尚昱煌，许 平，姜士鸿，姚曙光，胡正维

(1. 中南大学 交通运输工程学院，长沙 410075； 2. 中南大学 轨道交通安全教育部重点实验室，长沙 410075；3. 中南大学 轨道交通安全国际合作联合实验室，长沙 410075； 4. 中国中车长春轨道客车股份有限公司，长春 130062)

随着轨道交通行业的快速发展，乘员安全问题所受关注度日益增加。吸能装置能在列车发生碰撞事故时，通过自身的塑性变形来耗散车辆的动能，从而有效减轻乘员所受伤害，因此国内外学者对其进行了大量研究[1-4]。其中金属薄壁方管具有易于制造、吸能效率高等优点，因此被广泛应用于列车的吸能装置中。

Wierzbicki等[5]对薄壁矩形管在轴向压缩下的变形模式进行了分析，并建立了折叠单元压缩模型，通过超折叠单元理论对其平台力MCF(mean crushing force)进行了预测。Zhou等[6-8]将折纹引入薄壁方管，并对折纹方管的耐撞性进行了深入研究，通过多种工况的试验分析了轴向长度与厚度比值、缺陷形状等因素对折纹方管的变形模式、MCF以及比吸能的影响。Qi等[9]将锥度引入薄壁方管，对锥形方管和直方管进行多个角度的斜向加载，发现锥形方管的比吸能SEA(specific energy absorption)均高于直方管，且峰值力PCF(peak crushing force)均低于直方管。Reid等[10]对锥度矩形管的MCF进行了理论推导，并通过准静态压缩试验验证了MCF公式预测的准确性。Song等[11]在薄壁方管上开设窗孔诱导结构，并将其与传统薄壁方管分别在正向和斜向加载下进行了吸能性能的对比研究，发现在正向加载时窗孔诱导结构能有效降低薄壁方管的PCF且增加MCF，在斜向加载下窗孔诱导结构能防止薄壁方管发生弯曲压溃。Zhang等[12]将纵向凹槽引入薄壁方管，发现适当尺寸的纵向凹槽能够有效提高薄壁方管的SEA，并在一定程度上减小PCF。Asanjarani等[13]将横向凹槽引入锥形方管，并以锥度、截面边长、壁厚、凹槽尺寸和数量为变量进行了多目标耐撞性优化。李健等[14]将多个隔板嵌于直方管内，发现隔板的引入能改变直方管的变形模式，通过形成更多的褶皱而增加吸能量。Xu等[15-16]通过进行有限元分析和准静态轴向压缩试验，对内嵌隔板方管进行了研究，并以吸能结构不同部分的厚度为设计变量，进行了多目标优化。Xing等[17]将隔板引入嵌套方管，并从几何尺寸和厚度等多种设计角度对吸能结构进行了耐撞性优化。

以往研究通过引入锥度、凹槽、隔板、窗孔等途径来提高金属薄壁方管的耐撞性，尚未将锥度与隔板同时引入矩形截面的方管。本文以实际的工程项目为背景，对某地铁车辆所使用的双锥内嵌隔板矩形管进行研究，该吸能结构中矩形截面管的一组对称面具有锥度，内部嵌入了多个隔板。通过建立有限元模型，对双锥内嵌隔板矩形管和传统矩形管的压缩过程进行数值仿真，从而对比两者耐撞性，并进行静态压缩试验以验证有限元分析的准确性。为进一步提高双锥内嵌隔板矩形管的耐撞性，实现SEA最大化和PCF最小化，分别将有锥度和无锥度对称面的厚度以及隔板厚度作为三个设计变量，通过拉丁超立方采样进行试验设计，利用径向基函数方法构建出代理模型，采用多目标遗传算法进行优化而得到更佳的设计方案。

1 模型建立

1.1 几何模型

如图1所示，一个包含了四个吸能单元的吸能组件安装于某地铁列车底架前端，其中一个吸能单元为双锥内嵌隔板矩形管，该吸能单元仅有一组对称面具有锥度。图2展示了双锥内嵌隔板矩形管的具体结构及尺寸。图2(a)为双锥内嵌隔板矩形管的内部结构，其由一个外管、两个端板和五个隔板组成，外管的高度为146 mm，长度为639 mm，被五个隔板不均等划分。

图2(b)展示了各个隔板所在外管截面的宽度，且外管的一组对称面具有锥度，锥度为2°。由于外管不同截面的宽度各不相同，图2(c)中各个隔板W和W0的数值也各不相同。各个隔板W的数值等于其所在矩形截面的宽度数值，各个隔板W0的数值比其W的数值小130。此外，外管和隔板厚度均为3 mm，两个端板的厚度为5 mm。

图1 双锥内嵌隔板矩形管在某地铁列车的应用Fig.1 The application of DTRTD in a certain subway train

(a) 内部结构

(b) 俯视图(c) 隔板图2 双锥内嵌隔板矩形管的结构及尺寸Fig.2 Detailed geometry of DTRTD

1.2 有限元模型

1.2.1 有限元模型的定义

为了研究双锥内嵌隔板矩形管的耐撞性，本文使用非线性有限元软件 LS-DYNA进行准静态压缩数值仿真分析，并将双锥内嵌隔板矩形管与传统矩形管进行对比。其中，传统矩形管为各面无锥度、内部未嵌入隔板的矩形截面管，其总长度、高度、外管厚度以及端板厚度均与双锥内嵌隔板矩形管相同，宽度为194 mm即双锥内嵌隔板矩形管前后两端宽度的平均值。

如图3所示，有限元模型包括刚性墙、连接板、吸能结构、压头四个部分。两块连接板焊于吸能结构两端，左侧连接板与刚性墙接触，右侧连接板与压头接触，设置刚性墙固定不动，压头沿轴向对右侧连接板加载使吸能结构压缩。为了准确模拟吸能结构的变形，吸能结构和连接板采用四边形壳单元，单元厚度方向采用五点积分，面内采用单点积分，刚性墙和压头采用六面体实体单元。带连接板的吸能结构的自接触采用“Automatic_Single_Surface”算法，与刚性墙和压头的接触均采用“Automatic_Surface_To_Surface”算法。接触的静摩擦因数设为0.3，动摩擦因数设为0.2[18]，使用第四种沙漏黏度类型来控制沙漏能量。通过采用不同边长的四边形壳单元观察建模时吸能结构EA的变化，发现当边长小于或等于7 mm时EA趋向于平稳。因此，为减少计算时间且保证计算精度，将四边形壳单元的边长设置为7 mm 来对吸能结构和连接板进行建模。

图3 有限元模型Fig.3 Finite element model

1.2.2 材料模型

为获得吸能结构材料的力学性能，如图4所示，使用MTS 647液压万能材料试验机对加工好的标准试验件进行准静态拉伸试验，表1和图5(a)分别为测得的材料参数和工程应力-应变曲线。采用分段线性塑性材料模型Mat.024定义吸能结构的材料属性，Mat.024可录入由材料真实应力应变曲线所得到的等效塑性应力及应变，使材料属性定义更加精确；连接板与吸能结构的材料相同，故同样采用Mat.024材料模型；刚性墙和压头使用Mat.020刚性材料模型定义其属性。

图4 材料拉伸试验Fig.4 Material tensile test

表1 吸能结构材料参数

真实应力应变曲线可分为两段，可通过式(1)～(5)进行求解[19]。标准试验件颈缩之前的部分为第一段，真实应变εt和颈缩之前的真实应力σt可如下求得

εt=ln(εe+1)

(1)

σt=σe(εe+1)

(2)

式中：σe为工程应力；εe为工程应变。

(a) 工程应力-应变曲线

(b) 真实应力-应变曲线图5 材料应力-应变曲线Fig.5 Stress-strain curves of material

标准试验件颈缩之后的部分为第二段，颈缩之后的真实应力σt求解如下

(3)

式中：n为应变硬化指数。C和n可如下求得

C=σu(e/n)n

(4)

n=ln[1+1/(0.24+0.013 95σu]

(5)

式中：σu为极限强度;e为自然常数。图5(b)为最终求得的真实应力应变曲线。

2 试验验证

2.1 耐撞性的评价指标

吸能量EA(energy absorption)是衡量吸能结构耐撞性的关键指标，可以由吸能结构压缩过程的力-位移曲线积分而得[20]

(6)

式中：F(s) 为瞬态撞击力，是瞬态位移s的函数。

平台力MCF为吸能结构变形过程中的平均压缩力，可以通过吸能量EA 除以压缩位移S得到

MCF=EA/S

(7)

比吸能SEA用来表示吸能结构单位质量的吸能量，可以通过吸能量EA除以吸能结构的总质量m得到[21]

SEA=EA/m

(8)

峰值力PCF对碰撞事故发生时乘员所受伤害有着重要影响，在数学上定义如下

PCF=max[F(s)]

(9)

2.2 准静态轴向压缩试验

双锥内嵌隔板矩形管的准静态轴向压缩试验配置如图6所示，由刚性墙、试件、液压加载装置以及多种测试仪器构成。试件加工过程中，其外管由垂向轴对称的两部分焊接而成，隔板和连接板均与外管焊接。液压加载装置受电磁系统控制，可提供稳定而均匀的位移或压力。此试验使用位移控制模式，以大约20 mm/min的速度对试件进行准静态轴向加载，从而确保不会有动态影响产生[22]，压缩总行程设定为400 mm。测力传感器安装在刚性墙上，实时采集试件所受压力；位移计测量刚性墙与压头的间距变化，进而得到试件的实时压缩量。多台数码摄像机从不同角度记录试件的准静态轴向压缩过程。

图6 准静态轴向压缩的试验配置Fig.6 Test configuration of quasi-static axial compression

2.3 结果分析及验证

将双锥内嵌隔板矩形管的数值仿真结果与试验数据进行对比，从而分析其吸能特性并验证有限元模型的准确性。图7(a)将数值仿真所得双锥内嵌隔板矩形管的力-位移曲线和试验进行了比较，可明显看出两者具有较高的吻合度。由于现场试验情况的复杂性，数值仿真的力-位移曲线无法与试验完全一致。双锥内嵌隔板矩形管的外管在整个压缩过程中吸收了80.12 kJ的能量，而其余部分仅吸收了3.04 kJ的能量(隔板和端板分别吸收了2.99 kJ和0.05 kJ),如图7(b)所示。

(a) 仿真和试验的力-位移曲线

(b) 外管和其余部分吸能量图7 数值仿真与试验结果曲线Fig.7 Result curves of numerical simulation and test

表2将双锥内嵌隔板矩形管数值仿真和试验的EA和PCF进行了对比，误差均不超过2%。其中，双锥内嵌隔板矩形管数值仿真的吸能量为83.16 kJ，而传统矩形管数值仿真的吸能量为62.31 kJ。因此，当两者压缩至行程终点时，双锥内嵌隔板矩形管较传统矩形管而言，能够吸收更多的能量。双锥内嵌隔板矩形管和传统矩形管的质量分别为16.1 kg和12.5 kg，可根据式(8)求得其比吸能分别为5.17 kJ/kg和4.98 kJ/kg，故双锥内嵌隔板矩形管的比吸能高于传统矩形管。

表2 仿真与试验的耐撞性指标对比

图8中前两行对比了双锥内嵌隔板矩形管在试验和数值仿真过程中三个时间点的压缩变形，两者呈现出很好的一致性。由图中可看出双锥内嵌隔板矩形管在压头的轴向加载下，每相邻的隔板与端板或相邻隔板之间形成一个褶皱，褶皱自压头一侧向左依次形成，呈现稳定而规律的变形模式。当压缩至行程终点即400 mm时，双锥内嵌隔板矩形管共形成了五个褶皱。图8中第三行为传统矩形管在数值仿真过程中的压缩变形，可发现传统矩形管的变形不如双锥内嵌隔板矩形管紧凑，在压缩至行程终点时传统矩形管仅形成了四个褶皱。

从以上的对比分析可得出，无论是力-位移曲线和耐撞性指标，还是变形模式，双锥内嵌隔板矩形管准静态压缩的试验结果均验证了有限元模型的准确性。相较于传统矩形管，双锥内嵌隔板矩形管变形更为紧凑，能够在相同压缩行程下形成更多的褶皱，具有更高的吸能量和比吸能，因此双锥内嵌隔板矩形管多方面的耐撞性能均优于传统矩形管。

图8 试验和数值仿真的变形过程对比Fig.8 Comparison of deformation processes betweenexperiment and numerical simulation

3 多目标优化

3.1 优化问题的提出

在耐撞性设计中，要求吸能结构具有尽可能高的SEA，因此优化的第一个目标为最大化SEA[23]。同时，PCF需要尽可能减小，以避免碰撞发生时减速度过大而导致乘员伤亡惨重，故优化的第二个目标为最小化PCF。此外，根据该地铁车辆的能量吸收分配方案，在优化中约束EA须不低于75 kJ，以确保双锥内嵌隔板矩形管在规定压缩行程内吸收足够的能量。以上多目标优化问题在数学上定义如下：

(10)

3.2 试验设计

外管由有锥度的一组对称面和无锥度的一组对称面组成，有锥度的对称面的厚度定义为设计变量A，无锥度的对称面的厚度定义为设计变量B，变化范围均为1～5 mm。隔板的厚度定义为设计变量C，变化范围为2～6 mm。三个设计变量的变化范围覆盖了此类吸能结构在实际工程中的常用厚度区间[24]。EA、SEA和PCF被设为三个输出响应，压缩行程与试验和仿真相同，设定为400 mm。

试验设计基于拉丁超立方采样而建立。拉丁超立方采样是一种从多元参数分布中近似随机抽样的方法，属于分层抽样技术，常用于计算机实验或蒙特卡洛积分等。在统计抽样中，拉丁方阵是指每行、每列仅包含一个样本的方阵。拉丁超立方则是拉丁方阵在多维中的推广，每个与轴垂直的超平面最多含有一个样本。表3列出了应用拉丁超立方采样而获得的三组设计变量的不同取值组合，并基于已验证的有限元模型求出对应的输出响应。

表3 试验设计矩阵

3.3 代理模型与误差分析

由于实际工程中复杂产品的物理模型往往非常复杂，设计变量与目标性能之间通常不具有显式的函数关系式，且表现为多参数、高维数、强非线性问题。为了能高效、准确地获得优化结果，利用代理方法对离散的数据进行拟合，在不降低模型精度情况下建立高效的模型来替代实际模型，这类模型也称作是代理模型。径向基函数是一种高效的代理方法，尤其是在对SEA的预测上，拥有良好的精确性，故被选用于本文以建立代理模型。

平均相对误差ARE(average relative error)，最大相对误差MRE(maximum relative error)和确定系数R2用于衡量代理模型的精确度，在数学上定义如下

(11)

(12)

(13)

表4 代理模型的误差分析结果

3.4 参数研究

分别以三个设计变量中的一个作为自变量，将其余两个设计变量设定为各自变化范围的中间值，根据代理模型得到各输出响应的变化情况；再将各个自变量按比例换算为厚度级别，其中自变量的中间值的厚度级别设为0，最小值和最大值分别设为-1和+1，从而得到图9所示的输出响应与设计变量的关系曲线图。为得到各输出响应的三维云图，将一个设计变量设定为其变化范围的中间值，另外两个设计变量均作为自变量，根据代理模型构建图10中的各响应面。

(a) 设计变量与吸能量(b) 设计变量与比吸能(c) 设计变量与峰值力

由图9(a)可见：EA随设计变量A和B的增加而单调递增；EA随着设计变量C的增加，先增长而后略微有下降的趋势。由图10(a)可看出，在B设定为3 mm时，EA随A的增加而增加，随C的增加而先增后减；在A为5 mm且C大约为4 mm时，EA达到最大。

与EA相似，图9(b)中SEA随设计变量A和B的增加而单调递增；SEA随着C的增加而先增后减。由图10(b)可看出，在A设定为3 mm时，SEA随B的增加而增加，随C的增加而先增后减；在B为5 mm且C大约为3.5 mm时，SEA达到最大。

PCF随三个设计变量的增加均保持单调递增，如图9(c)所示，但C增长至5.5 mm附近时，PCF的增长趋势明显放缓而趋于平稳。由图10(c)可看出，在C设定为4 mm时，PCF随A和B的增加而增加，在A和B均为5 mm时，PCF达到最大。

从图9可看出，根据曲线斜率的绝对值，设计变量对EA、SEA以及PCF的影响程度从大到小依次排序均为B、A、C。

3.5 优化算法

遗传算法是当前较为流行的一种优化方法，派生于自然选择法则和生物进化的遗传机制。遗传算法可以确定空间里的所有解，并且不会在局部优化时陷入快速衰退的陷阱，具有很强的全局搜索能力。本文所采用的多目标遗传算法是为解决多目标优化问题而对遗传算法进行的扩展。在有多个目标时，由于存在目标之间的冲突和无法比较的现象，一个解在某个目标上是最好的，在其他的目标上可能是最差的。这些在改进任何目标函数的同时，必然会削弱至少一个其他目标函数的解称为非支配解或帕累托解，一组目标函数最优解的集合称为帕累托前沿。在多目标优化问题中，有不止一个目标函数需要最大化或者最小化，因此最终目的不是寻求单个最优解而是寻求帕累托前沿。表5罗列了本文所使用多目标遗传算法的参数定义，图11为多目标优化算法的流程图。

(a) 吸能量三维云图(b) 比吸能三维云图(c) 峰值力三维云图

表5 多目标遗传算法的参数定义

图11 多目标遗传算法流程图Fig.11 Flowchart of multi-objective genetic algorithm process

3.6 结果验证及讨论

多目标优化所得的帕累托前沿如图12所示，双锥内嵌隔板矩形管的比吸能与峰值力呈正相关，故最大化比吸能和最小化峰值力这两个目标具有互斥性[15]。尽管如此，图中圈内的点相较于优化前结果而言，均实现了更高的比吸能以及更低的峰值力，而圈外的其余点所对应的设计方案则是对两个目标之一起到了明显的优化效果。

图12 多目标优化帕累托前沿Fig.12 Pareto front of MOO

对于帕累托前沿中具体设计方案的选择，则可根据实际工程中的需求对各目标进行权重分配，式(14)中的权函数取最大值时所对应的设计方案即为该权重分配准则下的最优解。

f(x)=

(14)

式中：SEA(x)和PCF(x)为帕累托前沿中各设计方案对应的SEA和PCF的值；SEAU和SEAL分别为试验设计中SEA的上限和下限；PCFU和PCFL分别为试验设计中PCF的上限和下限；W1和W2分别为分配给SEA和PCF的权重因子。

本文对三种权重分配准则的最优设计方案进行求取，第一种权重分配准则更偏向于提升SEA，故设定W1=0.7且W2=0.3；第二种权重分配准则无偏向性，故设定W1=0.5且W2=0.5；第三种权重分配准则更偏向于降低PCF，故设定W1=0.3且W2=0.7。求取的各权重分配准则对应的最优设计方案如表6所示，并根据各方案对应的设计变量取值进行数值仿真，结果表明三种权重分配准则所对应最优设计方案的比吸能和峰值力的预测误差均小于百分之四，从而验证了代理模型的准确性。

表6 各权重分配准则的最优设计方案及验证

4 结 论

本文提出一种用于某地铁列车碰撞吸能的双锥内嵌隔板矩形管。通过准静态轴向压缩试验验证有限元分析的准确性，采用拉丁超立方采样进行试验设计，根据径向基函数获得代理模型，从而分析各变量对响应的影响，并以最大化比吸能和最小化峰值力为目标，对双锥内嵌隔板矩形管进行多目标优化设计。研究结果表明:

(1) 通过数值仿真对双锥内嵌隔板矩形管进行耐撞性分析，所得到的力-位移曲线、耐撞性响应以及变形模式等结果均与准静态轴向压缩试验有着良好的一致性，验证了所建立的有限元模型的准确性。双锥内嵌隔板矩形管在准静态轴向压缩下呈现出规律而稳定的变形，具有较为理想的耐撞性响应。

(2) 对比双锥内嵌隔板矩形管与传统矩形管准静态压缩的数值仿真结果，发现双锥内嵌隔板矩形管较传统矩形管而言，变形更为紧凑，在相同压缩行程下能形成更多褶皱，吸能量和比吸能均更高，故双锥内嵌隔板矩形管具有更优的耐撞性能。

(3) 各设计变量对吸能量、比吸能以及峰值力的影响程度从大到小依次排序均为无锥度外管对称面厚度、有锥度外管对称面厚度、隔板厚度。其中无锥度外管对称面厚度和有锥度外管对称面厚度对三个响应均产生正相关的影响。随着隔板厚度的增加，吸能量和比吸能先增加而后呈现减小的趋势，峰值力先增加而后趋于稳定。

(4) 多目标优化后得到的帕累托前沿表明，最大化比吸能和最小化峰值力这两个优化目标具有互斥性，因而无法同时达到最优解。尽管如此，帕累托前沿中的部分设计方案相较于优化前而言，能够同时实现更高的比吸能以及更低的峰值力。根据实际工程中的不同需求，可为各目标进行相应的权重分配，并通过求取权函数最大值，能够实现不同权重分配准则的最优设计方案的选择。因此，本文多目标优化有效提升了双锥内嵌隔板矩形管的耐撞性，具有较大的工程价值。