王成伟 张卷美

1. 北京服装学院，北京市 100029

2. 北京电子科技学院，北京市 100070

三次Bézier 曲线广泛地应用在曲线自由设计中，但三次Bézier 曲线不能表示二次曲线并且控制点固定时形状不易改变，为此，很多研究者利用形状参数来构造Bézier 扩展曲线[1-10]。 文献[1]通过增加t 的次数，得到了4 个带有一个参数的基函数，扩展了三次Bézier 曲线。 文献[2-4]分别研究了含有一个形状参数由二次三角多项式组成的基函数，这样构成的曲线的端点特性与三次Bézier 类似。 文献[5-6]分别讨论了二次和三次三角拟Bézier 曲线，它们都含有两个形状参数，但基函数和曲线一般不具有对称性，只具有拟对称性。 文献[7]针对一类带有双参数三次Bézier 扩展曲线，研究其形状参数如何改变曲线的形状的。 文献[8-9]分别研究了三次Bézier 曲线的扩展，虽然曲线中含有三个形状参数，但是所构造的基函数和曲线一般不具有对称性。

本文讨论了三次Bézier 新的扩展曲线，三个形状参数λ、α 和β 含在扩展曲线中，拓广了三次Bézier 曲线的，它克服了文献[8-9]中基函数和曲线不对称的缺点，且更具有一般性。 当λ=1 时，就是文献[1]中讨论的曲线；λ=0 时，就是文献[2]中讨论的曲线；当λ=1，α=0 时，就是三次Bézier 曲线。 实例表明，本文所构造的曲线，可以精确表示一些二次曲线且形状是可调的，对曲线造型是有益的。

1 λαβ -TC-Bézier 基函数的构造及性质

定义1 对t ∈[- 1，1]，令

其中，参数λ ∈[0，1]、α ∈[- 3，1]、β ∈[- 1，1]。

称(1)式为λαβ-TC-Bézier 基函数。

三参数λ、α 和β 取不同值时，基函数所绘的图形见图1。

式(1)所表示的基函数拥有性质如下:

性质1 非负性及权性

性质2 对称性

对任意的t ∈[0，1]，总有bi(t) = b3-i(1 -t)，i = 0，1，2，3。

性质3 端点性质

性质4 退化性

当λ=1 时，式(1)就退化为文献[1]中讨论的基函数；λ=0 时，式(1)就退化为文献[2]中讨论的基函数；当λ=1，α=0 时，式(1)就退化为三次Bézier 的基函数。

性质4 说明了三次Bézier 基函数是λαβ-TC-Bézier 基函数的特例。

图1 λαβ-TC-Bézier 基函数所绘制的图形

2 λαβ-TC-Bézier 曲线的构造及性质

定义2 给定控制点Pi∈Rd，d=2，3，i=0，1，2，3，对λ ∈[0，1]、α ∈[ - 3，1] 和β ∈[- 2，1]，构造曲线

把(2)式叫做λαβ -TC-Bézier 曲线。

显然， λαβ -TC-Bézier 曲线，当λ=1 时，就退化为文献[1]中讨论的曲线；λ=0 时，就退化为文献[2]中讨论的曲线；当λ=1，α=0 时，就退化为三次Bézier 曲线。

图2 表示3 条λαβ -TC-Bézier 曲线，由于三参数取值不同，曲线位置也不同，从下到上(λ，α，β) 分别取(1，-1，0)， (1，0，0)， (0，0，1)。

图2 3 条λαβ -TC-Bézier 曲线

由性质1-4，我们可以推导出λαβ -TCBézier 曲线如下的性质:

性质5 凸包性

由性质1 可得到这条性质。

性质6 对称性

由控制点P0P1P2P3和P3P2P1P0构成的λαβ -TC-Bézier 曲 线 的 是 一 样 的，但 是 方 向相反。

根据性质2，有:

性质7 端点性质

B(0)= P0，B(1)= P3；

3 形状参数对曲线的形状的影响

(1) 固定两个参数α，β， 当另一个参数λ变动时，曲线位置和形状就发生变化，见图3(a)和图3(b)。 图3(a)中，固定α=-3，β=0.5，曲线由上到下分别取λ=0.1，0.5， 0.9 的情况。此时，λ 取值越小，曲线越逼近其控制多边形。图3(b)中，固定α =- 1，β =- 0.5，曲线由下到上分别取λ=0.1，0.5， 0.9 的情况。 此时，此时，此时，λ 取值越小，曲线越远离控制多边形。

(2) 固定参数λ，β，当α 变动时，生成的曲线也发生变化，见图3(c)。 图3(c)中固定λ =0.4，β = 0.6， 曲线从下往上分别取α=-3，-1.5，-0.2， 1 的情况。 从图3(c)可知，当λ，β值不变，α 越大曲线与控制多边形越接近。

(3) 固定一个参数λ，α， 当另一个参数β变动时，如图3(d)所示，所生成的曲线位置有所变化。 图3(d)中固定λ = 0.5，α = 0.6，曲线从下往上分别取β=-1，0， 1 的情况。 从图3(d)可知，当λ，α 值不变，β 越大曲线与控制多边形越接近。

4 两条曲线的拼接

为了下面定理的叙述和证明方便需要，记:

图3 形状参数对曲线的影响情形

定理1 若

图4 λαβ -TC-Bézier 曲线的C1 连续光滑拼接

5 曲线应用实例

5.1 曲线表示椭圆

当λ =α =β =0 时，λαβ -TC-Bézier 曲线能够表示椭圆。 若取4 个控制顶点P0(0，1)，P1(2，1)，P2(2，1)，P3(2，0) 时， λαβ -TC-Bézier曲线的坐标表达式为

就可以得到椭圆方程

图5 λαβ -TC-Bézier 曲线表示的椭圆弧

5.2 曲线表示圆

当λ =α =β =0 时，λαβ -TC-Bézier 曲线能够表示圆。 若取4 个控制顶点P0(0，2)，P1(2，2)，P2(2，2)，P3(2，0) 时， λαβ -TC-Bézier 曲线的坐标表达式为

就可以得到圆方程

x2+ y2= 4

如图6 所示，图6 中，实线部分是由控制顶点P0(0，2)，P1(2，2)，P2(2，2)，P3(2，0) 表示的圆弧，虚线是由方程x2+ y2= 4 表示的圆。

5.3 曲线表示抛物线

当λ =α =β =0 时，λαβ -TC-Bézier 曲线能够表示抛物线。 若取4 个控制顶点P0(0，0)，P1(2，0)，P2(2，1)，λαβ 时， λαβ -TC-Bézier 曲线的坐标表达式为

图6 λαβ -TC-Bézier 曲线表示的圆弧

就可以得到椭圆方程

图7 λαβ -TC-Bézier 曲线表示的抛物线弧

5.4 曲线表示袖山弧线

图8 λαβ -TC-Bézier 曲线表示袖山弧线

6 结束语

本文构造的λαβ -TC-Bézier 曲线含有3 个形状参数，通过调控3 个参数，进行曲线设计。本文所构造曲线具有一定的广泛性，当λ=1 时，就是文献[1]中讨论的曲线；λ=0 时，就是文献[2]中讨论的曲线；当λ=1，α=0 时，就是三次Bézier 曲线。 所构造的曲线可以表示椭圆、圆、抛物线等二次曲线，克服了三次Bézier 曲线不能表示二次曲线和形状不能修改的缺点。 实例表明，本文构造的曲线应用前景非常广泛。