杨海洋,黄振坤,李智勇

（集美大学 理学院,福建 厦门 361021）

在过去的几十年,复杂网络同步的研究已经取得了很大的进展,衍生出很多类型,如完全同步、投影同步、滞后同步和相位同步等[1-3],且被大量的运用到实际的生产生活中,如安全通信、信息科学以及图像处理等.其中,有限时间同步和固定时间同步是复杂网络同步领域研究的两个重要课题.有限时间同步[4-5]指系统在一个有限的时间内取得同步,具有着收敛速度快、抗干扰能力强的特点.但它很大程度上依赖于系统的初始状态,不同的初始状态可能具有不同的收敛时间[6],并且在实际应用中大规模网络系统的初始状态往往难以改变.为了克服这一缺点,Polyakov[7]首次提出了固定时间稳定性来解决这个问题.它表明收敛时间与初始状态无关,只与控制器参数有关,保证了系统在有限时间内收敛以及对任何初始值都有一个统一的收敛上界.事实上,研究者希望同步的收敛时间能够被提前设定.因此,一类通过调整参数即可获得收敛时间的动力系统被提出[8],Sanchez-Torres[9]将这种情形定义为预设时间稳定性.与固定时间稳定性相比,预设时间的上界不是一个假定的估计值,而是一个确定的最小值,且它大于所有可能的时间设置.

然而,由于各种可能的偏差,比如系统间参数不匹配、控制器设计不完善、控制增益或耦合强度不足等,完全同步可能不再有效[10].因此,很自然地将完全同步的概念放宽,考虑网络系统在有限的误差范围内同步.如近年来,提出了近似同步、拟同步、有界同步和实际同步等概念.

Morasso[11]引入的时间生成器（Time Base Generator,简称TBG)可以生成具有钟形速度剖面的时间序列.很多学者成功地将TBG 引入到复杂网络的分析与控制中,并取得了很好的结果[12-15].本文将Parra-Vega[14]提出的适定性TBG 引入到一类复杂网络的同步控制中并加以改进,实现网络系统在预设时间取得实际同步.

1 预备知识和模型描述

1.1 概念

令R 和Rn分别表示一维实空间和n 维实空间，x=[x1，x2，…，xn]T∈Rn，将其2-范数记为‖x‖=,矩阵P 的谱范数定义为‖P‖=C2(0，+∞）表示在（0，+∞）上所有二阶连续可导函数构成的空间.

1.2 时间生成器TBG

TBG 是一个连续可微的多项式分段函数[12],时间是它的自变量,记为ξ（t）,可表示为

其中ι（t）=[tn,tn-1,…，t，1]表示时间基向量,Γ 是相对应的系数向量,tf＜+∞表示预设时间.

为了实现预设时间实际同步,还要求ξ（t）具有以下约束条件[15]：

1）ξ（t）∈C2（0，+∞）,保证时间函数ξ（t）在（0，+∞）上取值平滑;

2）ξ（t）连续不减,且ξ（0）=0,ξ（tf）=1 ;

4）当t>tf时,ξ（t）=1,因此

例如

其中n≥5 为正整数,a,b,c 为常数,且当a+b+c=1,n=b+2c,n2-n-2c=0 时满足上述约束条件.

引理1考虑如下一阶系统

其中p（t）∈R 表示系统状态,p0表示初始状态,q（t）∈R 是基于TBG 的控制协议,其具体形式为

其中ξ（t）是TBG,k（t）为TBG 增益,要求0＜δ≪1,r 为正数,则系统在tf时刻的状态为且可以通过调整δ 使任意小以及容易看出规定的时刻tf与初始状态无关.

证明很容易得到式(3)的解为

此外,可以通过构建不同的ξ（t）选择不同的时刻tf,使系统达到研究者想要的状态.更为重要的是,此一阶系统可以在预设的时间内实现收敛而不依赖于系统的初始状态.

注1常数δ 是用来保证当ξ（t）=1 时,k（t）是有意义的.

注2引理1 是在文献[15]已有工作的基础上总结得到的,并做了相应改进.

1.3 模型描述

考虑由N 个节点构成的一类复杂网络系统,系统的每个节点都是一个n 维非自治动力系统,第i 个节点的动力学方程表述为

其中i=1,2,…,N，xi(t)=[xi1(t),xi2(t),…,xin(t)]T∈Rn是节点i 的状态变量，A=(aij)n×n∈Rn×n,B=(bij)n×n∈Rn×n,cij表示节点j 到节点i 的有向耦合.矩阵D=(dij)n×n∈Rn×n为各节点的内部邻接矩阵,矩阵C=(cij)N×N∈RN×N为网络系统的扩散耦合矩阵，满足

其中cij≥0（i≠j）表示从节点j 到节点i 的耦合强度.此外,Ui∈Rn为设计的网络控制器.

注3在网络系统(7)中,耦合矩阵C 不一定是对称的且其元素cij非0 或1.相反,对矩阵D 没有约束.

假设1对于微分方程

式（9）：x(t)∈Rn,f∶Rn→Rn是一个连续函数,满足对任何初值（t,x0）.该微分方程都存在唯一的连续解x(t),其中x0∈Rn.

假设2对于向量函数f(x(t)),假定一致Lipschitz 条件成立,即对于任何向量xi(t)=[xi1(t),xi2(t),…,xin(t)]T和s(t)=[s1(t),s2(t),…,sn(t)]T,存在一个正的常数L 使得

假设s(t)是下面微分方程

的一个解,其中s(t)可能是相空间中的平衡点、周期轨道、非周期轨道或混沌轨道.

定义1对于式(7)所描述的网络系统,称取得预设时间实际同步,如果存在合适的控制器Ui使得

对所有i,j=1,2,…,N，i≠j,其中预设时间tf独立于初始状态,c 是正数且可以被取到任意小.

2 预设时间实际同步

定理1在假设1 和2 的条件下,设计自适应反馈同步控制器

其中di(i=1,2,…,N)为常数,k(t)为式(5)的形式,则复杂网络(7)在上述控制协议下取得预设时间实际同步.

证明定义误差向量

构造如下李雅普诺夫函数：

由此可知，当δ 任意小时，复杂网络系统中各个节点xi(t)与一个虚拟的目标节点s(t)在任意预设时间tf收敛到任意小的误差边界内，且预设时间与系统方程的初始状态无关.

又当t>tf时,虽然k(t)=0,但仍有≤0,则

且t＞tf时,有≤-2rV(t)≤0,V(t)≤V(0)e-2rt,容易得到

因此在预设时间tf后,随着时间延续,复杂网络系统中各个节点xi(t)与一个虚拟的目标节点s(t)将以指数形式实现完全同步.

又由于

同理容易得出‖xi(t)-xj(t)‖≤=0.由此可知，网络系统中任意两个节点的误差在预设时间tf收敛到任意小的值，在预设时间后,随着时间延续,整个网络系统将实现指数完全同步.且预设时间与系统的初始状态无关.

3 数值模拟

下面将借助MATLAB 软件，采用欧拉法，来模拟复杂网络动力系统的数值图像.取步长h，记tn=t0+nh，按照欧拉递推公式xn+1=xn+hf(tn,x(tn))，依次得到各节点tn上解函数值x(tn)的近似值xn,称x0,x1,…,xn,…为数值解，并通过数对（tn,xn）画出相应的函数图像.

给定两个系统,分别是虚拟的目标系统和所要研究的一类复杂网络系统,并且满足假设1 和2，其动力学方程分别为：

不失一般性.假定所要研究的复杂网络系统由100 个节点构成,即i=1,2,…,100.在上述两个系统中s(t)=[s1(t),s2(t),s3(t)]T∈R3,xi(t)=[xi1(t),xi2(t),xi3(t)]T∈R3,

内部邻接矩阵D=I3为单位矩阵,扩散耦合矩阵C 满足这里假设C 是全局连通的，为了简单起见，选择cij=0.01（i≠j），则耦合矩阵C 为

此外,系统的内在动力方程f(x)为

它满足假设2,即,‖f(x)-f(y)‖≤L‖x-y‖,∀x,y∈R3并且经过计算，L 可取为2.

为了取得预设时间同步,对式(2)表示的时间生成器函数ξ（t），取a=6,b=-15,c=10,n=5,并且规定预设时间tf=1,则

它及其一阶导和二阶导的图像如图1 所示.

图1 ξ（t）及其一阶导和二阶导的图像

对虚拟的目标系统(24),设其初值为s(0)=[30，-30，40],则其各分量的解的图像如图2 所示.

图2 s（t）各分量的解的图像

对复杂网络系统(25),设其初值为：

如果di足够大,不等式(18)将成立.不妨假定di=335,i=1,2,…，100.另外,对于TBG 增益k(t),取δ=1,则此类系统中各节点分量与目标节点分量的误差如图3 所示.可以看出,在t=0.05 时,两个系统的误差已经收敛到很小的范围了.

图3 x（t）与s（t）各分量的误差

为了更加直观地观察复杂网络系统的预设时间实际同步效果,作出此类系统中各节点在三维空间中的图像,即x（t）的相位图（如图4）.可以看出,复杂网络系统在预设时间几乎收敛到同一条曲线.

图4 x（t）的相位图

4 结论

本文根据一类复杂网络系统自身的特点,设计基于TBG 的自适应反馈同步控制器,从而实现此类复杂网络系统在预设时间取得实际同步,且预设时间与初始状态无关,预设时间以及控制收敛的误差可以调节控制.此外，通过选取合适的参数值，采用欧拉法，借助MATLAB 软件编程，对此类复杂网络系统做了数值模拟，所得到的函数图像验证了结果的有效性.