吴淑玲

[摘  要] 图形变换法在几何问题中有着广泛的应用，通过图形变换可将分散条件聚集，串联条件构建思路. 图形变换法往往与几何模型结合紧密，变换后所构模型的特性是破题的关键. 文章深入探索图形变换法，举例应用并开展教学反思，提出相应的建议.

[关键词] 变换法;平移;旋转;翻折;思想方法

方法综述

对于条件较为分散的几何问题，可通过合理变换图形来聚集图形特征，串联问题条件，从而挖掘问题本质，获得突破的切入点. 图形变换包括平移、旋转、翻折等全等变换，而相似变换也可视为是一种图形变换. 下面结合一道例题来具体讲解.

问题：如图1所示的△ABC中，点D，E，F分别为BC，AC和AB的中点，试证明以△ABC三条中线所构的三角形的面积为△ABC面积的.

分析 △ABC的三条中线较为分散，利用AD，EB和FC三条中线来构建三角形，显然需要通过图形变换将三者集中在同一三角形中. 下面固定中线FC，通过平移AD和BE来构造三角形.

评析 上述证明三角形中线所构三角形与原三角形的面积关系，问题解析充分利用了平移变换的方法，是从变化、运动观点处理孤立条件的一种思想方法. 该方法将分散的线段拼接在一起，形成相关联的图形. 其基本思路是首先平移变换，构造图形，再结合特性证明. 其中利用了“倍长中线”的特性，形成了平行四边形.

应用探究

图形变换法在几何问题中有着广泛的应用，是串联条件的重要方式. 平移、旋转、翻折，实则是全等变换、相似变换的过程，在该过程中会产生相应的几何模型，如“半角”模型、“一线三等角”模型、“手拉手”模型、“中点”模型等，合理利用模型结论可极大地提升解题效率.

图形变换法一：平移变换

平移后图形的位置关系更为集中，可形成基本图形. 问题解析要关注两点：一是确定平移的方向和距离;二是关注平移后的模型特征.

例1 如图3所示，已知Rt△ABC中，∠C=90°，点M是BC上的点，且MB=AC，点N是边AC上的点，且AN=MC. 设AM和BN的交点为P，试证明∠BPM=45°.

解析 本题求证∠BPM=45°，图像中存在两组等线段条件，但不易构建与角度的关系，需要将其聚焦在一起，故平移变换是解题的核心方法.

如图3所示，将线段MB平移至AG处，构造平行四边形BMAG，再连接GN，与AM的交点设为H. 则图中存在“一线三等角”模型（阴影部分），由模型特点可得Rt△ACM≌Rt△GAN，由全等特性可得GN=AM=GB，可推知∠BGN=∠PHN=90°，所以△BGN为等腰直角三角形，故∠BPM=∠GBN=45°.

图形变换法二：旋转变换

旋转变换通常有两种构建策略：一是旋转全等，即使得旋转后的图形与原图形为全等关系;二是旋转相似，即旋转后的图形与原图形为相似关系，也可视为是“旋转+放缩”两个过程的结合.

例2 如图5所示，四边形ABCD为正方形，点P是正方形ABCD外的一点，已知PA=3，PB=4，试求PC的最大值.

解析 该问题求线段PC的最大值，涉及了几何动点，而与点P相关的线段PA和PB为定值，显然限制了点P的移动，问题解析需要串联点P与正方形特性，故可考虑使用几何旋转法.

图形变换法三：翻折变换

利用翻折同样可以实现几何条件的转换. 利用翻折作辅助线解题时，不能简单地说是图形翻折得到图形，而应从轴对称视角来分析. 该方法适用于涉及角平分线、等角或半角的问题，同时该方法常与“将军饮马模型”配合使用求线段最值.

例3 如图7所示，线段AC和BD位于AB的同侧，已知AC=2，BD=AB=8，点M是AB的中点，如果∠CMD=120°，则CD的最大值为______.

解析 本题求CD的最大值，可通过翻折变换来串联条件，从构造视角来看是轴对称变换，具体如下.

作点A关于CM的对称点A′，作点B关于DM的对称点B′，连接A′B′，如图7所示. 可将△A′CM视为是△ACM沿着CM翻折所得，△B′DM视为是△BDM沿着DM翻折所得. 由于∠CMD=120°，可证∠A′MB′=∠CMD-（∠CMA′+∠DMB′）=60°. 由于点M是AB的中点，故AM=BM=4，进而可知A′M=B′M=4，从而可证△A′MB′为等边三角形. 由三角形的三边关系可得CD≤CA′+A′B′+B′D=14，所以CD的最大值为14.

评析 上述利用名义上的翻折来作辅助线，即作点关于线段的对称点，形成对称图形，将线段条件串联. 翻折变换与平移、旋转变换法的构建策略一致，均是在保留原有图形的特性基础上聚集条件，等量转化思想是方法的本质.

教学建议

图形变换法是破解几何问题的重要方法，下面开展教学反思，提出几点建议.

1. 理解方法内涵，挖掘方法本质

图形变换是外在表现的动态形式，其中还隐含了数学内涵. 探究教学时建议分两阶段进行：第一阶段，开展图形变换构图教学，引导学生把握图形变换的要素，如旋转变换中的旋转中心、旋转方向、旋转角度;第二阶段，开展图形变换内涵探究，引导学生从数学原理角度来分析，如翻折變换中的轴对称变化、旋转变换中的全等或相似等.

2. 关注变换模型，总结模型特性

图形变换法解题往往分两步进行：第一步实施图形变换，构建特殊模型;第二步，利用模型特性转化或串联条件. 在实际教学中建议引导学生总结与图形变换联系紧密的图形，如平移变换与“一线三等角”模型，旋转变换与“手拉手”模型，翻折变换与“将军饮马”模型等. 同时总结模型特性，让学生掌握模型结论，形成相应的解题策略.

3. 渗透数学思想，提升综合素养

利用图形变换法可串联几何条件，实现几何问题的高效求解，而变换法背后隐含的却是数学的思想方法，如模型思想、等量转化思想等. 实际教学时建议立足数学思想，开展思路构建，引导学生分析图形变换的方法技巧，探索转换条件的思路，同时拓展学生思维，从不同方法和视角来探索问题，促进学生的素养提升.

3808501908204