含焊接残余应力薄圆板结构自由振动近似解

2021-03-17陈炉云

振动与冲击 2021年5期

陈炉云，易宏

(上海交通大学海洋工程国家重点实验室，海洋智能装备与系统教育部重点实验室，上海 200240)

圆板结构作为结构基础部件，广泛应用于航空航天、船舶工程等工程，其振动问题一直受到人们关注。Wu等[1-2]推导径向变厚度圆板结构自由振动方程，并结合特定边界条件进行求解。Yalcin等[3]采用微分变换法推导圆板结构运动方程，对比边界条件对固有频率影响。Bauer等[4]探讨组合边界(固支、简支和自由边界的组合)对薄圆板结构固有频率影响。侯朝胜等[5]基于达芬方程对比阻尼、外激振力、内外半径比及边界条件对薄圆板结构振动的影响。郝君宇等[6]计算空气和水对薄圆板结构固有频率影响。在结构动力响应分析中，解析法具有理论清晰、直观的特点，但求解复杂结构的解析解有一定难度，而变分法求解具有一定优势。鲍四元等[7]基于Rayleigh-Ritz法获得多种边界条件下薄板的频率与振型方程。齐红元等[8]采用Rayleigh-Ritz法建立含集中质量载荷薄板振动能量方程及模态方程。石先杰等[9]将板结构的横向位移展开为三角级数，采用Rayleigh-Ritz法解决振动特征值问题。李秋红等[10-11]基于Rayleigh-Ritz法建立圆板振动方程，分析圆板结构频率和振型特性。

结构在承受外载荷前常存在着预应力。Chen等[12]在结构应变方程加入预应力项，建立非线性方程组并获得解析解，分析预应力对结构动力响应的影响。Yang等[13]基于应变-应力协调方程推导含预应力薄板结构运动方程，对比预应力幅值及分布区域对结构固有频率和模态的影响。陈炉云等[14]基于变分原理讨论局部分布预应力对圆柱壳结构声辐射功率及声指向性的影响。在焊接结构中，焊缝周围存在采用常规方法难以完全消除的焊接残余应力，是典型的非均匀分布预应力。羌凯等[15]对比焊接残余应力幅值、焊缝类型及应力方向对圆柱壳结构固有频率的影响。高永毅等[16]分析焊接残余应力对矩形薄板固有频率的影响。陈章兰等[17]推导焊接残余应力影响刚度矩阵，表明焊接残余应力将改变结构固有频率。对于含焊接残余应力的圆板结构动力响应问题，目前研究成果较少。

文中针对含焊接残余应力薄圆板结构自由振动问题，建立含预应力薄圆板结构振动微分方程。基于Rayleigh-Ritz法构造薄圆板结构能量泛函，实现对傅里叶级数中未知系数的求解。

1 薄圆板预应力模型

1.1 预应力概述

等厚度薄圆板半径为R、厚度为h，并满足h/R≪1。以薄圆板结构中性面中心为原点建立极坐标系Orθz，如图1所示。

图1 薄圆板坐标系Fig.1 Schematic of the system for thin circular plate

图1中，r和θ分别为极坐标系下径向方向和周向方向，z方向为板厚方向。D1和D2为预应力分布区。在结构振动过程中，结构应力σ包含动应力和预应力两部分，并假设满足线性叠加

σ=σ0+σf

(1)

式中:σ=[σr,σθ,σz,τrθ,τrz,τθz]T为结构应力;σf=[σf,r,σf,θ,σf,z,τf,rθ,τf,rz,τf,θz]T为动载荷应力;σ0=[σ0,r,σ0,θ,σ0,z,τ0,rθ,τ0,rz,τ0,θz]T为预应力。基于Kicrhhoff薄板理论，忽略剪切预应力，预应力写成σ0=[σ0,r,σ0,θ,0,0,0,0]T，σ0,r和σ0,θ分别为径向预应力和周向预应力。

1.2 预应力分布模型

设径向预应力σ0,r和周向预应力σ0,θ是薄圆板矢径r的函数。根据薄圆板结构位移函数，将径向预应力和环向预应力用三角函数级数展开

(2)

式中:σr,g(g=1,2,…,G)和σθ,j(j=1,2,…,J)分别为径向预应力幅值和环向预应力幅值;G和J分别为对应的拟合级数截断项数。

2 含预应力薄圆板结构运动方程

2.1 微元体受力分析

在薄圆板结构中截取大小为dr和rdθ的微元体，微元体上剪力和弯矩如图2所示。

图2 振动引起的截面力和弯矩Fig.2 Section force and moment caused by vibration

微元体上力和力矩由两部分组成：振动位移引起的力和力矩；振动位移与预应力之间的耦合力。大小可写成

(3)

2.2 截面力分析

如结构在弹性范围内作小振幅振动，则认为预应力的大小和方向在振动过程中保持不变。预应力σ0沿微元体的r、θ方向形成单位长度截面力N0,r和N0,θ。当薄圆板处于平衡位置时，截面力N0,r和N0,θ平行于r轴和θ轴，且在其它方向无分量

(4)

2.3 耦合力分析

图3 微元体转角Fig.3 Element angle

由于微元体存在转角，截面力N0,r和N0,θ在z方向存在分量ΔN0,r,z和ΔN0,θ,z

(5)

式中，ΔN0,r,z和ΔN0,θ,z是预应力与振动位移的耦合力。预应力始终与微元体截面保持垂直，在r和θ方向均无耦合力，不产生新的耦合弯矩和扭矩。

2.4 平衡方程

微元体在r和θ方向上满足力平衡条件。在z方向，除剪力Qr和Qθ外，存在预应力与振动位移间的耦合力ΔN0,r,z和ΔN0,θ,z，如图4所示。

图4 微元体耦合力Fig.4 Element body coupling force

基于薄板小挠度弯曲理论，忽略r和θ方向上体积力，在r和θ方向力矩平衡方程为

(6)

在z方向，力平衡方程可写成

(7)

式中:ρ为板材料密度;h为板厚。

联立式(4)和式(5)，得如下方程

2.5 运动方程

将式(5)、式(6)代入式(8)，可得含预应力薄圆板结构振动微分方程

(9)

(10)

3 基于Rayleigh-Ritz的振动近似解

建立薄圆板结构能量方程，通过对未知级数系数求极值，获得结构固有频率和模态振型。

3.1 位移试函数

对于各向同性材料薄圆板结构，设预应力和振动位移为轴对称，幅值仅沿r方向变化且沿θ方向不变。薄圆板结构位移方程w(r,θ,t)满足

(11)

式中:wn(r,θ,t)为结构振动位移试函数;Cn为傅里叶级数系数;η为截断项数。

(12)

式中:ω为圆频率;α=π/R，R为薄圆板半径。

3.2 含预应力薄圆板结构动能和变形能

基于Lagrange理论，含预应力圆板结构能量泛函

L=U-T

(13)

式中:U为结构应变能;T为结构动能。其中U=U1+U2，U1为结动力挠度所产生的应变能，U2为预应力引起的附加应变能。

轴对称弯曲薄圆板结构动能和变形能分别为

(14)

(15)

(16)

式中，w(r,θ,t)为薄圆板结构位移试函数。

将式(12)代入式(14)、(15)和(16)中，得到含预应力薄圆板结构能量泛函方程

L=U-T=

(17)

式中，截断项数G由式(2)确定。

3.3 Lagrange 泛函方程

对傅里叶级数求极值，可得

(18)

式(18)将自由振动问题转化成求特征值问题，N为截断项数。对于由系数Cn组成的线性方程组，其矩阵表达式为

(K-ω2M)C=0

(19)

式中：K为刚度矩阵，M为质量矩阵，C为傅里叶级数系数向量。求解式(19)可得薄圆板固有频率和模态振型。

4 数值计算

4.1 模型概述

以周边简支薄圆板结构为例，对比焊接残余应力分布形式对振动特性的影响，如图5所示。

薄圆板结构参数如下：圆板半径R=250 mm、板厚h=6 mm。在圆板R=200 mm处存在一条环向焊缝，焊接应力区宽度约为40 mm。焊接残余应力具有自平衡性：垂直焊缝的径向焊接残余应力σ0,r和沿焊缝的环向焊接残余应力σ0,θ。

结构材料为钢，力学特性如下：弹性模量E=2.1×1011N/m3、密度ρ=7 850 kg/m3、泊松比μ=0.3。

图5 焊接残余应力分布Fig.5 Distribution of welding residual stress

4.2 焊接残余应力分布模型

对于焊接残余应力，除实验测试外，可用热弹塑性有限元软件Marc对焊接过程进行模拟计算。对焊接残余应力分布作如下假设：忽略焊接残余应力在板厚方向的变化；在同一半径处焊接残余应力沿环向方向保持不变。

对比3种不同焊接工艺下的焊接残余应力，环向焊接残余应力最大值约为 150 MPa、径向焊接残余应力最大值约为 250 MPa。图6所示为三种工况下的环向焊接残余应力和径向焊接残余应力的拟合图，拟合函数为三角函数。图中，正值为拉应力，负值为压应力。

(a) 环向焊接残余应力(b) 径向焊接残余应力图6 薄圆板焊接残余应力Fig.6 Welding residual stress of circular plate

4.3 固有频率对比

将拟合后焊接残余应力代入式(17)中，应用MATLAB R2013进行结构固有频率计算。定义截断项数N取值为20，当N大于20时薄圆板结构固有频率趋于稳定，认为已达到收敛。

结构前十阶的固有频率如表1所示。

表1 焊接残余应力对固有频率影响

由表1可知，焊接残余应力使薄圆板结构固有频率值发生改变：① 总体来看，焊接残余应力使结构固有频率降低；② 从固有频率变化趋势来看，第1阶影响最明显，随着阶次增加焊接残余应力的影响相对变小；③ 在同一阶次，随着焊接残余应力的增加，对固有频率的影响增加。由于焊接残余应力存在，在径向方向形成压力，使该区域刚度变小，使结构总体刚度降低。

4.4 模态计算

分析不同分布形式的焊接残余应力对薄圆板结构模态的影响，并对典型阶次进行对比。图7所示分别为第1～6阶的结构振型对比。从左到右各图依次为无焊接残余应力、工况1、工况2和工况3下的结构振型。

对比图7可知，焊接残余应力使薄圆板结构振型改变:① 在第1阶振型中，焊接残余应力使振型不再具有轴对称性；② 在第1阶和第6阶振型中，从中心往外的振型不再连续，在焊接残余应力分布区出现振型突变；③ 在第2阶到第5阶振型中，尽管薄圆板中心距离焊缝线比较远，但该处出现振型突变；④ 在第4阶和第5阶振型中，在焊缝区域的振型突起出现周期性的交替；⑤ 随着焊接残余应力幅值的增加，对结构局部模态的影响增加，振型变化更为明显。振型改变的原因是焊接残余应力改变了结构局部刚度，使薄圆板结构振型和频率发生变化。