龙驰宇

西北民族大学数学与计算机科学学院 甘肃 兰州 730000

引言

分数阶微分方程将导数推广至任意阶。近年来，分数阶微分方程多应用于各类领域中。Huisen Zhang[1]等人研究了由于对捕食者的恐惧而导致的反捕食者行为的影响，指出恐惧效应不仅可以降低正平衡点的捕食者密度，而且还可以通过排除周期解的存在来稳定系统。Xuebing Zhang[2]等人研究了一类具有非光滑连续阈值收获的时滞扩散捕食系统的动力学分析，研讨了该模型内部均衡的存在性，由扩散和延迟引起的Hopf分支，以及不连续Hopf分支。从此之后，生态学家和数学家们就已经发现了许多更复杂且更现实的模型。S. Chakraborty, S. Pal等人研究了一个简单的捕食者-食饵模型的相互作用，其中捕食者种群服从如下收获：

然而，一个物种的收获保持不变或随着密度的变化而线性变化是不太现实的，因为一旦人口x达到阈值T，由于时间延迟和资本限制等原因，管理者很难立即以速率h收获。Jorge Rebaza提出了一个连续阈值策略收获函数，如下所示：

受上述启发，我们将考查如下简单的捕食者-食饵模型的相互作用，模型如下

分数阶微分方程由于能够精确描述不同的非线性现象，近年来受到了广泛的关注和重视。而基于分数阶微分系统的模型的发展过程最近在动力系统的研究中得到普及。

基于这些理论，我们将研究分数阶微分下简单的捕食者-食饵模型在时滞扩散的情况下系统的存在性、稳定性。

文章的结构如下，我们将展示模型需要用到的预备引理；我们给出了模型的存在性、稳定性；我们介绍了数值模拟方法，进行了简要的讨论。

1 预备知识和引理

首先介绍分数阶微分的相关定义及理论。

定义1 设分数阶系统：

引理1 考虑如下相称的分数阶系统：

2 平衡的存在性和稳定性

3 数值模拟

为了求解系统（1.4），我们将使用由Atanackovic和Stankovic引入的数值方法来求解单线性分数阶微分方程（PDE）。如下图所示。

图1 系统（1.4）相图

4 结束语

本文介绍了一个带有时滞扩散的分数阶捕食-食饵模型，而且还研究了该数学模型的相关数学行为，还了解其灭绝平衡和边界平衡的稳定性和存在性。我们研究了系统所有可行平衡态的局部稳定性行为。图示表明了时滞因子会影响模型的稳定性，加入时滞因子给系统的稳定带来了一定的影响。