闫二斌

(宜川县中学,陕西 延安 716200)

笔者在对2016年全国理综二卷第35题(物理选修3-5动量)的第(2)小题时,产生了一些困惑,就此请教了陕西省宜川县中学景银安老师以后,景老师做了非常慷慨指导,所以作者非常感谢景老师.之后笔者又进一步对此题所描绘的物理情景进行了详细的研究,即基于强烈的好奇心,提出了一系列疑问,并使用高中物理和数学知识给出了详细的解答.恳请大家先自己独立思考这些问题,有了明确的答案后,再看后面的解答.对于此解答中的疏漏、错误和愚钝,恳请大家不吝赐教,笔者将感激不尽.

1 问题描述

如图1所示,在光滑的水平面上,放有滑块和斜台,滑块的质量为m1,斜台的质量为m2,斜台斜面的倾角为θ.初始时,滑块m1放在斜台m2斜面的底部,且m2的初速为0,m1的初速为v0,方向沿斜面向上.设斜面是光滑的和足够长的,且运动过程中,机械能始终守恒.我们研究:初始时刻以后,滑块先上升到竖直位移最高处,再下降到斜台底部的运动过程.

图1

问题1:滑块m1上升到其所能到达的最大高度处时,m1的水平分速度和m2的水平分速度有什么关系?为什么?如何计算m1所能上升的最大高度?

问题2:运动过程中,m1和m2之间的压力的大小是否在变化?为什么?

问题3:斜台m2是否在做水平向右的匀加速直线运动?为什么?

问题4:滑块m1经过多长时间上升到其所能到达的最大高度处?又经过多长时间回到斜台斜面的底部?为什么?从初始时刻到滑块回到斜台斜面的底部,斜台前进了多少米?

问题5:相对于地面,滑块m1的运动轨迹是怎样的?直线还是曲线?为什么?请分3种情况讨论之:m1m2.

问题6:若初始时,m1的初速度的方向不与斜面平行,而是水平向右,其余条件不变,则接下来会发生什么?

2 详细解答过程

在水平方向,取向右为正,且单位方向矢量为i,在竖直方向,取向上为正,且单位方向矢量为j.设时间为t.m1与m2之间压力的大小为N(t),方向始终垂直于斜面.m1的竖直位移为s1y(t)j,水平位移为s1x(t)i,m2的位移为s2(t)i.m1的竖直速度为v1y(t)j,水平速度为v1x(t)i,m2的速度为v2(t)j.m1的竖直加速度为a1y(t)j,水平加速度为a1x(t)i,m2的加速度为a2(t)i.

2.1 受力分析

对于m1,根据牛顿第二定律,竖直和水平方向有

N(t)cosθ-m1g=m1a1y(t).

(1)

-N(t)sinθ=m1a1x(t).

(2)

对于m2,易知其竖直方向的合力始终为0,水平方向有

N(t)sinθ=m2a2(t).

(3)

利用(3)式可消去(1)式、(2)式中的N(t),得

(4)

(5)

2.2 对问题1的分析

易知以地面为参考系,m2始终沿水平方向向右运动,其竖直速度始终为0.若以斜台m2为参考系(由于m2加速,所以为非惯性参考系),则m1做直线运动,其竖直位移最大时,其相对于斜台m2的速度为0. 若再以地面为参考系,则当m1竖直位移最大时(设此时时间为th),有

v1y(th)-0=0，v1x(th)-v2(th)=0.

即此时其二者水平速度相等(不妨设此速度为v共).将m1和m2视为一个系统,由于此系统水平方向不受外力,则其水平方向的动量守恒,有

m1v0cosθ+0=(m1+m2)v共.

又根据机械能守恒定律,可得

其中h即为m1所能达到的最大高度,联立以上两式,不难解出h.

以上利用守恒定律的方法,似乎只能求解问题1,对于其他问题,似乎没有任何帮助.接下来对m1和m2的位移、速度、加速度进行分析,用以寻找其他问题的答案.

2.3 运动学分析

易知m1始终在m2的斜面上运动,从未与m2分离,不妨将此条件称为重要前提假设.如图2,分别画出了0时刻和之后任意时刻t时刻(此时m1可能正在上升也可能正在下降)的运动图像,分析后,根据几何关系可得(位移的参考原点取0时刻m1的所在位置)

图2

即对于任意时刻有

s1y(t)=tanθ[s1x(t)-s2(t)].

(6)

给(6)式的两边同时对时间求导,得

v1y(t)=tanθ[v1x(t)-v2(t)].

(7)

验证m1和m2的初速度,发现恰好满足(7)式. 这便意味着在此初始条件下,m1会一直贴着m2运动,不会分离. 再给(7)式的两边同时对时间求导,得

a1y(t)=tanθ[a1x(t)-a2(t)].

(8)

上面的(6)-(8)式是在“重要前提假设”下推出的,即若m1始终在m2的斜面上运动,则必有(6)-(8)式;若m1和m2的速度(包括初速度)、加速度不能满足(7)式、(8)式,则m1不会一直在m2的斜面上运动,会离开斜面.

将(4)式、(5)式代入(8)式,即可解得

(9)

即发现a2是一个与时间无关的常数. 再加上m2初速为0,所以由此便可证明m2做向右的匀加速直线运动. 再将(9)式代入(3)-(5)式,即可发现N、a1y、a1x皆与时间无关,都是常数,即

(10)

(11)

(12)

以上,便回答了问题2和问题3.

2.4 对问题4的解答

设所求时间为th,易知m1在竖直方向做初速为v0sinθ的匀变速运动,加速度为(11)式中的a1y,即有

v1y(t)=v0sinθ+a1yt.

根据匀变速运动的对称性,易知,再过th,m1就从最高点回到了水平面.从0时刻到m1回到水平面,所经历的时间为2th,此过程中m2做初速为0的匀加速直线运动,加速度为(9)式中的a2,则此过程中m2前进的距离为

附加思考题:设θ、v0都是常数,而m1和m2可取不同数值,求th的取值范围.

图3

2.5 对问题5的解答

通过上面的论证,我们已经知道:m1所受合力大小和方向都不发生变化,所以我们只需判断其初速与合力的夹角(或初速度与合加速度的夹角),就可以判断出它做怎样的运动.而根据已知和(8)式、(9)式、(11)式、(12)式,则有图3

图3中角φ>θ,是因为由(8)式可推得

所以我们可以得出:相对于地面,m1做类斜上抛运动,其运动轨迹为抛物线的一部分,且此抛物线的对称轴与图3中的a1的方向平行.

曲线的具体刻画,可采用参数方程给出.设t时刻m1相对于地面在A点,则A点的坐标为(s1x(t),s1y(t)),其中

对于从0时刻到滑块m1回到水平面的过程,根据水平方向动量守恒,易知

m1

m1=m2时,有v1x(2th)=0,即m1水平末速为0(水平方向上m1与m2速度交换);

m1>m2时,有v1x(2th)>0,即m1水平末速向右.

对于以上分析,可用电脑进行如下的计算和轨迹绘制,进行验证.(其中g=9.8 N/kg,没有带单位的物理量,其单位皆取国际单位.)

表1 不同初值下各物理量的值和m1所对应的运动轨迹

图4

图5

图6

图7

图8 图9

2.6 对问题6的解答

此时此刻,我想问大家,当初我们在“重要前提假设”的条件下,推出N与时间无关,为常数的时候,你是否感到非常惊讶?!因为两接触的物体之间的相对速度越大,它们之间的压力就越大,例如一颗子弹以1 cm/s的速度朝你静止的手飞来,可以想象你不会受伤.但是如果一颗子弹以10 m/s的速度朝你静止的手飞来,可以想象你的手将会有剧烈的疼痛.对于m1初速沿斜面向上、m2初速为0的初始情形,水平方向m1做初速不为0向右的匀减速运动,m2做初速为0的匀加速运动.m1上升阶段,它们水平方向的相对速度在减小,所以它们之间的压力N的大小应该逐渐减小才对,为什么是不变的呢?这便与笔者的第一直觉产生了奇妙的冲突.

图10

那到底错在了哪里呢?错在了上述相对速度的说法不够准确,而应该是:两接触的物体之间在垂直于接触面的方向上的相对速度越大,它们之间的压力就越大.上面我们已经证明当m1初速沿斜面向上、m2初速为0时,在接下来的运动中,其二者之间的压力N的大小和方向都不变化,那么这也就意味着此后任意时刻其二者在垂直于斜面的方向上的相对速度不会变化.而它们初始时在垂直于斜面的方向上的分速度都为0,这便意味着之后它们在此方向上的速度始终相等.要想证明这一点,只需证明它们垂直于斜面的方向上的加速度相等即可(因为它们此方向上的初速度相等),即

a1xsinθ-a1ycosθ=a2sinθ.

(13)

然而(13)式便是(8)式.这便证明了自恰性.

若以斜台为参考系,则滑块沿斜面运动,垂直于斜面方向的分速度始终为0.即在垂直于斜面方向上二者的相对速度始终为0. 故亦可证明上述结论.

当m1初速沿斜面向上、m2初速为0时,在接下来的运动中,其二者之间的压力N的大小和方向都不变化(而且其二者在垂直于斜面的方向上,相对速度始终为0),此时它们二者之间的压力N,可以说本质上来源于重力,因为在这种情况下,如果没有重力,则m1会直接以初速做匀速直线运动,而且与m2之间不会有弹力存在(忽略m1与m2之间的万有引力).

图11

而对于m1初速不与斜面平行、m2初速为0的情形,由于初始速度条件不满足(7),所以接下来的运动中,m1一定会离开斜面,与m2分离.若此时m1的初速在垂直于斜面方向上的分量还指向m2,可以认为此时m1以此垂直于斜面方向上的分速度去撞击m2(弹性碰撞),所以它将受到较大的来源于撞击所产生的力,大到足以使m1与m2分离.

附加思考题:对于m2≫m1或m2≪m1的极限情形,本文所计算的a2、a1x、a1y、N、φ、th、s2(2th)和m1的运动轨迹将变成怎样的情形?试以此说明解的自恰性.

3 启示

查阅相关资料后发现文献[1]和[2]都对此题有所论述,但都是先研究m1初速为0的情况获得相应结论,而且没有讨论各种初速下m1的运动轨迹,如果当初首先是从这两本书中研究此问题,或许就不会产生如此多的疑问,而只是将其视为一道竞赛题.所以有时候在好奇心的驱使下,主动发问,主动探究,往往会获得不同的收获,因为这样的研究是连续的、有主动想象在内的.这同样也启发我们出题时,可以循序渐进地设计许多问题,让学生思考一个物理现象的实际运动过程,脑中有运动过程的图像,非常透彻地研究整个物理过程.