关舒文，胡胜勇，张惜图，冯国瑞，李国富，陈云波

（1.太原理工大学 安全与应急管理工程学院，山西 太原030024；2.太原理工大学 矿业工程学院，山西 太原030024；3.煤与煤层气共采国家重点实验室，山西 晋城048012）

我国煤层气资源十分丰富，沁水盆地是我国目前煤层气的主要产区之一[1]。沁水煤田以高煤阶为主，其煤储层吸附能力强，含气量普遍较高。高阶煤储层渗透率总体偏低，煤层气井投产前普遍采用水力压裂方法对煤储层进行强化改造[2]。通过将支撑剂泵入形成的裂缝中，泵注停止后，裂缝在地应力作用下逐渐闭合，压密支撑剂多孔介质使闭合裂缝保持一定的高导流能力，为煤储层中流体的流动提供渗流通道[3]。研究裂缝内支撑剂多孔介质空隙率分布及其形成机制，能够更好地了解支撑剂充填裂缝的空隙率的演变，进而更好地预测及优化煤层气的产量。杨尚谕等[4]运用Pseudo Fluid 模型研究了不同参数对缝内铺砂浓度的影响规律；温庆志等[5-6]利用不同的试验装置研究了不同因素对支撑剂的运移与展布规律的影响；刘春亭等[7-8]采用数值模拟方法研究了不同闭合应力、施工参数和支撑剂性质对支撑剂分布的影响；Tan 等[9]利用X 射线计算机扫描技术研究了分别充填不同层数砂子和玻璃珠情况下其空隙率的分布情况；Zheng 等[10-12]采用数值模拟的方法研究了不同类型、级配、粒径范围的支撑剂在不同应力条件下空隙率的大小变化；邓守春等[13-15]采用数值和试验方法研究了不同地应力水平下不同种类支撑剂的渗透率变化；卢义玉等[16]开展了循环荷载条件下不同铺砂厚度支撑剂的渗透特性实验研究。这些研究成果采用不同方法从宏观上研究了裂缝中支撑剂、空隙率的分布及其渗透特性，但鲜有学者研究水力裂缝内支撑剂的分层空隙率分布及其形成机制。因此，拟采用数值模拟方法开展不同闭合应力下支撑剂充填裂缝的分层空隙率分布及其形成机制研究，为科学制定煤层气排采制度提供理论依据。

1 数值方法

1.1 数学模型

支撑剂颗粒间力学接触模型如图1。

图1 支撑剂颗粒间力学接触模型Fig.1 Model of mechanical contact between proppant particles

支撑剂颗粒的运动遵循牛顿第二定律：

式中：F 为支撑剂所受的合力，N；Fn、Ft分别为支撑剂颗粒间的法向和切向接触力，N；m 为支撑剂的质量，kg；g 为重力加速度，m/s2；a 为线加速度，m/s2；α 为能量耗散；v 为支撑剂的线速度，m/s；M 为支撑剂的合力矩，N·m；I 为支撑剂的转动惯量，kg/m2；a′为角加速度，rad/s2；ω 为支撑剂的角速度，rad/s。

在t 时刻，支撑剂的运动方程如下：

式中：△t 为时间间隔，s。

1.2 几何模型

数值模拟相关参数见表1。自裂缝上部向下施加应力，模拟支撑剂充填裂缝在不同闭合应力下的压缩过程。为了简化计算，选取支撑剂充填裂缝几何中心的1 个单元进行研究。研究单元示意图如图2。

表1 数值模拟相关参数Table 1 Numerical simulation related parameters

图2 研究单元示意图Fig.2 Diagram of the research unit

2 模拟结果

2.1 数值模型验证

采用实验方法对数值模型进行验证。实验设备主要由API 室、压力机和传感器组成。实验设备原理如图3。API 室用于放置测试的支撑剂颗粒；压力机用于向支撑剂施加应力；传感器用于测试支撑剂的位移。实验中所用石英砂的粒径范围为0.425～0.850 mm。

图3 实验设备原理图Fig.3 Schematic diagram of experimental equipment

实验过程如下：①在API 室中铺置一定高度的支撑剂；②向支撑剂施加应力，直至达到12 MPa；③压力机稳定后，记录支撑剂的位移；④增加0.5 MPa，压力机稳定后记录位移；⑤重复步骤④直至应力达到14 MPa。数值和实验结果对比如图4。由图4 可知，实验所测数据点与数值模拟结果基本吻合。

图4 数值和实验结果对比Fig.4 Comparison of numerical and experimental results

2.2 空隙率分布

将支撑剂充填裂缝自下而上分为6 层，研究在5 个不同闭合应力下不同层位支撑剂的空隙率分布特征，裂缝高度与颗粒的空隙率关系如图5。由图5可知，在相同应力状态下，支撑剂颗粒的空隙率自下而上呈缓慢减小-急剧减小-缓慢减小-急剧增大-缓慢增大的分布趋势；随着应力的增大，6 层支撑剂颗粒的空隙率都呈减小趋势。根据此空隙率分布趋势，将支撑剂自下而上分为底层、中层和顶层3 个不同区域进行研究。顶层支撑剂颗粒的空隙率略小于底层的空隙率，中层的空隙率最小，顶层和底层的空隙率为中层的空隙率的2.93～4.61 倍。

图5 裂缝高度与颗粒的空隙率关系Fig.5 Relationship between fracture height and void ratio of particles

2.3 接触力分布

不同区域内支撑剂颗粒间接触力分布见表2。

表2 不同区域内支撑剂颗粒间接触力分布Table 2 Distribution of contact force between proppant particles in different areas

由表2 可以看出，在相同应力状态下，中层支撑剂颗粒之间接触力最强；底层支撑剂颗粒之间的接触力最弱，是中层的0.607～0.615 倍；顶层支撑剂颗粒之间接触力较弱，是中层的0.685～0.695 倍；随着应力的增大，3 个区域内支撑剂颗粒之间接触力都明显增强。

当外部载荷作用于支撑剂颗粒体系时，颗粒通过内在接触力形成接触力网络从而抵抗外部载荷。当外部载荷超过颗粒体系接触力网络所能承受的荷载时，颗粒体系内部平衡被打破，颗粒开始重新排列分布达到新平衡状态以抵抗外部载荷。在闭合应力自裂缝顶部向下传递的过程中，顶层支撑剂颗粒受裂缝顶部闭合应力作用较大，颗粒间接触力网络分布较强，颗粒向下传递力的能力最强，故将此区域称为应力传递区，其空隙率分布位于中层和底层颗粒之间；中层支撑剂颗粒形成最为坚固的接触力网络，体现出最强的颗粒承受力，因而将此区域称为应力承受区，该区域内颗粒的空隙率分布最小；然而应力承受区内支撑剂颗粒向下传递力的能力较弱，从而使得底层支撑剂颗粒所承受的应力骤减，颗粒间的接触力分布较弱，因此将裂缝底层区域称为应力衰减区，此区域内颗粒的空隙率分布最大。随着应力的增大，3 个区域内支撑剂颗粒之间的接触力都增加，导致3 个区域内支撑剂颗粒的空隙率相应减小。

2.4 配位数分布

以应力1 和应力5 这2 个应力状态下的颗粒配位数为典例进行分析，3 个区域内支撑剂颗粒的配位数占比如图6。

图6 支撑剂颗粒的配位数占比Fig.6 Proportion of the coordination number of proppant particles

由图6 可知，在相同应力状态下，3 区内支撑剂颗粒的配位分布大致呈如下趋势：应力衰减区内支撑剂颗粒的小配位数占较多比例，应力承受区内颗粒的大配位数占较多比例，应力传递区内颗粒的大配位数占比处于应力衰减区和应力承受区颗粒的配位数占比之间；随着应力的增大，配位数占比发生变化：大部分大配位数占比普遍增加。

当外部载荷作用于支撑剂颗粒体系时，颗粒体系内部平衡被打破，颗粒开始重新排列分布达到新平衡状态以抵抗外部载荷。在此过程中，一些颗粒和颗粒之间的连接方式发生改变，部分支撑剂颗粒之间的连接中断，造成配位数减少，颗粒间空隙增大，大部分支撑剂颗粒之间建立了新的连接，配位数增加，颗粒间空隙减小。不同区域内支撑剂颗粒的平均配位数分布见表3。

表3 不同区域内支撑剂颗粒的平均配位数分布Table 3 The average coordination number distribution of proppant particles in different areas

由表3 可知，在相同应力状态下，应力承受区内颗粒的平均配位数最大，应力衰减区内支撑剂颗粒的平均配位数最小，是应力承受区的0.760～0.797倍，应力传递区内颗粒的平均配位数较小，是应力承受区的0.883～0.905 倍；随着应力的增大，新建立了连接的支撑剂颗粒数大于失去连接的支撑剂颗粒数，3 个区域内支撑剂颗粒的平均配位数都增加，颗粒间的空隙率呈减小趋势。

3 结 论

1）在相同应力状态下，应力承受区内支撑剂颗粒之间接触力最强，颗粒向下传递力的能力较弱；应力衰减区内支撑剂颗粒之间的接触力最弱，是应力承受区内颗粒间接触力的0.607～0.615 倍；应力传递区内颗粒向下传递力的能力最强，支撑剂颗粒之间接触力较弱，是应力承受区内颗粒间接触力的0.685～0.695 倍；随着应力的增大，3 个区内支撑剂颗粒之间接触力都明显增强。

2）在相同应力状态下，应力承受区内颗粒的大配位数占较多比例，平均配位数最大；应力衰减区内支撑剂颗粒的小配位数占较多比例，平均配位数最小，是应力承受区的0.760～0.797 倍；应力传递区内颗粒的大配位数占比处于应力衰减区和应力承受区颗粒的配位数占比之间，颗粒的平均配位数较小，是应力承受区的0.883～0.905 倍；随着应力的增大，配位数占比发生变化：大部分大配位数占比普遍增加，颗粒平均配位数增加。

3）在相同应力状态下，应力承受区内颗粒的空隙率最小，应力衰减区内颗粒的空隙率最大，应力传递区内颗粒的空隙率略小于应力衰减区内颗粒的空隙率，应力传递区和应力衰减区的空隙率为应力承受区的空隙率的2.93～4.61 倍。随着应力的增大，3层支撑剂颗粒的空隙率都呈减小趋势。