李鹏飞, 张伟伟, 申 桐, 康 彪, 郑继红*

(1. 上海理工大学 光电信息与计算机工程学院，上海200093；2. 上海理工大学 上海市现代光学系统重点实验室，上海200093)

1 引 言

现在主流光栅的面型大部分采用平面或者固定曲率半径的曲面为基板，对于曲面半径可变化的柔性曲面光栅鲜有报道。柔性光栅通常指的是采用特殊柔性基片材料(如PET软膜、PDMS弹性高分子材料、柔性可穿戴设备等)制备，可以通过改变不同曲率来实现曲面面型的变化。记录时会造成光栅周期在一定的范围内按照一定规律发生连续变化，而这种周期可变的光栅[1-2]可以应用于球面单色仪[3]、X射线光谱仪[4]、光学位移传感器[5]等设计。柔性全息光栅拥有较高的衍射效率且制作工艺简单，柔性光栅在制作过程中使用更为轻薄的PET薄膜作为基底材料，相比较ITO玻璃基底，器件将会变得更薄更轻。文献[1]中将平面基片上的光栅结构转移到弹性高分子材料上来同时实现透射和衍射的功能，但文章中所描述的制备方法比较复杂。此外，在柔性曲面上使用激光刻划全息图如文献[6]所示，但所制备的光栅条纹周期等较多受到激光刻划工艺的限制。全息柔性光栅的制备与激光直写相比，该光栅制造简单、成本低、光槽密度高、可以避免鬼线的产生，且光栅可以通过改变半径来调控光栅周期分布。本实验中采用轻薄的柔性基底材料全息干涉制备光栅，优点在于由于曲率可变，全息衍射特性可变，能够有效避免激光直写等产生的误差。

本文提出并使用全息光路制作柔性曲面光栅，采用纳米银掺杂的聚合物分散液晶(PDLC)[7-12]材料一次性曝光来制作柔性光栅，并研究了这种柔性光栅的特性，该光栅可以通过改变PET软膜曲率半径发生光学衍射特性的变化。这种全息柔性光栅在全息存储[6]、光谱仪、软机器人[13]、传感器、近眼显示[7，14-15]等领域有着潜在的应用。

2 基本原理

2.1 干涉特性

图1是实验制备光路图，采用平面波对称式全息干涉光路制备，将液晶盒固定弯曲成一定曲率并固定在干涉光路中曝光。两束相干性高、强度相等、偏振态相同的激光光束干涉时会形成亮条纹和暗条纹交替出现的周期性结构，由于PDLC材料中聚合物基质的光聚合特性，预聚物在亮条纹处发生聚合反应，因为分子的扩散特性，液晶微滴由此向着暗条纹处聚集，随着时间的推移，逐渐形成了对应亮条纹和暗条纹的聚合物区和液晶区，由于二者的折射率不同，因此位相型全息光栅结构就此形成。由于曲面和平面在干涉场内的受照条纹分布规律有较大的差异，有必要研究曲面的PDLC光栅的干涉衍射特性。

图1 全息实验光路

由于光栅的厚度远远小于光栅的表面尺寸，光栅厚度忽略不计，简化为弧型线，以光栅曲面中心点为原点建立平面坐标系，连接曲面中心和圆心为y轴，光栅曲面的切平面为x轴，R为曝光时光栅的曝光半径。如图2所示,(a)和(b)为不同视角的侧视图,(c)为曲面光栅的俯视图坐标系。

图2 (a)、(b)分别为不同视角的立体图，(c)为微元化的光栅。

曲面在y轴方向提供了一定的深度，光栅周期的分布与平面光栅有一定的差异。通过微元法将曲面分割成无数个微平面，这就相当于无数个微小平面在同一个光场中曝光且每个微小平面在半径为R的柱面上进行排列，俯视图如2(c)所示。

当一个微平面H-PDLC材料在平面波干涉光场中曝光时，每一个平面所制成的光栅都符合光栅方程，其中第i个微元光栅满足：

di(sinθ0i+sinθ1i)=mλ，

(1)

θ0i+θ1i=2α，

(2)

其中：di、θ0i、θ1i、m、λ、α分别为对应了第i个微平面所对应的光栅周期、法线左侧入射光的入射角、法线右侧入射光的入射角、衍射级次、入射光的波长、曝光时两个干涉臂的半夹角。

根据图2(c)的几何关系，可以得到：

(3)

.

(4)

图2(c)中lI表示微平面上的点ARi到坐标轴原点弧长,当ARi点在y轴左侧时,lI取负号,在y轴右侧时,取正号。同样,当点ARi在y轴左侧时,βI取负号,在y轴右侧时,βI取正号。

将上述公式(1)～(4)整合可得：

(5)

对于曲面光栅，其光栅方程可以近似表达为：

(6)

其中：d为光栅的周期，l表示光栅面上的点到坐标轴原点弧长(本文用来表示入射点位置),当点在y轴左侧时,l取负号,在y轴右侧时,取正号。从公式(6)中可以看出曲面光栅的周期与曝光夹角α、弧长l、曝光时的波长λ、曲面半径R(曝光半径)有关。

2.2 柔性光栅的衍射场分析

当不改变光栅的曲率半径时，即(衍射半径)R1=R，入射光为平面波，所有光栅上的微元平面均遵循全息再现过程，衍射波为平面波。

当改变光栅的曲率半径时，即R1≠R，圆弧面限制了每个微平面的法线方向。当R1变化时圆弧面也随之变形，其限制的微平面的法线方向一直指向R1变化后对应的圆心，光栅不再保持半径为R时的光学特性。这时使用平面波照射光栅，衍射光斑上将出现明暗相间不均匀分布的“黑线”。为了得到更好的衍射效果，本文在理想再现情况下分析其衍射特性。

当光线照射在微平面上时，只有当入射角满足布拉格入射角θ0i时，衍射效率才会最大(原光路再现)。通过图3(b)几何关系，可以推导出每个微元光栅达到最佳衍射时的入射光的光线表达式。并通过公式(4)转换成y与位置l有关的表达公式(7)：

.

(7)

对最佳入射光线方程(7)的分析，当半径R1=R时，原光路再现，采用平行入射光线，可获得最佳衍射图像，示意图如图3(c2)。当R1≠R，也就是曲面光栅压缩或者展开曲率时，其最佳入射光线轨迹将会聚于一点，也就是需要用发散或者会聚的柱面波再现才能获得最佳衍射图像，示意图如图3(c1)、(c3)所示。图中R1decrease、R1R、R1increase分别表示R1的数值相对于R的数值减小、相等、增加。

图3 (a)R1变化的示意图；(b)微元化的光栅；(c)3种情况下的衍射特性。

.

(8)

(9)

(10)

2.2.1 衍射效率分析

(11)

(12)

θi=θ0i+Δθi，

(13)

(14)

此外将上式整理并求出整个衍射波的光强：

(15)

公式(14)中光栅的衍射效率与光线入射时的角度和光栅上微平面的位置l有关，布拉格角偏移量Δθ过大对光栅衍射效率会有影响。在不考虑材料内部吸收、材料表面反射等损耗时，可以推导出衍射光的总光强I的表达式(15)，I0为总单个微元面入射光强。

图4 不同R1对应的角度偏移量(a)和衍射效率(b)

起衍射光斑分布不均匀的情况，从而避免了“黑线”的产生。图4(b)验证了衍射效率在94%以上，不同的半径对应的衍射效率基本一致，光强分布基本趋于均匀。

2.2.2 柔性光栅的横向放大率

为了描述柔性光栅作为成像器件在光学系统中的放大作用，这里用横向像宽L′与柱透镜的横向通光口径D之比来定义系统的横向放大率。当使用柱面镜补偿还原光束时，只考虑照射在光栅上的光斑关于y轴对称，可以根据图5的几何关系导出一定距离后衍射光斑的横向尺寸。

⑦为研究生长素类似物2，4-D对某植物插条生根的影响，一实验小组按表1进行了实验。该小组的实验结果见图1。

通过以下几何关系可以得出结果：

图5 物光再现示意图

(16)

(17)

(18)

图6 衍射光斑尺寸

3 实验验证

为了验证理论的可行性，本节通过对光栅的周期、衍射效率，以及放大倍率进行实验分析。图1显示了制备对称变间距光栅的实验示意图，图中选择波长为532 nm的激光作为光源，激光光束经过扩束器扩束后，再经过孔径光阑并控制直径为1 cm，之后激光光束经过两片半波片和偏振分光棱镜在光束叠加区域形成干涉。曝光时，在光束叠加的区域放置柱面柔性材料使光栅成形。其中半夹角α设置为15°，R分别设置为12，24，35，50 mm。

当极细的光束入射光栅时，入射上区域可以近似看成平面光栅。通过公式(1)可以得出：在衍射角、入射角以及波长被确定后，就可以得出每个点所在周期。将光栅固定在旋转台上使用直径2 mm左右的532 nm的激光在光栅上约-10～10 mm的区域移动照射，通过测量照射点最高衍射效率对应的入射角和衍射角，得出光栅的周期。如图7，光栅周期分布规律与公式基本吻合。

图7 不同半径对应的周期拟合曲线

选取半径R为24 mm的光栅，将光栅完全展平后，测得其有效直径约为12 mm，有效面积约为113 mm2。当l为0 mm(光栅中心点)和5 mm(距离中心点右侧5 mm处)时，其对应的理论周期为1 027.7 nm和1 050.5 nm。将实验制备好的光栅样品用液氮迅速冷却，打开样品基板，用乙醇浸泡12 h，待液晶完全溶解后烘干。我们在光栅表面选取两个点验证光栅的周期并通过原子力显微镜(AFM)测量光栅周期。如图8所示，周期测量值和理论值吻合得比较好。

图9 衍射效率与半径R1、R的关系。

表1 前焦点坐标位置

根据给出的前焦点将光栅放置在合理位置给出实际效果图，接收屏在光栅后方Z=120 mm处，通光口径D=3 mm，分别使用焦距f为100 mm和450 mm的柱透镜，实验光路图如图5，效果如图10所示。

图10 实验效果图

图10中(a0)、(b0)、(c0)、(d0)、(e0)为原始图像，(a1)、(b1)、(c1)、(d1)、(e1)为半径R1=24 mm的光栅成像光斑，(a2)、(b2)、(c2)、(d2)、(e2)为半径R1=35 mm的光栅成像光斑，(a3)、(c3)、(e3)、(c3)、(d3)为半径R1=50 mm的光栅成像光斑，(a4)、(b4)、(c4)、(d4)、(e4)为R1为无限大时光栅成像光斑。当R1>R时，能起到扩大作用，当R1R时，随着R1的增大，像斑横向尺寸可以无限增大，当R1

4 结 论

该文章通过微元法推导了光栅具有连续变化的对称式周期。为了得到更好的成像质量，本文提出了使用柱透镜对光栅进行补偿以提高亮度均匀性。随后根据耦合波理论推导了不同曲率面型条件下的衍射效率，此外还推导了不同曲率面型下光栅的横向放大率和焦点位置。实验中，本文测得的周期分布与理论吻合得较好，并且曲面柔性光栅具有较高的衍射效率，中心衍射效率约为88%。最后验证了柱透镜的焦距以及证明了灵活控制光栅衍射视场场大小的可行性。