谢宇超，周海滨，陶 妍，王晨旭

(中国船舶工业系统工程研究院，北京 100094)

水中冲击波技术在国防、工业、医学、地质勘探等领域均有广泛应用，其测量对研究冲击波的产生机理、冲击波自身的特性(峰值压力、脉冲宽度、冲量、能流密度等)以及冲击波的破坏效应等具有重要意义。目前冲击波的测量方法可分为直接方法和间接方法[1]。以压力为测量信号的测量方法可称为直接方法，以其他物理量为检测变量的测量方法可统称为间接方法。

间接方法主要有到达时刻法[2](time of arrival，TOA)、条纹阴影法[3]、干涉法[4]，光纤方法[5]等。到达时刻法、条纹阴影法和干涉法理论上能够准确测量冲击波峰值压力，量程非常大，且可以测量距离波源非常近处的冲击波，但上述方法无法测量冲击波压力的时间特性，导致无法对冲击波的冲量、能流密度等进行计算。采用光纤方法，可得到不同压力状态下水的折射率，进而推算压力值，该方法灵敏度较低(如FOPH 2000型光纤压力传感器，灵敏度仅为2 mV/MPa)，对于较弱的冲击波实测效果不佳，仅适合超高压力的测量。

直接的冲击波测量方法多基于探头式压力传感器，测量方式主要包括压电式、压阻式、电容式等[6]。直接方法安装方便，适合现场应用。然而，采用探头式的冲击波传感器测量水中金属丝电爆炸产生冲击波存在诸多缺陷。首先，探头的机械强度和防水性能需要满足；其次，传感器声阻抗要与水匹配；最重要的是，由于冲击波信号前沿快和脉冲窄的特点，频率范围很宽，需要传感器有较高的频响特性和很宽的频带；另外，传感器的敏感元件尺寸、电缆长度等也会影响到信号的质量。

目前水中自由场冲击波测量应用最多的是PCB138系列压力传感器[7]，但其在水中金属丝电爆炸产生冲击波的测量中，仍存在带宽不足的限制，高频响应差，导致测得信号存在一定畸变。Müller-plate Needle Hydrophone传感器(Müller-plate传感器)在汇聚冲击波的研究中也得到了较多应用，具有极高的频带宽度(0.3～11 MHz)和极小的敏感元件尺寸(直径<0.5 mm)，但其下限截止频率高达0.3 MHz，冲击波中的低频分量无法准确测量，因此无法采用该传感器进行冲击波能量的计算；此外，其测得波形的波尾易出现无法预测的振荡，测量一致性也无法保证。由于目前尚无合适的传感器能够对水中金属丝电爆炸产生的冲击波进行准确测量，基于现有的稳定可靠传感器，对测得波形进行重建，使之更加真实的反应信号应有的特征，是非常有意义的。基于PCB138系列压力传感器较高的测量一致性和良好的低频稳定性，本文将对该传感器测得信号进行重建；基于Müller-plate传感器的良好高频性能，本文采用该传感器对重建的波形进行初步的比对和校准。

1 冲击波的形成

1.1 波前的形成

水中脉冲放电产生冲击波的过程可用“活塞模型”进行描述[8-11]。冲击波陡峭波前的形成过程如图1所示。假设活塞从速度为0开始，以加速度a做匀加速运动，此时，靠近活塞的位置将形成初始压缩波，向未扰动的介质传播。活塞运动初期，速度很小，形成的压缩波强度很弱，可将此时的压缩波看作弹性声波[12]，波速约等于水中声速c0(约为1 480 m/s)。假定该过程为绝热过程，介质的绝热系数为γ(约为7.15)。由于活塞是加速运动，则流体质点位置会出现差异，当质点速度增大到不再满足小扰动条件时，即会出现间断，从而产生冲击波。采用特征线分析的方法，可以得到产生间断的时刻和位置，如式(1)所示[13]。当t>tv时，冲击波波前将以相对未扰动介质超声速的速度传播。

(1)

由于冲击波波后的扰动相对冲击波波前的传播速度D是超声速的，因此波后的任何扰动，包括冲击波和稀疏波，都将赶上并叠加到前方的冲击波波前上，形成陡峭的冲击波波前。

图1 冲击波波前的形成过程Fig.1 Formation process of shock wave front

1.2 波尾的形成

冲击波波阵面形成以后，前沿压力大，以超声速传播，冲击波尾部压力接近介质静压，其传播速度接近声速，因此冲击波不断被拉宽，由于被扰动的介质质量逐渐增大，因此单位质量介质的能量逐渐减小，冲击波压力逐渐减弱。

假设活塞初始速度为vp，做匀速直线运动，在t=tR时刻，活塞停止运动，此时活塞运动距离为xp=vptR，冲击波波尾的形成过程如式(2)所示。根据文献[14]的研究结果，波前的位移xS可由式(2)表示，其中γ为介质绝热系数，tl为稀疏波追该上波前的时间。

(2)

当时间t足够大时，xS满足下式

xS=xp+c0{(t-tR)+4k((tl-tR)(t-tR))1/2-

4k2(tl-tR)}

(3)

稀疏波的波尾的位移xT可用下式表示

xT=xp+c0(t-tR)

(4)

则冲击波的脉冲宽度w(t)可表示为

w(t)=xS-xT=c0{4k((tl-tR)(t-tR))1/2-

4k2(tl-tR)}

(5)

可见随着传播距离时间增长，冲击波波尾的持续时间是逐渐变大的，冲击波波尾逐渐展宽，当时间足t够大时，冲击波脉冲宽度将于(t-tR)1/2成正比。

冲击波压力在某点上随时间的衰减特性可由式(6)表示，p0为未扰动水的静压。

(6)

式(6)给出了做匀速直线运动的活塞突然静止后冲击波波尾压力随时间的变化规律，实际这样的条件是无法实现的。对于本文研究的水中脉冲放电产生冲击波的物理过程而言，如图2(c)中所示，放电通道的运动为先加速后减速，最终也没有完全静止，因此，采用式(6)反映实际中冲击波波尾的压力衰减误差可能存在较大误差。

(a) t=tR(c) t=tl

(b) tR

2 冲击波波形重建方法

2.1 冲击波衰减模型

对于水下爆炸过程，很多学者根据实测波形的特征，给出了冲击波压力随时间衰减的经验公式[15]，p(t)为冲击波压力；pm为冲击波峰值压力；tp为正压作用时间；τ为衰减系数。

(7)

2.2 波形重建方法

压电式的冲击波压力传感器在低频段一般都具备平坦的频率响应曲线，在高频段线性度变差。PCB138传感器的谐振频率为>1 MHz，保守估计，该传感器频率小于100 kHz的频段具有平坦的频响特性[16]。若传感器在低频段频率响应曲线平坦，则在该频段，传感器输出信号是对真实信号的线性反映。若频响曲线未知或不平坦，则传感器输出信号会失真，基于失真波形重建的曲线也难言准确。

帕塞瓦尔(Parseval)理论在数学上描述为：函数平方和等于其傅里叶式的平方和，物理上描述为：信号所含有的能量恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量之和，即信号在时域中的能量和在频域中的能量是一致的。

基于此，利用快速傅里叶变换(fast Fourier transform，FFT)和多尺度小波分解等频域分析手段，可对波形进行恢复。波形重建标准如下：

(1) 在频响曲线平坦的频段内，对于某特定频率f0，重建波形在此处的频率响应幅值应与传感器实测信号的频率响应幅值相等；

(2) 在某频段内，重建信号的频域能量应与传感器实测信号的频域能量相等。

以上重建标准可用式(8)表示。

(8)

理论上，根据式(8)，Prec应当严格等于Pm，Erec应严格等于Em，但实际计算中存在多种误差，导致该关系式并非严格成立。例如，记录信号时采样长度是有限的，因此在在傅里叶变换时会出现频谱泄露问题；冲击波传感器测量的信号也并非完全精确，因此若采用式(8)进行波形重建可能无法得到理想的波形。因此，本文提出了基于相对误差控制的波形重建标准，分别计算了频域下的幅值相对误差和能量相对误差，当二者均小于设定的误差上限时，所得波形即为目标重建波形，新的重建标准如下：

(9)

波形重建标准的相关参数如表1所示，表1中幅值误差上限和能量误差上限的确定主要依据大量的试验结果分析。采用本文提出的重建方法，若误差上限值设置过大，会得到多组相近的重建结果，在承认测量误差和重建误差的前提下，可认为所有重建波形均是正确的。本文基于大量实验数据和重建波形分析，提出的误差上限值，尽可能的提高了重建精度。

表1 波形重建标准选取的参数

2.3 波形重建过程

冲击波压力波形重建流程如图3所示，具体过程如下：

(1) 根据水中脉冲放电产生冲击波的特点，给出峰值压力Ppeak和衰减时间常数τ矩阵，以上两参数的范围应远大于实测信号；

(2) 将峰值压力Ppeak和衰减时间常数τ两参数进行组合，得出不同的冲击波波形，并对其进行傅里叶变换和多尺度小波分解，根据式(9)，分别计算幅值误差ErrorP和能量误差ErrorE；

(3) 根据预设的幅值和能量误差上限阈值，提取重建的冲击波波形的参数，进而得到重建的冲击波波形。

图3 波形重建过程Fig.3 Waveform reconstruction process

3 重建方法验证

3.1 冲击波源

基于水中金属丝电爆炸的冲击波产生与测量系统如图4所示。脉冲电容器C通过同轴场畸变触发开关S，经高压电缆向负载放电。Rc和Lc分别为回路电阻和回路电感。放电电流和负载电压分别由罗氏线圈和电容分压器测量；水中冲击波采用PCB138A11压力传感器和Müller-plate传感器测量，测点位置距离金属丝距离为300 mm，入水深度超过300 mm，消除了水面反射波的影响。

图4 冲击波产生与测量系统Fig.4 Shock wave generation and measurement system

电容器充电电压为-19.8 kV，金属丝为直径280 μm、长50 mm铜丝时，典型放电电流和负载阻性电压如图5所示。

3.2 典型重建结果

在之前的研究中，提出了基于快速傅里叶变换(fast Fourier transform，FFT)的频域能量计算方法，但由于该方法频率分辨率恒定为采样长度的倒数，低频段的频率分辨率很低，导致波形重建结果容易出现误差。因此，本文提出了基于多尺度小波分解的频域能量计算方法，使得计算误差大大减小，波形重建的稳定性大大提高，且对所分析信号截取长度不敏感，能够使该方法真正应用于实际分析当中。

图5 典型回路电流与负载阻性电压波形Fig.5 Typical waveforms of current and resistive voltage

图6给出了典型的冲击波波形重建结果，通过对比PCB138A11传感器和Müller-plate传感器测得信号可知，PCB138A11传感器所得信号脉冲宽度受带宽的限制，波形出现了明显畸变，脉冲宽度被展宽了，前沿上升时间显著偏大，峰值压力值也小于Müller-plate传感器测得的结果，经过重建后的冲击波波形更加贴近真实信号。基于FFT算法，在满足误差要求时，得到了多组重建波形，且相互之间差异明显，表明该算法稳定性较差；基于多尺度小波分解算法得到的重建波形，满足误差要求时，只有唯一解，且波形的峰值压力、脉冲宽度与Müller-plate传感器测得信号吻合度很高，波形恢复效果更好。

图6 典型冲击波波形重建结果Fig.6 Typical reconstruction waveforms of shock wave signal

3.3 重建结果的误差分析

对不同放电参数下水中金属丝电爆炸产生的多组冲击波压力波形进行截取，并进行波形重建，对实测与重建波形的峰值压力和能量进行统计，根据式(10)和(11)计算冲击波能量和峰值压力的相对偏差，所得结果如图7所示。

ErrorEsw=(Erec-ESW)/ESW×100%

(10)

ErrorPpeak=(prec-pSW)/pSW×100%

(11)

式中:ErrorPpeak为重建波形峰值压力的相对偏差，ErrorEsw重建波形能量的相对偏差；Erec为重建信号的能量，Esw为实测信号的能量，能量的计算方法参考式(8)；prec为重建信号的峰值压力，psw为实测信号的峰值压力。

分析图7(a)，重建信号的峰值压力较实测信号总体偏大，相对误差的平均偏差为2.35%，标准差为1.6%，重建信号具有较好的线性度。由于受到有限带宽的限制，PCB138A11传感器测得冲击波的峰值压力一定程度上被削弱了。图7(b)所示为实测信号与重建信号的能量，与峰值压力的规律有所不同，重建信号的能量总体较实测信号偏小，且相对偏差比较大，平均值可达17.2%，标准差为4.5%。根据图6出的典型实测波形和重建波形，实测波形在波尾上叠加了一定的振荡信号，由于产生冲击波的金属丝周围存在金属柱体或其他结构，导致冲击波发生了未知的反射，产生了额外的压力波叠加。根据式(8)和(9)给出的重建标准，仅能保证在[fl,fh]频段内实测信号与重建信号能量的相等，在此频段之外的能量并不纳入计算范围，由此导致了实测信号的能量大于重建信号。重建信号能够更加准确的反应冲击波的特征，后文关于冲击波能量和峰值压力的分析均基于重建信号。

(a) 冲击波压力误差分析

(b) 冲击波能量误差分析图7 重建信号的偏差分析Fig.7 Deviation analysis of reconstruction signal

4 结 论

针对水中金属丝电爆炸产生的冲击波前沿陡、脉宽窄、峰值压力高，采用探头式压力传感器对其进行精确测量困难的问题，给出了一种冲击波压力波形重建方法。分析了冲击波波头、波尾的形成过程和波形特征；依据帕塞瓦尔时频域能量守恒定律，采用多尺度小波分解方法，以相对误差控制为重建结果的标准，对PCB138A11实测冲击波信号进行了重构，并与Müller-plate传感器测得信号进行了比对。结果表明，经过重建后的冲击波波形更加贴近真实信号。基于多尺度小波分解的波形重建算法，较基于FFT的重建算法，稳定性和可靠性更好。该方法也为其他类型信号的重建方法提供了思路。

提出了基于帕塞瓦尔时频域能量守恒定律的冲击波重建方法，利用傅里叶变换和小波分解的方法，以峰值压力和能量误差为控制手段，实现了畸变的实测冲击波波形的重建，给出了典型的波形重建结果，以及不同冲击波波形重建后的峰值压力和能量误差。结果表明，重建后冲击波峰值压力偏差的平均值为2.35%，标准差为1.6%；冲击波能量偏差的平均值约为17.2%，标准差为4.5%。重建波形的能量显著小于实测波形，这是由于实测波形发生了畸变，波尾振荡严重，使计算能量偏大。重建信号能够更加准确的反应冲击波的特征。