金文卫

[摘  要] 提高例题教学效能，就可以提升课堂教学的质量. 教师需要将精力放在挖掘例题潜在的教学功能上，通过各种有效策略辅助学生思维品质的提升. 文章结合多个例题，阐述了以“一题多解”“一题多变”“例题链”为主线一以贯之地挖掘例题功能，构建深度数学课堂的策略.

[关键词] 例题;一题多解;一题多变;例题链;深度课堂

构建深度课堂是广大一线教师的永恒追求，而教学的深度首当其冲地表现在对教材的把握上. 一般水平的教师仅仅是将知识传授给学生，智慧型的教师则会深钻教材，最大限度地提升教材例题的附加值，打造具有深度的课堂. 教材例题是在充分挖掘教材内容的基础上为学生打造的生动的学习情境，可以引领学生在感知、体验和感悟例题情境的过程中系統掌握和理解知识，以达到构建深度课堂的目的. 基于此，笔者立足于学生思维能力的培育，尝试在例题教学中挖掘教材价值，通过各种有效策略辅助学生思维品质的提升，以期构建深度课堂.

挖掘例题的方法提炼之效，实

施一题多解

在日常教学中，教会学生解答一道例题并没有难度，但是挖掘例题的方法效能，让学生通过解决一道例题来掌握一种好的思维方法，获得一种有效的思维策略却并非易事. 事实上，例题、习题的解答过程也是学生知识建构的过程，在解答的过程中思考得越深入，学生的收获就越丰富. 一题多解就是带领学生从多角度、多方位思考问题，以探求多种不同的解法，丰富学生解题策略的一种行之有效的训练方式. 通过这样的训练，教师可以开阔学生的思路，深化学生对通性通法的认识，以达到提炼方法的目的.

例1 如图1，已知Rt△ABC中，直角边AC=6，BC=8，将直角边AC沿着AD折叠，使其落于斜边AB上，且点C落于点E处，试求出CD的长.

解法1（勾股定理）：设CD=x，根据折叠可得∠AED=∠C=90°，AE=AC=6，DE=CD=x，则有DB=8-x. 在Rt△BDE中，BE=4，根据勾股定理可得x2+42=（8-x）2，进一步解得x=3，故CD的长是3.

解法2（等积法）：设CD=x，根据折叠可得∠AED=∠C=90°，AE=AC=6，DE=CD=x，则有DB=8-x. 又由S=AC·BD=AB·DE，得到方程6（8-x）=10x，进一步解得x=3，故CD的长是3.

解法3（相似三角形）：设CD=x，根据折叠可得∠AED=∠C=90°，AE=AC=6，DE=CD=x，则有DB=8-x. 又由△BED∽△BCA，推出=，得到方程=，进一步解得x=3，故CD的长是3.

评注  上面例题的三种解法各有优势. 事实上这三种解法构成了解决该类问题的主要解题策略. 在实施一题多解之后，教师还应引导学生反思例题，梳理每种解法的思路并加以提炼，对比不同的解法，使学生体会每种解法的特征及优劣性，深化对问题本质的理解，使例题的价值发挥到极致. 此处需要注意的是，在挖掘例题价值实施一题多解时，切不可为多解而多解，有些解法仅仅是形式上稍有区别，并非不同的解法. 倘若仅仅是关注数量，而不对每种解法展开深入探讨，这样的一题多解活动显然是事倍功半的.

挖掘例题的拨乱反正之效，实

施一题多变

一题多变，就是从原题出发，有技巧地改变其条件或问题，得出一个与原题相似却又具有价值的新问题，引导学生深入探究，促进其思维生长. 这就需要教师多番研究平时训练中学生易错及思路模糊的一些例题，想方设法地实施一题多变，以暴露学生的错误，再通过师生互动和生生交流达到充分纠错的目的. 这样一来，即可通过挖掘例题的拨乱反正之效来发挥例题的价值.

例2 南城与北城间相距300 km，A车和B车同时从南城驶出开往北城，A车达到北城后立刻折返. 图2是A、B两车离南城的距离y（km）与行驶时间x（h）间的函数图像.

（1）试求出A车在行驶中y与x间的函数关系式及自变量x的取值范围;

（2）当两车行驶了h时，A、B两车相遇，试求出B车的速度.

变题：南城与北城间相距300 km，A车和B车分别从两城同时出发相向而行，且A车达到北城后立刻折返. 图2是A、B两车离各自驶出地的距离y（km）与行驶时间x（h）间的函数图像.

（1）试求出A车离出发地的距离y与x间的函数关系式及自变量x的取值范围;

（2）当两车行驶至与各自出发地距离相等时花费了h，试求出B车离出发地的距离y与x间的函数关系式及自变量x的取值范围;

（3）基于（2）的前提之下，求出A，B两车在行驶中相遇的时间;

（4）重新设计并作出本题的函数图像，使得图像交点表示A、B两车相遇.

评注  为了突破学生解题时的思维障碍，教师需要了解学生的解题思维. 事实上，不同的学生有着不同的思维特征，教师只有清楚地了解其具体的解题思维障碍才能“对症下药”. 因此，笔者从例2出发，将变式题与学生的思维相沟通，引导学生去解答、阐述和探讨，充分暴露自身思维中的问题，就这样，通过变中有不变的训练，让学生体会相同的问题情境可以利用不同的函数图像进行表示，相反地，相同的函数图像亦可表示不同的问题情境，从而帮助学生克服思维定式，跳出题海，形成一次函数图像应用问题的解题思维.

挖掘例题的深化思维之效，实

施“例题链”

在课堂教学中，“问题链”教学是教师常用的教学方法，即通过序列问题，螺旋上升地实施教学，以达到深化教学和培养能力的目的. 例题教学中，教师可以基于学生实际和教材本身，充分挖掘例题深化思维的效能编制“例题链”，通过层层深入的序列例题来拓宽学生的思路，提升学生的自主探究能力，逐步扩充学生的知识面，实现深度课堂的构建.

例3 如图3，小兔哈尼站在河边的B点处，打算先去河边喝水，再去A点处进食，请你给哈尼规划一条跑动路程最短的路线. （水平直线l表示河岸边）

拓展1：如图4，小兔哈尼的窝在P点处，打算先去河边AC喝水，再去路边BC进食，最后回到窝中，请你给哈尼规划一条跑动路程最短的路线. （河岸边和路边均为直线，且路边各处布满小兔可食之物）

拓展2：如图5，在△ABC的区域内，小兔哈尼从路边AB上的P点出发，打算先去河边AC喝水，再去路边BC进食，最后回到P点继续休息，请你帮哈尼找出最合适的点P的位置以及规划一条跑动路程最短的路线. （河岸边和路边均为直线，且路边各处布满小兔可食之物）

评注  深化学生的思维，应是教师教学活动中的重要组成部分，而通过“例题链”的训练诱导学生实施深化思维的训练，对拓宽和延伸学生思维均能起到重要作用. 本例中，教师首先将教学定位于一个简单的“单动点的最短距离”问题，这样的低起点容易激发学生的探究欲，使学生聚焦问题，积极思考;接着进一步过渡到“双动点的最短距离”问题，对学生提出更高的奋斗目标，让学生产生一种“跳一跳，摘桃子”的感觉;最后再进一步地提升问题的难度，进入“三动点的最短距离”问题，此时学生的思维已十分活跃，可以顺畅地解决问题. 由此，整个解题过程达到了较高的立意. 在整个探究过程中，教师的“例题链”基于思维，学生的探究围绕思维，学生在亲自实践的过程中获得了建模和化归的数学思想，实现了思维的纵深.

总之，在例题教学中，教师应充分挖掘例题的内涵，唯有将“一题多解”“一题多变”“例题链”的主线一以贯之，方能让学生跳出题海，形成良好的认知结构，培养扎实的数学素养和精湛的数学解题能力，提升对数学思想方法的认知，构建深度课堂.

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