孙仕英

[摘  要] 递进式几何探究题在中考中十分常见，过程解析要利用类比探究的方法，同时合理运用“步步为营，以退为进”的策略，稳步分析，全面总结，“退”“进”有度，合理参考引用. 文章深入分析问题，并结合实例加以探究，提出相应的教学建议.

[关键词] 几何;探究;递进;类比;模型

递进式探究是几何常见的考查方式，常作为压轴题在中考中出现. 把握问题特点，掌握解法策略，亲历解题过程，自主解题感悟，既是解题探究的要求，也是素质提升的重要途径，下面具体分析.

问题分析与解法探究

递进式几何探究题往往以层层递进的方式来呈现问题，涉及探索发现、类比探究、解决问题等环节，解析过程大多需要经历模型建立、模型探究和模型应用三个阶段. 递进式几何探究题往往具有小落点、深分析的特点，问题解法前后关联，融合了从特殊到一般的思想方法，能够引导学生掌握数学探究的方法，提升学生的综合能力.

解决此类探究题，需要掌握一定的技巧. 问题的图形往往较为复杂，读图、识图是解题过程中的重要环节，可以其中的基本图形作为突破口，观察问题图形中是否含有基本图形或模型，以基本图形的性质结论作为探究起点. 另外，问题常以递进设问、类比构造的方式呈现，特别注重构造全等或相似三角形以及引出辅助圆等. 问题解析建议采用“步步为营，以退为进”的策略，即递进式几何探究题一般分设三小问，解析时要深刻理解每一问的信息条件，总结问题解法，后续分析没有思路时，可退回上一问，总结解题要点，这也是该类问题探究引导的特点所在.

实例解读与评析总结

递进式几何探究题的类型众多，关注解析过程，感悟解题方法是探究的重点，下面对一道实例加以探究.

问题：在△ABC中，已知CA=CB，∠ACB=α. 点P是平面内的任意一点（与点A和C均不重合）. 连接AP，将线段AP绕着点P逆时针旋转α，可得线段DP，再连接AD，BD，CP.

分析：本题是以三角形为背景的几何探究题，主要探究不同情形下线段比值、两线夹角等. 首先需要理解图形结构，△ABC是以点C为顶點的等腰三角形，而点P是三角形内的动点，由旋转过程可知∠APD=∠ACB=α，且△APD是以点P为顶点的等腰三角形. 显然图形中存在一组相似三角形△ACB∽△APD，后续探究可充分利用相似特性.

过程探究：（1）该问设定α=60°，显然△ABC和△APD均为等边三角形，求BD与CP的线段比值以及两线相交所成较小角的度数. 可将其放置于对应三角形中，采用“补形—性质分析”的思路.

求直线BD与CP所成较小角的度数，就是求∠BEO的大小. 根据上述全等性质可得∠ACP=∠ABD，又知∠AOC=∠BOE，则可推得∠BEO=∠CAO=60°，即直线BD与CP所成的较小角的度数为60°.

思路总结：求问题中的线段比值和所成角的大小，可充分利用问题中的全等或相似关系，提取其中的等角关系，进而推导角度大小.

（2）该问直接设定α=90°，则△ABC和△APD均为等腰直角三角形，可设BD交AC于点O，BD交PC于点E，如图5所示.

评析总结：上述探究几何图形中的线段比值以及所成角的大小，主要有三大特点，一是依托几何旋转构建了两个相似三角形，并可视为是旋转缩放关系;二是采用递进设问的方式，由60°角形成的等边三角形，递进到90°角形成的等腰直角三角形，再递进到形成共线、平行等特殊情形.

解后思考与教学建议

递进式几何探究题兼具综合性与探究性，实际教学中教师要指导学生掌握解题方法，培养良好的解题习惯，提升学生的综合素养. 下面笔者提出几点教学建议.

1. 关注图形变换，强化作图能力

递进式几何探究题的结构可概括为“核心框架突出”与“图形灵活变换”相结合，即问题主干不变，适度进行图形变换，如点动、翻折、平移等，故读图审题十分重要，也是解题的关键一步. 这就要求学生具备扎实的作图功底，能够深刻理解条件精髓，准确作图. 几何教学中，教师需要培养学生的语言转化能力，引导学生掌握几何语言与文字语言的对应关系，灵活转换;同时总结几何关系的构建方式，包括作垂线、平行线、角平分线等，强化学生的作图能力.

2. 学习类比探究，感悟“向上看”的策略

类比探究是突破递进式几何探究题的核心方法，解题时建议配合使用“步步为营，以退为进”的策略，简单来说就是多总结、向上看，即完成第一问的解析后，注意对其加以总结，后续解析出现思维障碍时，可参照上一问的思路进行模型、方法、思路的迁移. 教学中可精选典型问题，从问题图形、核心条件、知识考点、方法思路等角度加以分析，引导学生掌握类比探究的方法.

3. 渗透思想方法，注重学科素养的提升

类比探究中隐含了类比思想，其中的思想核心是教学的重点，对于学生的素养提升极为重要. 因此，教学递进式几何探究题要注重思想方法的讲解，合理渗透类比思想，让学生感悟其中的思想内涵，掌握类比探究的技巧. 同时，解题过程还涉及模型思想、数形结合、分类讨论等，教学时可将思想方法进行综合，基于数学思想构建解题思路. 以思想方法的教学为核心，发展学生的数学思维，全面提升学生的学科素养.

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