姚丕贵

[摘  要] 概念教学是数学教学的基础. 当数学理解与概念学习之间形成一个良性的互动关系时，数学理解才能为概念学习奠定坚实的认知基础. 文章从当前概念教学中学生的数学理解现状谈起，阐述了基于数学理解的初中数学概念教与学，以及用数学理解驱动学生的概念学习过程.

[关键词] 初中数学;概念教学;数学理解

数学概念是数学知识体系的基础，概念教学是数学教学的基础. 无论什么时候，概念教学的重要性都不能被忽视. 从教学研究的角度来看，数学概念的学习历来受到学术界和教学界的重视，而且研究的视角也不是单一的，但无论什么样的研究视角，都是为了让学生理解数学概念. 在促进学生理解概念的过程当中，“数学理解”这个词逐步被提炼出来，因此数学理解成为近年来数学教育研究领域的热点. 将数学概念教学同数学理解相结合，探讨基于数学理解的数学概念教学新模式，具有重要的理论意义和实践价值.

从当前的初中数学概念教学实际来看，数学理解的重要性还没有得到应有的重视，尤其是基于数学理解去实施概念教学，还没有得到普遍的认可. 其中一个重要的原因是存在一定的应试压力，因此，在概念教学中，教师往往会压缩时间，从而将节省出来的时间用于学生的解题训练. 虽说从应试的角度来看，这样的选择没有太大的问题，学生也确实可以在重复的习题训练当中慢慢地理解相关的数学概念，但从学生发展的角度来看，尤其从数学学科核心素养培育的角度来看，这样的教学方式忽视了学生在概念学习中的数学理解，在笔者眼里，这不是一个明智的教学选择. 真正在数学理解的基础之上实施数学概念教学，实际上是磨刀不误砍柴工，可以為学生数学认知体系的建立及数学解题能力的培养奠定坚实的基础. 因此，在核心素养强调培养学生关键能力的背景之下，初中数学概念教学依然要立足于学生的数学理解. 下面从三个方面谈谈笔者的观点.

当前概念教学中学生的数学理

解现状

从数学概念建立的逻辑角度来看，无论是简单的数学概念还是复杂的数学概念，往往有两种建立途径：一种基于生活实践，也就是从生活经验当中提取相关的认识，然后建立数学概念;另一种基于逻辑推理，即从已有数学概念的基础之上，通过研究或学习需要提供概念建立的驱动力，然后经过逻辑推理去建立新的概念. 应当说，这两种途径并不独立，在实际运用中，它们有很多相关联的地方. 有时，一个数学概念是先从生活实践当中提出来的，再用逻辑推理使其变得更加严谨. 纵观初中数学教材的编写，可以看到很多这样的例子. 比如，“平行”概念就可以从诸多生活元素中进行分析与综合，再运用逻辑推理，借助数学语言来描述，于是得到“平行”的概念.

可以肯定的是，无论选择哪种途径，或者将两种途径进行综合运用，都必须追求数学理解. 而从当前的教学现状来看，数学理解被忽视还有这样几种情形：一是教师忽视激活学生的生活经验，过于强调数学之间的逻辑关系;二是教师重视学生的生活经验，但是生活经验与数学概念之间的关系建立得不够严谨，生活经验不能对数学概念的形成起到很好的支撑作用;三是在学生的朴素认识与严谨的数学概念语言描述之间，没有建立起有机的联系，学生对数学概念的理解常常很空洞;四是教师试图通过习题的重复来促进学生理解数学概念，实际上这是一个事倍功半的过程，不仅会影响学生的数学学习兴趣，还会影响学生对数学学科的认识，遗患无穷.

事实上，教师应当认识到，在日常数学教学中，有些数学概念是从它的现实模型中直接反映得来的，因此，在对这类概念进行教学时，教师应密切联系概念的现实模型，让学生获得对所研究对象的感知. 这实际上也是追求数学理解的一个重要策略. 教学实践中多运用这样的策略，就可以基于数学理解，去有效地实施数学概念教学.

基于数学理解的初中数学概念

教与学

促进学生在概念学习过程中生成数学理解，除了借助生活素材而形成相关的模型之外，一些基本的思想方法的运用也起着重要的作用. 实际的教学经验表明，归纳法在数学概念教学中具有良好的教学效果. 分析与综合、归纳与演绎等基本的思想方法，如果能够与重视生活元素的教学思路相结合，那么学生在概念学习的过程当中，就必然会走在一条数学理解的道路之上. 下面通过一个教学案例来说明.

对于“全等三角形”这一重要概念，从概念组成的角度来看，“全等三角形”实际上是一个复合概念，初中生对三角形的认识已经比较全面，因此这个概念的建立应当将重心放在“全等”这一关键词上. 事实上，学生第一次看到“全等”这个概念时，第一反应是“完全相等”，这就是一种朴素的认识，而且是从“量”的角度建立起来的认识. 仔细分析学生的这一思维过程可以发现，学生的这一认识实际上具有抽象性，教师一方面要认识到学生这样的认知基础对“全等三角形”概念的建立有着重要的作用，另一方面也应当认识到，并非所有的学生都具有这样的认识. 也就是说，如果教师以这一认识作为概念教学的起点，那就有可能忽视另外一部分学生的认知基础，从而学习这个概念时，这部分学生可能会因为这个原因而变成“学困生”. 考虑到这一点，笔者进行了这样的教学设计：

一是根据教材的编写体系，先帮学生建立“全等形”的概念. “全等”与“全等形”只有一字之差，但是在学习的时候却有很大的区别，后者更强调“形”的建构，必须让学生认识到什么样的形才是全等形. 这时教师可以向学生提供相应的素材——事实证明，教师只要提供三个全等形，绝大多数学生就能通过分析与综合，建立起对全等形的初步认识. 最常见的认识就是“一模一样的图形”.

二是引导学生用数学语言去描述自己的认识. 这里可以紧扣学生形成的“一模一样的图形”让学生思考：从数学的角度来看，一模一样可以怎样描述？此时可以将学生思维的对象进行简化，将上面给学生提供的生活实例抽象成数学图形，从而凸显这些图形的长度与角度两个基本元素. 当学生能够从长度与角度两个方面去描述时，实际上他们已经将自己的思维切换到数学视角. 此时学生很容易认识到全等形具有边和角都相等的特征.

三是引导学生进一步探究全等三角形. 实际上，有了上面的认识之后，学生在这里很自然地会运用演绎的方法得出“全等三角形”的概念. 演绎当然是建立在归纳的基础之上的，上一个环节中的分析与综合奠定了学生的归纳基础，学生可以理解“能够完全重合的两个三角形叫全等三角形”，能迅速认识到全等三角形的三条边和三个角都相等，甚至会形成初步的问题：满足什么条件时两个三角形才全等？

用数学理解驱动学生的概念学

习过程

分析上述教学案例可以发现，在这样的学习过程当中，学生不断通过自己的思维去加工生活素材，通过基本思想方法的运用去进行数学抽象与逻辑推理，最终建立起了“全等三角形”这样一个概念. 观察学生的学习过程会发现，基本上不需要教师做出太多的干预，学生就能对全等三角形形成比较系统的认识：从最初的“全等形”的认识，到“全等三角形”概念的建立，到全等三角形性质的认识，乃至全等三角形判定意识的初步形成. 这种系统认识是传统讲授式教学所无法达到的，其对应的是真正的学生数学理解的过程. 因而这样的概念教学是有效的！

由此可以得出一个基本判断：学生在学习数学知识时，首先要理解数学概念，这是学生学习数学知识的基础. 学生只有学好数学概念，才知道用怎样的方式研究数学;学生只有理解了数学概念，才能理解数学规律;学生只有理解了数学概念，才能把数学知识应用到解决问题中. 从数学概念的建立到数学概念的运用，对应着学生的系统认知，强调的是学生的数学理解. 当数学理解与概念学习之间形成一个良性的互动关系时，数学理解才能为概念学习奠定坚实的认知基础，同时数学理解可以在概念学习的过程中得以深化，这正是一个良好的数学学习状态. 即使在核心素养培育的背景之下，教师也应当在概念教学中追求学生的数学理解，从而让数学课堂保持良好的状态.

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