康国华，张 晗，魏建宇，吴佳奇，张 雷

(1. 南京航空航天大学航天学院微小卫星研究中心，南京 210001；2. 西安卫星测控中心，西安 710043)

0 引 言

对于航天器自主交会对接任务而言，安全轨迹指在相对运动的动力学理论指导下，从任务需求角度决定的航天器之间接近与逼近的轨迹。在轨迹规划任务中[1]，空间障碍、测控条件等外部因素以及燃料消耗、机动时间、操作测量器件安全工作范围等特定需求都是轨迹安全与最优规划的约束条件。

相对运动的动力学特性研究通常忽略姿态运动，且多基于C-W(Clohessy-Wiltshire)线性相对动力学方程展开[2]。Luo等[3]提出了包含交会中不同类型脉冲约束、燃料约束以及地面站测控条件约束的相对轨迹优化模型，并结合浮点编码遗传和单纯形算法的优点形成混合优化器，有效获得了全局最优解。随后，Zhang等[4]提出一种非线性的程序设计方法，该方法以消耗的推进剂为目标函数，利用遗传算法对整数和实数的编码算法结合获得最优解，使整体规划路径满足作战约束，综合性能较好。针对近圆轨道，朱彦伟等[5]通过综合C-W方程、脉冲控制和优化理论，从C-W方程解析解构建航天器自然轨迹与受限轨迹数学描述，同时考虑碰撞避免，研究了全局绕飞和局部限制轨迹设计，并分析轨迹的能量消耗，给出了轨迹设计参数。李蒙等[6]在近圆轨道相对运动模型上，结合给定的初始条件，通过初值计算和精确解迭代步骤获得了变轨控制参数，实现了航天器的自主变轨规划。姚党鼐等[7]将相对运动分解为视线瞬时旋转平面内的运动与转动，通过确定最佳机动方向使得航天器具有在空间目标距离较近时的自主规避能力，用于规避轨迹任务的基础。

近年来，随着电推进技术的发展，使最优控制理论可被用于轨迹规划[8-11]，实现最小时间[12]和能量[13]的转移轨迹。潘迅等[9]提出考虑地球扁率J2项摄动影响的小推力燃料最优轨道转移方法，分别对动力学模型、推力大小和性能指标同伦；根据极小值原理推导最优控制律，得到小推力燃料最优转移轨迹，有效解决了J2项摄动引起的系统非线性强、算法不收敛等问题。姚玮等[10]提出一种基于连续推力并将贝塞尔曲线与轨道形状方程相结合的平面机动轨道设计方法，将累计速度增量作为优化指标函数，并利用优化算法得到了最优机动轨道，解决了限制时间约束的平面轨道交会问题。Richards等[11]通过优化二进制变量，将必要逻辑约束附加到燃料优化的线性程序中，提出了一种能够有效躲避空间障碍或其他运载工具的航天器燃料最优轨迹规划方法。上述研究逐步摆脱了早期只考虑算法本身，不考虑推力器实际能力的弊端，更加接近工程实际。

然而，空间中失效航天器与碎片的动态变化，给转移轨迹带来新的威胁和挑战。上述文献[3-7,9-11]对基于C-W方程、最优控制的转移轨迹规划均有一定成果，但未考虑空间障碍物动态的情况。本文在在轨航天器轨道规避体系研究的指导下[14]，提出了一种能量最优的连续动态避障算法，该方法基于有限时间的相对运动能量最优模型，结合轨迹偏移和正态分布概率推导了包含安全距离约束的运动轨迹规划模型；通过考虑碰撞风险，确定了动态避障点的选取规则，同时考虑能量约束问题，使航天器在有效规避动态障碍的同时尽可能减少燃料的消耗。

1 问题描述

追踪航天器(Sat)要在有限时间完成轨道转移，追上目标航天器(Tar)(如图1)，要求规划的轨迹满足空间相对运动动力学，能够躲避空间中带有一定速度的障碍物，同时实现能量最优，减少燃料的消耗。

图1 追踪航天器避障轨迹规划Fig.1 Obstacle avoidance planning for tracking spacecraft

传统的轨道躲避机动通常需要三个脉冲完成[15]，如图2所示，主要存在如下问题：

1)避障次数与原轨迹发生碰撞次数一致，无法通过避一次障碍消除后续碰撞风险；

2)对控制器瞬时推力要求大，对控制器要求高；

3)在时间固定的转移任务中，需要消耗大量燃料以完成任务。

图2 三脉冲避障策略Fig.2 Three-pulse obstacle avoidance strategy

鉴于燃料的重要性，航天器动态避障需要考虑能量最优、燃料最优。同时，为简化追踪航天器与目标航天器之间的动态避障轨迹规划问题模型，不失一般性，做如下假设：

1)地球为均质球体，完全中心引力场；

2)航天器与空间物体(障碍物)在空间中所占区域用半径已知的球体表示；

3)航天器在近地圆轨道上运行；

4)追踪航天器相对目标航天器的距离远小于目标卫星轨道半径；

5)目标航天器未施加主动控制，追踪航天器具有机动能力(各个方向均安装推力器，可提供任意矢量方向的推力，施加推力前不需要建立点火姿态)。

2 能量最优相对轨迹规划

2.1 相对运动建模

本文的追踪航天器与目标航天器满足C-W方程要求，建立以目标航天器质心Ot为原点的相对坐标系：Xt轴与目标航天器位置矢量r重合，由地心指向目标航天器；Yt轴在目标航天器轨道面内与Xt轴垂直，沿运动方向为正；Zt轴垂直与轨道平面，与Xt轴，Yt轴构成右手系。轨道相对运动方程为：

(1)

式中：x,y,z为目标轨道坐标系中追踪航天器的位置分量；ux,uy,uz为追踪航天器的轨道控制加速度；n为目标航天器轨道角速度。

(2)

2.2 能量最优下的相对运动规划

路径明确下的轨道机动通常需要考虑能量、时间等综合因素对目标进行优化，应用最优控制理论建立如下有限时间能量最优性能指标[16]，如式(3)。

(3)

式中：t0和tf分别为初始时刻和终端时刻。根据最优控制理论基础方程[16]，推导出能量最优下的位置与速度模型如式(4)所示。

(4)

3 连续动态避障轨迹优化

3.1 规避障碍安全距离建模

在上述规划路径上，如存在动态障碍物，则需进一步考虑动态避障问题。虽然在初始时刻即考虑障碍物位置与速度进行轨迹规划，但由于空间中存在的各种影响以及C-W方程局限性，最终有可能导致对障碍物轨迹预测出现误差累计，从而发生偏移，导致结果如图3所示。本文在能量最优规划基础上，融合轨迹偏移误差模型和正态分布模型，建立了动态障碍物轨迹偏移下的规避障碍安全距离模型。

图3 累计误差导致的轨迹偏移Fig.3 Trajectory shift caused by cumulative error

在没有施加控制量时，可以根据初始时刻状态向量求得任意时刻障碍物的相对状态量值，如式(5)所示[3]，即可获得障碍物随规划时间变化的状态量。

X(ti)=Φ(ti,t0)X(t0)

(5)

由于C-W方程的线性化误差、小偏心率误差以及摄动误差主要体现在切向(y向)[17]上，包括位置预报的长期误差和周期性误差；x与z向误差均为周期项且小于y向，所以本文主要考虑y向的偏移，如式(6)。

(6)

在考虑动态障碍物轨迹偏移基础上，基于如下假设构建规避障碍安全距离模型：障碍物轨迹偏移服从正态分布模型[18]，障碍物包围球半径(期望)μ(t)=ro(t)=ro(t0)+|Δy(t)|，随时间逐渐变大；时间越长，预报的准确性降低，设规划t0～tf时间间隔内，期望处概率在f(μ(t))∈[ξ0,ξf]之间(该值相当于叠加了扰动，该值越小说明对预报轨道的信赖度越低)，求解该时间段内方差σ(t)范围。根据追踪航天器规避障碍准确率，使其轨迹始终保持在障碍中心距离(期望)对应的σ(t)之外即可。

图4 z轴视角下的规避障碍安全距离模型Fig.4 Obstacle avoidance safety distance model from z-axis perspective

3.2 避障点选取

通过构建规避障碍安全距离模型，可在每一时刻获得追踪航天器与障碍物避免发生碰撞的最小安全距离。若障碍物具有一定速度残留，为防止碰撞，需对其与追踪航天器的速度矢量进行分析，提高规避障碍的效率，降低后续碰撞发生概率，构建动态避障点选取模型如图5所示。原轨迹为初始规划轨迹，与障碍物O的包络相交于A，B点。

图5 动态避障点选取Fig.5 Dynamic obstacle avoidance point selection

(7)

令cosφ=

(8)

取e′OC为eOC的最终值，由3.1节确定障碍物球心到避障点长度为rc=μoi(t)+2σoi(t)，此时避障点C的惯性系位置矢量Pc如式(9)所示：

Pc=(kcrc)eoc+Po

(9)

式中：Po为故障物质心惯性系位置矢量，kc为追踪航天器安全系数，将其视为质点时kc=1；若考虑为有大小的物体时，kc>1。

3.3 连续动态修正能量最优避障策略

如3.2节避障点选取，已知唯一确定点C位置矢量，于是构建动态修正避障示意图如图6所示。

图6 动态修正避障Fig.6 Dynamic correction obstacle avoidance

原轨迹在与第一个障碍物相交产生避障点C1后，将会根据下一个障碍物情况实时生成新的避障点C2，经过这样多次修正，规划的轨迹将始终满足实时的能量最优的要求。于是，结合3.1节和3.2节，构建连续动态避障点优化如图7所示。

图7 连续动态避障算法Fig.7 Continuous dynamic obstacle avoidance algorithm

根据图7，轨迹修正部分的具体算法步骤如下：

1)根据原轨迹与各障碍物预报轨迹在时间间隔t0～tf进行碰撞判断，若发生碰撞则i=i+1(i的初始值为1)，进入步骤2)，否则退出进入步骤6)；

2)寻找时间序列中最近的时间toi以及其对应A与B点位置矢量；

3)根据障碍物当前速度矢量以及轨迹预报生成的规避概率确定唯一修正点C，点C位置矢量与时刻toi确定，速度矢量为原轨迹中toi对应速度；

4)根据时刻toi为界，将规划问题分为初始时刻为t0终端时刻为toi以及初始时刻为toi终端时刻为tf的两段轨迹规划，并更新原轨迹；

5)判断t0～toi间隔输出的原轨迹(已更新)是否与障碍发生碰撞：

(1)若发生碰撞则不改变i的赋值，使原轨迹为t0～toi间隔输出的原轨迹并进入步骤2)；

(2)若未发生碰撞则使原轨迹为toi～tf间隔输出的原轨迹，后令t0=toi，进入步骤1)。

6)最终将轨迹中每个时间段的性能指标按照如式(3)相加用以描述轨迹规划性能并输出轨迹。

4 仿真校验与分析

4.1 仿真参数设置

为了对所提出的避障方法进行仿真校验，利用Matlab构建算法程序，整个运行环境如表1所示。

467例急性心肌梗死β受体阻滞剂的应用状况及影响因素分析………………………… 陈瑾瑾，刘培延，张 倩（5·371）

表1 仿真环境参数Table 1 Simulation environment parameters

本节以追踪航天器躲避障碍物且接近目标航天器为例进行仿真，目标航天器为近圆轨道运行，其在惯性坐标系下的初始状态参数、以及仿真环境参数设置如表2所示。

表2 仿真参数设置Table 2 Simulation parameter setting

在本例中，追踪航天器与目标航天器处于异面状态，根据空间近距离路径规划要求，两航天器之间的相对距离不得超过10 km。于是，设置两航天器的初始轨道根数如表3所示；两航天器在地心惯性坐标系下的初值如表3所示；两航天器在相对坐标系下的初始值如表5所示。同时，设置空间动态障碍物的数量为5个，初始状态与误差如表6，表7所示。

表3 两航天器的初始轨道根数Table 3 Number of initial orbits of two spacecraft

表4 两航天器在地心惯性坐标系下的初值Table 4 Initial values of the two spacecraft in the geocentric inertial coordinate system

表5 两航天器在相对坐标系下的初值Table 5 Initial values of two spacecraft in relative coordinate system

表6 障碍物在相对坐标系下初始状态Table 6 Initial state of obstacles in relative coordinate system

表7 障碍物在相对坐标系下初始状态误差Table 7 Initial state error of obstacle in relative coordinate system

4.2 仿真与分析

根据表1～6进行仿真环境初始化，对能量最优的航天器连续动态避障轨迹规划算法进行仿真验证，并根据表7与式6获得了5个动态障碍物y向误差偏移量(如图8)。

图8 动态障碍物轨迹偏移量Fig.8 Dynamic obstacle trajectory offset

根据图7算法流程构造的连续动态避障轨迹规划算法，输出的动态避障轨迹的哈密顿函数曲线与轨迹如图9～10所示。从图9中可以看出，追踪航天器每段成功避障后的轨迹均通过哈密顿曲线能量最优的验证，且在时刻t1=192s和t2=638 s时进行了有效的避碰操作，累计规避两次障碍。

图9 动态障碍规避中的哈密顿函数Fig.9 Hamiltonian function in dynamic obstacle avoidance

从图10可以看出，原轨迹(未设置动态障碍的轨迹，虚线)会与3个障碍物(障碍物1、3、4)前后发生碰撞；而经连续动态避障算法优化后的转移轨迹(实线)，能够根据避障点选取规则确定的避障点(图中五角星标记)有效地规避空间动态障碍，并且成功排除1次原有的碰撞风险。同时，为完整呈现整个动态仿真过程，对追踪航天器与每个障碍物的实时距离与安全距离进行模拟，如图11所示。

图10 连续动态避障轨迹Fig.10 Continuous dynamic obstacle avoidance trajectory

图11 航天器与障碍物距离曲线Fig.11 Distance curve between spacecraft and obstacles

为描述直观，将图11中3个有碰撞风险的障碍物包络与追踪航天器质心之间的距离曲线放大，如小图所示：3个障碍物与追踪航天器之间的距离在动态过程中始终保持在安全距离(0标准距离)之外，有效地躲避了碰撞的发生。

考虑工程实际，根据工质燃料消耗公式，假设追踪航天器推进器比冲Isp=3000 s(现有的推进系统很容易达到[20-21])，可获得避障过程中消耗的实际工质,基于此得出如表8的统计分析。

表8 有无动态避障的速度增量与工质消耗对比Table 8 Comparison of speed increase and working fluid consumption with or without dynamic obstacle avoidance

从表6看出，追踪航天器通过规避2个障碍物得出的轨迹，其性能指标增加了3.77%，速度增量增加0.65%，工质消耗增加了0.77%。因此，动态避障轨迹规划算法能够通过增加微量燃料消耗，来满足规避动态障碍的任务要求。

5 结 论

本文提出的能量最优实时动态避障算法，能够实现障碍物具有动态不确定性下的能量最优轨迹转移。根据空间相对运动特殊性，本文融合线性相对运动方程与有限时间的能量最优模型，推导了相对运动能量最优模型。考虑空间障碍物动态变化，将其y向误差偏移与中心正态分布概率引入规避障碍安全距离模型中，确定追踪航天器的轨迹禁区，给出最小安全距离。同时，提出一种动态避障点的选取规则，对避障点的具体位置进行了几何约束，有效减小后续碰撞发生概率的同时使燃料的消耗尽可能最少。仿真验证表明，连续动态避障算法符合能量最优性，具有较高的安全性和可靠性。