王思捷，黄 腾，周立俊，吴壮壮

（1.河海大学 地球科学与工程学院，江苏 南京 211100）

近年来，城市地下轨道交通飞速发展，缓解了地面交通占地大、人流多、易拥堵的状况。为了保障地铁安全运行，必须长期对地铁轨道实施变形监测工作，及时掌握地铁的健康状态，避免恶性事件的发生[1]。随着地铁线路的不断增加，传统的定期监测手段已不能满足要求，自动化、智能化监测方法成为地铁变形监测的主要研究方向[2]。时间序列分析[3]、自回归模型[4]、GM(1,1)模型[5]、卡尔曼滤波[6]、小波分析[7]、神经网络[8]等现有方法均取得了一定的成果，但奇异谱分析（SSA）方法在地铁变形监测方面的研究与应用还较少。

利用沉降监测的时间序列数据进行建模进而对未来一段时间内的沉降量进行预测是当前地铁沉降预测的主要方案；而当时间序列中含有噪声时，将大大降低模型的预测精度。SSA方法具有不受正弦波假定的约束、无需先验信息的优点，可从原序列中提取到尽可能多的可靠信息，从而达到去噪效果[9]。BP神经网络是一种自适应的预测模型，能对非线性序列在短期内实现很好的预报[10]。本文提出的SSA_BP神经网络模型，首先利用SSA方法的优越性对原始序列进行分解，提取其中的趋势项与周期成分，同时削弱噪声、提高信噪比；然后利用BP神经网络方法分别对趋势项与周期成分进行训练，构建预测模型；最后进行重构预测，得到的趋势值与周期值即为最终预测结果。

1 SSA方法

对一维时间序列X={xi|i=1,2,...,n}进行SSA，可分为构建轨迹矩阵、奇异值分解和序列重构3个主要步骤[11]。

1）构建轨迹矩阵。首先选择合适的嵌入窗口长度L（2≤L≤n/2），且有K=n-L+1；再构建一个L×K的轨迹矩阵XL×K，计算公式为：

2）奇异值分解。由于式（1）不方便直接求解其特征值和特征向量，因此定义矩阵C=XXT，计算其特征值λi和对应的特征向量Ui，再按特征值降序排列λ1≥λ2≥…≥λL≥0，其中最大的特征值对应的特征向量即为序列的趋势，一般将较小特征值对应的特征向量当作噪声[12]。

设d=min{L,K}，定义Ui和Vi分别为轨迹矩阵的特征值和左、右特征向量。称为原序列的奇异谱。令初等矩阵为：

则轨迹矩阵可由d个初等矩阵合成，即

3）序列重构。将第k个时间主分量定义为原序列在UK上的正交投影系数，则有：

根据UK与VK重构Xi的成分记为xiK，则重构公式为：

重构成分叠加之和与原序列相同，即

2 SSA_BP神经网络模型

2.1 BP神经网络模型

BP神经网络是一种基于误差方向传播算法的前馈网络，其建模过程主要包括信息正向传递和误差反向传播。输入值在输入层经过带有权重的隐含层神经元到达输出层，即为正向传递过程；计算实际输出值与理论输出值的误差，并通过反向传播算法改变隐含层各神经元的权重，即为反向传播过程。反复迭代正向传递与反向传播，直到输出值误差达到期望目标，保存各神经元的权重即可完成模型构建。

图1 BP神经网络结构

2.2 SSA_BP神经网络模型

本文建立了地铁沉降的SSA_BP神经网络模型，首先利用SSA方法处理时间序列的优越性削弱噪声，并准确提取原始序列的趋势项与周期成分；然后利用BP神经网络进行预测并重构，完成模型构建。其具体步骤为：

1）首先对原始序列进行平稳性分析，再利用SSA滤波法确定SSA方法的嵌入窗口长度L和重构阶数P。

2）根据Kendall非参数检验判断某个重构成分RCK是否属于趋势项，计算满足xi,K＜xj,K的指标数Kr，构造统计量，计算公式为：

假设RCK不是趋势项，则τ服从均值为0、均方差的正态分布。置信度α=0.05时，若样本落在（-1.96S，1.96S）区间之外，则拒绝原假设，认为RCK是趋势项。

3）根据特征值判断周期成分。若轨迹矩阵的两个特征值很接近且对应的一对左右特征向量分别正交，则这两个特征值对应的重构成分之和为原序列的周期成分之一。

4）分别对原序列的趋势项X1与周期成分X2构建BP神经网络模型，并预测趋势值y1与周期值y2。

5）重构趋势值y1与周期值y2得到实际预测值。

3 实例分析

为了验证SSA_BP神经网络模型的正确性和优越性，本文选取某地铁结构监测区中一个监测点连续44期的实测数据作为样本，计算原始数据的自相关系数p，并对其进行平稳性分析，计算结果如图2所示。

式中，u为序列均值；S为序列方差。

图2 自相关系数函数图

由Bartlett理论可知，当xK～N(0,1/44)时，可判断该序列为平稳序列。pK(K＞1)在显著水平α=0.05条件下的置信区间为（-0.118，0.118），由原始数据的自相关系数可知，p3、p7、p9等9个数落在置信区间之外，因此原始数据为非平稳序列，适合采用SSA方法对其进行处理。利用SSA滤波法确定构建轨迹矩阵的嵌入窗口长度(L=16)和重构阶数(P=15)。求出特征值与特征向量后，根据Kendall检验与Hurst指数，确定最大特征值对应的重构序列为趋势项，最小特征值对应的重构序列为噪声，其余项之和为周期成分。原始数据的趋势项与周期成分如图3所示。

将前34期数据分为9个训练样本，每个样本包含26期数据，其中前25期数据作为输入，最后一期作为输出数据的期望值。利用训练样本分别建立BP神经网络模型和SSA_BP神经网络模型，并对35～44期沉降量进行预测。由于神经网络的预测结果具有不稳定性，因此采用两种模型分别进行10次预测取均值作为最终预测结果。以实测值与预测值之差的绝对值为残差，结果如表1所示，可以看出，BP神经网络模型

图3 SSA方法重构序列图

的预测值残差最大值达到1.28 mm；而SSA_BP神经网络模型预测值残差最大值为0.32 mm，且90%的预测值残差均优于前者，说明其整体预测精度更高。结合图4可以看出，BP神经网络模型在预测第41期时残差急剧增加，表现出模型只能进行短期有效预测的缺点；而SSA_BP神经网络模型在全部10期的预测中表现稳定，证明其对于长时间跨度的预测更加可靠。

表1 两种模型预测结果对比/mm

图4 预测结果残差对比图

4 结 语

SSA方法能有效降低数据噪声对预测模型的干扰，并准确提取趋势项与周期成分，与BP神经网络相结合能更好地对非线性数据进行预测。本文通过对比分析BP神经网络模型与SSA_BP神经网络模型发现，SSA_BP神经网络模型充分利用了SSA方法的优势，采用噪声更少的数据建立了更优的预测模型，比单一的BP神经网络模型预测结果精度更高，且预测结果稳定，可应用于地铁沉降的长期预测。然而，本文的实例分析并不能得出SSA_BP神经网络模型的最大预测长度，还需对其进行进一步研究。