齿根安全条件下多状态啮合齿轮传动系统安全-吸引盆侵蚀与分岔

2021-03-17李正发苟向锋朱凌云石建飞

振动与冲击 2021年5期

李正发，苟向锋，朱凌云，石建飞，尹桩

(1.天津工业大学机械工程学院，天津 300387；2.天津工业大学天津市现代机电装备技术重点实验室，天津 300387)

齿轮传动广泛应用于机械系统中，轮齿折断是其主要失效形式之一。对齿轮传动系统安全特性的研究相对于稳定周期解更贴近工程实际。安全盆是研究非线性系统全局安全特性的重要方法，其安全条件的建立至关重要。

吸引子和吸引域有助于研究非线性系统的全局特性。张莹等[1]运用吸引子和吸引域对二维离散Duffing 映射系统的全局动力学进行了研究。唐进元等[2]用一种改进的图胞映射算法，研究了单自由度齿轮系统的吸引子、吸引域和不稳定解的全局特性。Lu等[3]研究发现，单自由度齿轮系统不同周期运动的吸引子具有相对稳定的吸引区域，当系统的扰动达到一定值才会明显改变系统解的拓扑结构。Gou等[4]提出一种改进胞映射算法，计算了单自由度齿轮系统的吸引子，分析了其吸引域转迁过程；苟向锋等[5]借助多初值分岔图、吸引域图分析了参数耦合对系统动态特性的影响规律。

安全盆理论自Thompson等提出以来，广泛应用于非线性系统安全特性的研究。Long等[6]用安全盆理论和Monte Carlo法预测了自由海域中船舶的生存概率。Ücer等[7]运用安全盆理论对BSRA拖网渔船的稳定性进行研究，得到了安全盆中的安全点和不安全点。葛根等[8]研究了白噪声激励和简谐激励下形状记忆合金梁的安全盆侵蚀。尚慧琳等[9]研究了时滞位置反馈对一类非线性相对转子系统的混沌运动和安全盆侵蚀控制。Gong等[10]研究了弱参数周期扰动对非线性振荡器安全盆的影响。刘志亮等[11]用一种确定安全盆中安全域边界的惩罚参数选择算法，研究滚动轴承的安全域。Wei等[12]研究了白噪声对电力系统安全盆侵蚀的影响，但只考虑了不安全区域对安全区域的侵蚀。

目前对安全盆的研究中，通过判断考察区域内初值点经过长时间迭代后是否逃离给定安全区域，确定考察区域内的不安全点和安全点。由于未建立安全条件和分辨安全盆中的吸引子共存，所得安全盆中仅有安全域和不安全域，未研究安全盆中不同周期运动吸引域之间的侵蚀与分岔过程。

本文通过计算齿根弯曲应力，结合齿根许用弯曲应力建立齿根的安全条件。采用四阶Rung-Kutta法数值计算系统在考察区域内随参数变化时的吸引盆及其演变过程。判断吸引盆中不同运动类型吸引域在齿根安全条件下的安全特性，获得多状态啮合齿轮传动系统齿根安全条件下的安全-吸引盆。借助吸引子、多初值分岔图和最大Lyapunov指数图(TLE)分析系统安全-吸引盆的分岔与侵蚀过程。

1 单级齿轮传动系统多状态动力学模型

图1 齿轮系统简化物理模型Fig.1 Simplified physical model of the gear system

表1 齿轮副的系统参数

齿侧间隙使得系统会出现齿面啮合、轮齿脱啮和齿背接触等多种啮合状态。图2为齿面啮合、轮齿脱啮和齿背接触时的啮合状态示意图。齿面啮合时，齿轮m为主动轮p，齿轮n为从动轮g；齿背啮合时相反。N1N2为齿面啮合线，M1M2为齿背接触线。Rpi、Rgi(i=1、2)为主动轮p、从动轮g中第i对啮合轮齿上啮合点到齿轮中心的距离。

(a) 齿面啮合(b) 轮齿脱啮

Shi等[13-14]建立了考虑齿面摩擦、时变啮合刚度、啮合阻尼、齿侧间隙和综合传递误差的单级齿轮传动系统多状态动力学模型

Fm+εω2cos(ωt)

(1)

式中:x为轮齿的相对位移;“·”表示对时间求导;ξ为无量纲阻尼;k为无量纲啮合刚度波动幅值;ω为无量纲啮合频率;ε为无量纲综合传递误差幅值;Fm为负载。M(t)可按式(2)计算得到

(2)

式中:Spi(t)、Sgi(t)(i=1,2)分别为主、从动轮中第i对啮合轮齿的摩擦力臂。齿面啮合时(图2(a))，Spi(t)为第i对啮合轮齿上的啮合点到N1的距离，Sgi(t)为第i对啮合轮齿上的啮合点到N2的距离。齿背接触时(图2c)，Spi(t)为第i对啮合轮齿上的啮合点到M1的距离，Sgi(t)为第i对啮合轮齿上的啮合点到M2的距离。Spi(t)、Sgi(t)可由式(2)计算得到。

(3)

μ[Y1(t)g1(t)sign(Vs1(t))+

Y2(t)g2(t)sign(Vs2(t))]}=Fm+εω2cos(ωt)

(4)

式中，摩擦因数μ=0.05。定义sign(x)函数区分齿面啮合和齿背接触时阻尼力的方向。

(5)

齿侧间隙函数f(x)定义如下

(6)

式(5)、(6)中，D为无量纲齿侧间隙的一半。

根据文献[15]，式(4)中第i(i=1、2)对啮合轮齿的载荷分配率函数Yi(t)按以下两种情况分别计算。

当nT0≤t≤(εa-1)nT0(双齿啮合)时

(7)

当(εa-1)nT0≤t≤(n+1)T0(单齿啮合)时

(8)

式(4)中由于啮合轮齿的相对滑动速度导致摩擦力的方向改变，当相对滑动速度为0时,摩擦力为0。定义摩擦力方向函数sign(Vsi(t))

(9)

式中，第i对啮合轮齿的相对滑动速度Vsi(t)

Vsi(t)=ωpRpi(t)sinαmpi(t)-ωgRgi(t)sinαmgi(t)

(10)

其中，Rpi(t)、Rgi(t)(i=1,2)可由式(11)计算得到。

(11)

式(10)中，αmpi(t)、αmgi(t)(i=1,2)为主动轮p、从动轮g中第i对啮合轮齿上啮合点的压力角

(12)

(13)

2 防止齿根折断安全条件的建立

以齿轮m为研究对象，啮合轮齿的齿根许用弯曲应力可由式(14)计算得到[16]。

σFP=σFEYNTYδreltYRreltYX/SFmin

(14)

MQ级气体渗氮处理调质钢的参数为：σFE=580 MPa，YNT=1.01，Yδrelt=1.0，YRrelt=0.9，YX=1,SFlim=1.2。则齿根许用弯曲应力σFP=440 MPa。

由式(13)可得啮合过程中齿轮m所受无量纲动态啮合力

(15)

(16)

考虑齿轮啮合过程中的单双齿交替啮合，第i(i=1、2)对啮合轮齿所受沿啮合线方向的啮合力Fni

Fni=FnYi(t)

(17)

图3 齿轮的时变啮合刚度Fig.3 Time-varying meshing stiffness of gears

选取系统参数ω=1.4，ε=0.2，ξ=0.05，k=0.18，D=0.5，μ=0.05，Fm=0.23。以x1=1.174 286,x2=0.334 286为初值计算得到系统相图，如图4(a)所示。图中虚线为|x1|=D=0.5。相轨迹位于x1=0.5右侧时，系统齿面啮合，齿轮m受沿N2N1方向的啮合力；相轨迹位于两条虚线之间时，轮齿脱啮；相轨迹位于x1=-0.5左侧时，系统齿背接触，齿轮m受沿M1M2方向的啮合力。同组参数下计算齿轮m啮合过程中的Fn、Fn1和Fn2，如图4(b)所示。图4(c)为图4(b)在C方向的放大图。图4(b)、(c)中的黑色虚线为Fn、黑线为Fn1、灰色线为Fn2。相轨迹位于x1=0.5右侧时，Fn>0；相轨迹位于两条虚线之间时，Fn=0；相轨迹位于x1=-0.5左侧时，Fn<0。图4(b)、(c)中，当Fn=Fn1∪Fn2=0时(黑色虚线和黑线重合，灰色线等于0)，系统单齿啮合；当Fn=Fn1+Fn2时(黑色虚线、黑线和灰色线均不等于0)，系统双齿啮合。需要注意的是，图4(b)、(c)中存在T和T0两个时间尺度。其中，T=2π/ωm为啮合周期，T0=2π/(Zmωm)为完成一次单、双齿交替啮合的时间。

图4(b)中的黑色虚线先由Fn>0→Fn=0→Fn<0→Fn=0。Fn>0时，系统为齿面啮合状态；当Fn逐渐减小到0后，沿负方向增加(时间区间较小)，最后突变为0，见图4(b)中的A区域。此时，系统由齿面啮合变为脱啮。当Fn=0时，系统为脱啮状态。之后，图4(b)中的黑色虚线经由Fn=0→Fn>0→Fn=0→Fn<0。Fn由0突变为正，然后逐渐减小为0并向负方向增加(时间区间较小)，见图4(a)中的B区域，轮齿脱啮变为齿背接触。当Fn<0时，系统为齿背接触状态。图4(b)中啮合点1、2上所受的啮合力Fn1≠Fn2，任意时刻啮合齿对1和啮合齿对2上所受的齿根弯曲应力不相等，应分别计算啮合轮齿1和啮合轮齿2上的齿根弯曲应力。

(a) 相图(b) 啮合力时间历程图

齿面摩擦力在节圆附近改变方向。以节圆为界将啮合区分为两部分：节圆至齿根圆为下啮合区，节圆至齿顶圆为上啮合区。图5中齿根圆角半径r=0.38m；点Bi(i=1,2)为齿轮m中啮合轮齿i上的啮合点。啮合轮齿受到法向力Fni和齿面摩擦力Ffi。Fni沿法线方向延伸交轮齿中线于Ai点，Ffi沿切线方向交轮齿中线于Ci点。根据弦切法可得危险截面H1H2。Li为Ai到H1H2的距离，ΔLi为Ai到Ci的距离。Fni和Ffi沿齿高方向上的分力在齿根危险截面产生的拉压应力很小[20]，故不考虑其对齿根弯曲应力的影响。齿面摩擦力为

Ffi=Fniμ

(18)

(a) 下啮合区轮齿受力图(b) 上啮合区轮齿受力图图5 啮合轮齿受力图Fig.5 Force diagram of the meshing teeth

齿根危险截面H1H2受到的弯曲应力可由式(19)、(20)计算得到。其中，双齿啮合时

(19)

单齿啮合时

(20)

为使计算得到的σFi(t)能够更清晰地反应系统的啮合状态，将图4中的Fn1和Fn2代入式(18)～(20)计算得到图6(a)。图中黑线代表σF1，灰色线代表σF2。图6(a)中，σFi>0时齿面啮合；σFi=0时轮齿脱啮；σFi<0时齿背接触。图6(b)为图6(a)中C方向的放大图。图中σF1≠0、σF2≠0时，系统处于双齿啮合状态；σF1≠0、σF2=0时，系统处于单齿啮合状态。图6(b)中啮合点处于单齿啮合区时，齿根危险截面上的弯曲应力最大；摩擦力在节圆附近的方向变化引起图6(b)中黑线σF1在单齿啮合区存在突变。图6(c)为图6(a)中某一轮齿从进入啮合到脱离啮合过程中的齿根弯曲应力图。

(a) 齿根弯曲应力时间历程图(b) C方向放大图

齿轮在齿根弯曲应力大于齿根许用应力下长时间运行，会出现齿根弯曲疲劳，严重时发生轮齿折断；据此可建立齿根不发生弯曲疲劳的安全条件

σFi≤σFP

(21)

在安全盆中，以不同吸引子为初值获得系统不同的运动状态，计算不同运动状态下齿轮1中啮合轮齿的齿根弯曲应力(双齿啮合时σF1(t)、σF2(t)；单齿啮合时σF1(t)、σF2(t)=0)，并与齿根许用弯曲应力σFP比较。当存在σFi(t)≥σFP时，该吸引子及其吸引域不安全；反之，该吸引子及其吸引域安全。

3 齿根安全条件下系统安全-吸引盆侵蚀与动力学分析

采用单一变量法，分别研究负载Fm和齿侧间隙D变化时系统的全局动力学和安全特性。利用吸引子和第二节建立的齿根安全条件对考察区域Hi内吸引域的安全特性进行考察，获得系统的安全-吸引盆；利用多初值分岔图和TLE分析安全-吸引盆的侵蚀与分岔过程。

3.1 参数Fm变化下安全-吸引盆的侵蚀与分岔

取系统参数ω=1.4，ε=0.2，ξ=0.05，k=0.18，D=0.5，μ=0.05。在系统响应的相空间中选择考察区域H1∈{-2≤x1≤2,-2≤x2≤2}。图7为系统随Fm减小时安全-吸引盆的侵蚀与分岔过程。图中不同形状的点代表不同运动类型的吸引子，吸引子的个数代表周期数；不同颜色区域为该吸引子的吸引域。Pn代表周期数，U代表该吸引域不安全，S代表该吸引域安全。图8为以新出现或数量变化的吸引子为初值计算得到的σFi(t)；其中黑线为σF1(t)，灰色线为σF2(t)，黑色虚线为安全边界σFP=440 MPa。

表2列出了Fm∈(0.1,0.35)逐渐减小时系统安全-吸引盆中吸引子的共存情况和演变过程。当Fm∈(0.290 3,0.35)，安全-吸引盆中只存在安全吸引子P1，图7(a)为Fm=0.3时系统的安全-吸引盆，橙色区域为P1吸引子的吸引区域，以P1吸引子x1=0.46,x2=0.065 714为初值计算得到图8(a)，图中黑线和灰色线均未超过440 MPa，即齿轮啮合过程中σFi始终小于σFP，可判断橙色区域为安全区域，将其标为P1S。

当Fm减小至Fm=0.290 3时，安全-吸引盆中出现不安全吸引子P21，橙色区域P1S中部分初值进入P21吸引子的吸引区域，安全-吸引盆中出现新的吸引域，安全-吸引盆发生分岔。当Fm∈(0.269 9,0.290 3]时，安全-吸引盆中P1和P21共存。图7b为Fm=0.27时系统的安全-吸引盆，蓝色区域为P21吸引子的吸引域，以P21吸引子x1=0.682 857,x2=0.785 714为初值计算得到图8(b)。图中黑线超过黑色虚线，即齿轮啮合过程出现σFi>σFP，可以判断蓝色吸引域为不安全区域，将其标为P2U1。

表2 随Fm减小系统吸引子的演变过程

当Fm=0.269 9时，安全-吸引盆中出现不安全吸引子P22，P2U1蓝色区域中部分初值进入P22吸引子的吸引区域，当Fm∈(0.185 8,0.269 9]时，安全-吸引盆中P1、P21和P22共存。图7(c)为Fm=0.23时系统的安全-吸引盆，红色区域为P22吸引子的吸引域，以P22吸引子x1=1.174 286,x2=0.334 286为初值计算得图8(c)，可以判断红色区域为不安全区域，将其标为P2U2。图7(d)为Fm=0.2时系统的安全-吸引盆，其中未发生吸引区域的出现或消失，橙色区域和红色区域的面积逐渐减小，蓝色区域的面积逐渐增大，该过程中安全-吸引盆发生侵蚀。

当Fm=0.185 8时，安全吸引子P1分岔为安全吸引子P2。Fm∈(0.178,0.185 8]时，安全-吸引盆中P2、P21和P22共存。图7(e)为Fm=0.182时系统的安全-吸引盆，橙色区域变为P2的吸引区域，以P2吸引子x1=0.265 714,x2=0.031 429为初值计算得图8(d)，蓝色区域为安全区域，标为P2S。

当Fm=0.178时，安全-吸引盆中出现不安全吸引子P6，P2U1蓝色区域中部分初值进入P6吸引子的吸引区域。当Fm∈(0.173 7,0.178]时，安全-吸引盆中P2、P21、P22和P6共存。图7(f)为Fm=0.175时的安全-吸引盆，图中紫色区域为P6吸引子的吸引区域。以P6吸引子x1=-0.134 286,x2=0.431 429为初值计算得图8e，紫色区域为不安全区域，记为P6U。

当Fm=0.173 7时，安全-吸引盆中出现不安全吸引子PN，P6U紫色区域中部分初值进入PN吸引子的吸引区域。Fm∈(0.165,0.173 7]时，安全-吸引盆中P2、P21、P22、P6和PN共存。图7(g)为Fm=0.17时系统的安全-吸引盆，图中黄铜色区域为PN的吸引区域。以PN吸引子x1=0.077 14,x2=-0.785 71为初值计算得图8(f)，黄铜色区域为不安全区域，记为PNU。当Fm∈(0.164 4,0.165)时，P1和PN吸引子的吸引区域不断减小，当Fm=0.164 4时，安全-吸引盆中橙色区域P2S及其吸引子P2消失，PNU消失。Fm∈(0.158 7,0.164 4]时，安全-吸引盆中P21、P22和P6共存，图7(h)为Fm=0.163时的安全-吸引盆。

(a) Fm=0.3(b) Fm=0.27

(e) Fm=0.182(f) Fm=0.175

(g) Fm=0.17(h) Fm=0.163

(i) Fm=0.156(j) Fm=0.147

(k) Fm=0.13图7 系统安全-吸引盆随Fm的侵蚀与分岔过程Fig.7 Erosion and bifurcation of safe basins of system via Fm

当Fm=0.158 7时，紫色区域P6U及其P6吸引子消失。当Fm∈(0.153 9,0.158 7]时，安全-吸引盆中P21和P22共存，图7(i)为Fm=0.156时的安全-吸引盆。当Fm=0.153 9时，不安全吸引子P21分岔为安全吸引子P4，当Fm∈(0.143 5,0.153 9]时，安全-吸引盆中P4和P22共存。图7(j)为Fm=0.147时的安全-吸引盆，以P4吸引子x1=0.557 143,x2=0.391 429为初值计算得图8(g)，蓝色区域为安全区域，记为P4S。

当Fm=0.143 5时，蓝色区域安全吸引子P4分岔为安全吸引子PN，当Fm∈(0.1,0.143 5]时，安全-吸引盆中P22和PN共存。图8(k)为Fm=0.13时的安全-吸引盆，以PN吸引子x1=-0.077 143,x2=0.031 429为初值计算得图8(h)，该吸引子的吸引区域为安全区域，记为PNS。

(a) Fm=0.3(b) Fm=0.27

(e) Fm=0.175(f) Fm=0.17

(g) Fm=0.147(h) Fm=0.13图8 随t变化的σF1和σF2；图中黑线为σF1，灰色线为σF2

综上所述，由于齿轮系统对初值的敏感性，不同的初值会得到不同的吸引子，且不同吸引子引起的齿根弯曲应力不同。随着负载Fm减小，图7中相同颜色吸引域下的齿根弯曲应力逐渐减小。如，图7中橙色吸引域由P1S变为P2S时，其引起的齿根弯曲应力由图8(a)减小为图8(d)；图7中蓝色吸引域经过P2U1→P4S→PNS，其引起的齿根弯曲应力变化经过图8(b)、图8(g)及图8(h)，蓝色吸引域下的齿根弯曲应力由不安全减小为安全。当Fm∈(0.290 3,0.35)时，安全-吸引盆只存在安全吸引子P1及其吸引域，如图7(a)所示；当Fm等于0.290 3、0.269 9、0.178、0.173 7时，安全-吸引盆中出现不安全吸引子P21、P22、P6、PN及相应的吸引域，安全-吸引盆的安全性和稳定性变差。Fm在一定范围内减小时，安全-吸引盆中内P21、P22、P6、PN吸引子的吸引域面积逐渐增大，引起安全-吸引盆中不安全区域的面积增大，安全区域的面积减少。因此Fm和初值共同影响系统的全局安全特性。

在某参数下，安全-吸引盆中吸引子的类型或数量改变，导致安全-吸引盆中吸引域的共存情况发生变化，引发安全-吸引盆分岔。某参数范围内，安全-吸引盆中吸引子的类型和数量没有变化，未出现吸引域的出现或消失，不同吸引域之间相互侵蚀导致安全-吸引盆侵蚀。下文借助多初值分岔图和TLE图进一步分析安全-吸引盆侵蚀与分岔过程。

沿用上文所选系统参数，计算得到系统的多初值分岔图和TLE图，分别如图9和图10所示。为分析多初值下系统的稳态响应及其转迁过程，多初值分岔图中采用时间Poincaré截面(每隔一个外激励周期2π/ω取Poincaré映射点)。图9中分岔分支的颜色对应于图7中的安全-吸引盆颜色；P1、M2、PN、MN等为运动类型；PN和MN为混沌运动。图9和图10中G12、M12和D12等为分岔点或周期跳跃点，部分倍化序列未标注。

图9中橙色分岔分支：P1→D12→P2→G22。当Fm∈(0.185 8,0.35)时，安全-吸引盆中橙色P1S区域为安全吸引子P1的吸引区域(图7(a)～(d))。当Fm=0.185 8(D12)时，图10中TLE值近似等于0，橙色分岔分支发生倍化分岔，安全吸引子P1倍化分岔为安全吸引子P2；Fm∈(0.164 4,0.185 8]时，橙色P2S区域为P2吸引子的吸引区域(图7(e)～(g))。当Fm=0.164 4时，P2吸引子及橙色区域消失(图7h)。

图9中蓝色分岔分支：P1→G12→P2→G24→ P4→G4N→MN。当Fm=0.290 3(G12)时，安全-吸引盆中出现不安全吸引子P21，部分橙色区域进入P21吸引子的吸引区域，当Fm∈(0.153 9,0.290 3]时，蓝色区域为P21吸引子的吸引区域(图7(b)～(i))。当Fm=0.153 9(G24)时，蓝色区域P21不安全吸引子倍化分岔为安全吸引子P4，Fm∈(0.143 5,0.153 9]时，蓝色区域为P4吸引子的吸引区域(图7(j))。当Fm=0.143 5(G4N)时，安全吸引子P4分岔为安全吸引子PN，当Fm∈(0.1,0.143 5]时，蓝色区域为PN吸引子的吸引区域(图7(k))。

图9中红色分岔分支：P1→M12→M2。当Fm=0.269 9(M12)时，安全-吸引盆中出现不安全吸引子P22，部分橙色区域进入P22吸引子的吸引区域；当Fm∈(0.1,0.269 9]时，红色区域为P22吸引子的吸引区域(图7(c)～(k))。

图9中紫色分岔分支：P1→G12→P2→G26→P6→G6-12→G12N→PN→GN2。当Fm=0.178(G26)时，安全-吸引盆中出现不安全吸引子P6，蓝色部分区域进入P6吸引子的吸引区域，当Fm∈(0.161 2,0.178]时，紫色区域为P6吸引子的吸引区域，(图7(f)～(h))。当Fm=0.161 2(G6-12)时P6吸引子变为P12吸引子，并在之后进入短暂的混沌状态。当Fm=0.158 7时，安全-吸引盆中紫色区域完全被侵蚀。Fm∈(0.153 9,0.158 7]时，安全-吸引盆中只存在P21和P22吸引区域(图7(i))。

图9 随Fm减小的多初值分岔图

图10 随Fm减小的TLEFig.10 TLE decreased with Fm

图9中黄铜色分岔分支：P1→G12→P2→G23 →P6→G6N→PN→PN2。当Fm=0.173 7(G6N)时，部分紫色区域进入不安吸引子PN的吸引区域，当Fm∈(0.165,0.173 7]时，黄铜色区域为不安全吸引子PN的吸引区域(图7(g))。当Fm=0.165时，黄铜色吸引域消失。

由此可见，随着Fm的减小，系统的多初值分岔图和安全-吸引盆侵蚀与分岔过程相对应。多初值分岔图中未出现周期跳跃和分岔时，不会引起安全-吸引盆中吸引子种类和数量上的改变，安全-吸引盆发生侵蚀。多初值分岔图中出现周期跳跃或分岔，安全-吸引盆中吸引子种类或数量改变，安全-吸引盆发生分岔。

3.2 参数D变化下安全-吸引盆侵蚀与分岔

取系统参数ω=1.2，ε=0.2，ξ=0.07，k=0.18，Fm=0.14，μ=0.05。在系统相空间中选择考察区域H2∈{-2≤x1≤2,-2≤x2≤-2}。图11为D∈(0,1.0)内增大时系统的安全-吸引盆。图12为以新出现或数量变化的吸引子为初值计算得到的σFi(t)。

表3中列出了当D∈(0,1.0)时系统安全-吸引盆中吸引子的共存情况和演变过程。当D∈(0,0.085 5)时，安全-吸引盆中只存在安全吸引子P1，图11(a)为D=0.05时系统的安全-吸引盆，图中紫色区域为该吸引子的吸引区域。以P1吸引子x1=-0.191 429、x2=0.048 571为初值计算得到图12(a)，可以判断紫色区域为安全区域，将其标为P1S。

表3 系统吸引子随D减小的演变过程

当D增大至D=0.085 5时，安全-吸引盆中出现不安全吸引子P41，P1S紫色区域中部分初值进入P41吸引子的吸引区域。当D∈[0.085 5,0.103)时，安全-吸引盆中P1和P41吸引子共存。图11(b)为D=0.09时的安全-吸引盆，图中粉色区域为P41吸引子的吸引区域，以P41吸引子x1=-0.534 286,x2=-0.054 286为初值计算得图12(b)，粉色区域为不安全区域，记为P4U。图11(c)为D=0.1时的安全-吸引盆，其中的紫色区域增大，粉色区域减小；吸引子的类型和数量未发生变化，安全-吸引盆仅发生了侵蚀。

当D=0.103时，粉色区域及其P41吸引子消失。当D=0.109 5时，安全-吸引盆中出现安全吸引子P3。当D∈[0.109 5,0.122 5)时，安全-吸引盆中P1和P3共存。图11(d)为D=0.115时的安全-吸引盆，图中草绿色区域为P3吸引子的吸引区域，以P3吸引子x1=-0.237 143,x2=-0.048 571为初值计算得到图12(c)，绿色区域为安全区域，记为P3S。

当D=0.122 5时，紫色区域中P1吸引子分岔为安全吸引子P21；当D∈[0.122 5,0.253 5)时，安全-吸引盆中P21和P3共存。图11(e)为D=0.175时的安全-吸引盆，以紫色区域P21吸引子x1=-0.237 143,x2=0.031 429为初值计算得到图12(d)，紫色区域安全，记为P2S。D∈[0.122 5,0.253 5)时，紫色区域不断侵蚀草绿色区域(图11(e)～(f))。当D=0.253 5时，草绿色区域及其P3吸引子消失。

当D=0.386 5时，安全-吸引盆中出现安全吸引子P22，P2S紫色区域中部分初值进入P22吸引子的吸引区域。当D∈[0.386 5,0.433 5)时，安全-吸引盆中P21和P22共存。图11(g)为D=0.41时的安全-吸引盆，图中天蓝色区域为P22吸引子的吸引区域，以P22吸引子x1=-0.46,x2=-0.02为初值计算得到图12(e)，天蓝色区域为安全区域，记为P2S2。

当D=0.433 5时，天蓝色区域中P22吸引子分岔为安全吸引子P4。当D∈[0.433 5,0.457 5)时，安全-吸引盆中P21和P4共存。图11(h)为D=0.45时的安全-吸引盆，以天蓝色区域P4吸引子x1=-0.597 143,x2=-0.042 857为初值计算得到图12(f)，天蓝色区域为安全区域，记为P4S。当D=0.457 5时，天蓝色区域及其P4吸引子消失。

当D=0.525 5时，安全-吸引盆中出现不安全吸引子P42，P2S紫色部区域中部分初值进入P42吸引子的吸引区域。当D∈[0.525 5,0.582)时，安全-吸引盆中P21和P42共存。图11(i)为D=0.55时的安全-吸引盆，图中红色区域为P42吸引子的吸引区域，以P42吸引子x1=-0.62,x2=-0.06为初值计算得到图12(g)，红色区域为不安全区域，记为P4U2。

当D=0.582时，安全-吸引盆中出现不安全吸引子P43；当D=0.589时，红色区域不安全吸引子P42分岔为不安全吸引子P2。当D∈[0.589,0.74)时，安全盆中P21、P2和P43共存；图11(k)为D=0.625时的安全-吸引盆，其中的蓝色区域为P43吸引子的吸引区域。以P43吸引子x1=0.094 286,x2=-0.265 714为初值计算得到图12(h)，蓝色区域为不安全区域，记为P4U3。以红色区域P2吸引子x1=-0.905 714,x2=-0.128 571为初值计算得到图12(i)，红色区域为不安全区域，记为P2U。

当D=0.74时，安全-吸引盆中出现不安全吸引子P6，P4U3蓝色区域中部分初值进入P6吸引子的吸引区域。当D∈[0.74,0.878)时，安全-吸引盆中P21、P2、P43和P6共存。图11(m)为D=0.75时的安全-吸引盆，其中的春天绿区域为该吸引子吸引区域，以P6吸引子x1=-0.322 857,x2=0.42为初值计算得到图12(j)，春天绿区域为不安全区域，记标为P6U。图11(n)为D=0.75时的安全-吸引盆。

当D=0.878时，不安全吸引子P2及红色区域消失。当D∈[0.878,1.0)时，安全-吸引盆中P21、P43和P6共存，图11(o)为D=0.9时系统的安全-吸引盆。

(a) D=0.05(b) D=0.09

(e) D=0.175(f) D=0.225

(g) D=0.41(h) D=0.45

(i) D=0.55(j) D=0.575

(k) D=0.625(l) D=0.7

(m) D=0.75(n) D=0.8

(o) D=0.9图11 系统安全-吸引盆随D的侵蚀与分岔过程Fig.11 Erosion and bifurcation of safe basins of system via D

由此可见，随着齿侧间隙D的增大，系统安全-吸引盆中出现多吸引域共存和不安全吸引域，且不安全吸引域的面积不断增大，系统的稳定性和安全特性被破坏。因此，齿侧间隙D不宜取值过大。

下文将利用多初值分岔图和TLE图分析系统安全-吸引盆的侵蚀与分岔过程。图13为D∈(0,1.0)内系统随D增大的多初值分岔图，图14为对应的TLE图。

图13中紫色分岔分支：P1→G12→P2。当D∈(0,0.122 5)时，安全-吸引盆中紫色区域为安全吸引子P1吸引区域(图11(a)～(d))。当D=0.122 5(G12)时，P1吸引子分岔为安全吸引子P21。D∈[0.122 5,1)时，安全-吸引盆中紫色区域为P21吸引子的吸引区域(图11(e)～(o))。

图13中粉色分岔分支：P1→G14→P4→G41。当D=0.085 5(G14)时，安全-吸引盆中出现不安全吸引子P41，当D∈(0.085 5,0.103)时，安全-吸引盆中粉色区域为P41吸引子的吸引区域(图11(b)～(c))。当D=0.103(G41)时，粉色区域及其P41吸引子消失。

图13中草绿色分岔分支：P1→G13→P3 →G32。当D=0.109 5(G13)时，安全-吸引盆中出现安全吸引子P3；当D∈[0.109 5,0.253 5)时，安全-吸引盆中草绿色区域为P3吸引子的吸引区域(图11(d)～(f))。当D=0.253 5(G32)时，草绿色区域及其P3吸引子消失。

(a) D=0.05(b) D=0.09

(e) D=0.41(f) D=0.45

(g) D=0.55(h) D=0.625(P4U3)

(i) D=0.625(P2U)(j) D=0.75图12 随t变化的σF1和σF2Fig.12 σF1 and σF2 via t

图13中天蓝色分岔分支：P1→G12→P2→G22→P2→G24→P4→G42。当D=0.386 5(G22)时，安全-吸引盆中出现安全吸引子P22，当D∈[0.386 5,0.433 5)时，安全-吸引盆中天蓝色区域为P22吸引子的吸引区域(图11(g))。当D=0.433 5(G24)时，安全吸引子P22倍化分岔为安全吸引子P4。当D∈[0.433 5,0.457 5)时，安全-吸引盆中天蓝色区域为P4吸引子的吸引区域(图11(h))。当D=0.457 5(G42)时，天蓝色区域及其P4吸引子消失。

图13中红色分岔分支：P1→G12→P2→M24→Q4→M42→P2→O24。当D=0.525 5(M24)时，安全-吸引盆中出现不安全吸引子P42，当D∈[0.525 5,0.589)时，安全-吸引盆中红色区域为P42吸引子的吸引区域(图11(i)～(j))。当D=0.589时，红色区域P42吸引子逆倍化分岔为不安全吸引子P2，当D∈[0.589,0.878)时，安全-吸引盆中红色区域为P2吸引子的吸引区域(图11(k)～(n))。