，所以教师应该多尝试借鉴历史、重构历史。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]汪晓勤.HPM：数学史与数学教育[M].北京：科学出版社，2017.

[3]叶秀云，叶雪梅.“祖暅原理”及其教学探究[J].福建中学数学，2012（4）.