韩婧

1问题提出

“弧度制”在三角形的发展史中具有重要的历史地位，前接角度制，后承三角公式，内含丰富的思想方法.同时，弧度制也是高中数学中一个相对较难理解的概念.现行不同版本的高中数学教科书在向学生介绍弧度制概念时，都是直接抛出的，并且对于弧度制中有关公式仅呈现相关结论内容，将数学知识的发生、发展和演变过程抹去，导致很多学生学习了角度制后，对为什么还要学习弧度制感到不是很理解，不清楚弧度制是如何发生发展的，对弧度制存在知其然，但不知其所以然的状况.在实际教学过程中，如若教师再刻板的执行数学教科书上的安排，学生便感到更加索然无味，常常会有“弧度，弧度，越学越糊涂”的感觉.

数学史家克莱因（M.Kline，1908-1992）认为：“历史上数学家所遇到的困难，这是学生也会遇到的学习障碍，因而数学史是教学的指南.”任何一门学科的教学，都离不开该学科的历史，数学亦是如此.通过数学史的渗透，带领学生像数学家一般亲历数学知识的发现过程，领悟和掌握隐藏在知识形成过程中的思想方法，点燃学生对数学学习的热情，提升学习数学的能力.为此本文从数学史视角出发对弧度制概念的教学内容进行重新整合和设计，希望对现有的数学教学提供有益的借鉴.

2教学分析

依据数学史料不难看出，弧度制和角度制的形成过程十分相似，二者的共同点都是通过圆周等分得到单位弧长，进而在此基础上定义单位角的大小，不同点在于二者划分的方式不一样，角度制是以度作为单位将整个圆周划分成360个等份，而弧度制是以半径长为度量单位将整个圆周划分成2π个等份.根据这一特征，笔者制定了如下的教学目标和教学重难点：

2.1教学目标

知识与技能：了解弧度制概念的产生，明确1弧度角的含义;把握角度制、弧度制之间的换算公式和弧度制下的扇形面积以及弧长公式;理解在弧度制下弧与角之间可以建立一种一一对应的关系;

过程与方法：亲历探索过程，认识到弧度制和角度制都可以作为度量角的制度，二者尽管单位不同，但是相互联系、辩证统一的，并进一步领会弧度制定义的合理性与优越性;

情感、态度与价值观：通过展示弧度制的发展史，让学生充分体会数学家的聪明才智，提升学习数学的兴趣.

2.2教学重难点

教学重点：弧度制的概念以及角度与弧度的互化换算;

教学难点：弧度作为单位的合理性.

3教学过程

3.1温故知新：复习角度制，感悟对应关系

问题1在平面几何中研究角的度量，当时是用“度”做单位来度量角的，1°的角是怎样定义的？最早的人们是怎样定义1°的角？

历史介绍 角度制是由古巴比伦人在公元前300年左右最先提出的.他们将整个圆的周长平均分成360个小份，把与其中每一小份相对应的圆心角称为1度.在弧和角建立了一一对应关系后，把与每一小份相对应的圆心角称为1度角，这便出现了角的度量.因为那时并未产生10进制，于是他们便采用60进制的计数系统，所以1度还可以再分为60分，1分还能再分为60秒.

设计意图 与现今理解有所出入的是，历史上，人们采用“度”、“分”、“秒”最先是来作为刻画圆弧的长度单位，在圆心角和圆弧之间建立起一一对应关系后，才將它们作为度量角的单位.换而言之，从历史的角度看，人们是先通过对圆弧长的度量然后才度量角的.然而，“度”、“分”、“秒”在学生的认知中就是作为度量角的单位，并不清晰圆心角与圆弧之间存有关系.所以在弧度制的教学过程中，教师需要先打破学生固有的思维定势，让其认识到角和弧二者存在一一对应的关系.换而言之，弧和角是同构的，学生正确认识弧及度量单位是进一步理解角及其度量制的一个非常重要的环节.

3.2概念引入：反思角度制，产生认知冲突

问题2 请说出等式sin30°=1/2中“30”和“1/2”的进位制和度量单位各是多少？在同一式子中出现两个不同的进位制和度量单位是不是很麻烦？纵观历史可以发现，许多杰出的数学家为实现进位制和度量单位的统一都进行了探索，认真思考一下他们会怎样做？

设计意图 学生都知道在等式sin30°=1/2中30的度量单位为度，采用的是60进制，1/2的度量单位为长度单位，采用的是10进制，在同一式子中出现了进位制和度量单位不统一的问题.纵观历史发展，实现弧长与半径统一的思想由开始萌芽到后来形成，经历的时间长达数千年，故问题2的设计意图是为了点燃学生思索问题的热情，思索怎样统一度量单位和进位制.

3.3概念形成：在对比中划分圆周长，加深理解

问题3 问题1中，我们将圆的周长划分360个等份所成的弧叫作1度弧，1度弧所对的角称为1度角，记作“1°”.现依据1°的定义，整个圆周便是360度的弧，即圆的周长等于360度，然而1度又等于60分，你能根据上述分析，计算出半径r等于多少分吗？

设计意图 这实际上是阿耶波多的思想，具体来说，阿耶波多的正弦表设计按60进制，即整个圆周长是2πr=360°=21600′，若取π的值为3.1416，根据式子2πr=360°=21600′，可以计算出半径r的值约等于3237.74分（保留两位小数）.在问题1中，通过对角度制的历史介绍，我们了解到原先度、分、秒作为度量单位是用来度量圆弧的，之后才用来度量角的.此时学生在头脑中已意识到圆弧的度量单位和半径的度量单位从本质上来看是没有差别的，然而在原有认知中，度、分和秒仅仅是作度量角的单位，由此引发认知冲突.

问题4 一个圆的周长不论有多么长，在角度制中我们总能将它平均分成360个小份.类比角度制中划分圆的周长的做法，在半径长为r的圆中，根据c=2πr，得到c/r=2π，如果以r为单位，是不是每一个圆周都可以平均划分为2π份？

设计意图 实际上，这是历史上著名数学家欧拉、阿耶波多的思想.公式c/r=2π表示如果把半径作为长度单位来度量圆的周长，那么圆的周长不论多长，都可以被分成2π个单位，这与角度制的做法是相同的，即圆的周长不管多长，都可以将其周长平均分成360个部分.假如说将圆的周长平均分成360份还存有一定的主观成分，那么把半径作为度量单位将圆的周长平均划分为2π个单位，就不是以人的意识为转移的客观规律，从理论视角上看，这可看作弧度制比角度制更加优越的一种合理诠释.此外，将半径作为度量单位，采用的是十进制，如果将它作为度量圆弧的单位，圆弧的度量单位即角的度量单位也就成了十进制，这样便实现了半径和圆弧的进位制和度量单位的统一.

3.4概念生成：巧用类比，定义1弧度角

类比角度制，定义1弧度角：在定义1度的角时，先把整个圆的周长平均分成360份，将其中一份弧所对的圆心角称为1度的角.类比定义1度角的方法，在定义1弧度角时，采用以半径长作为度量单位，把圆周的周长划分成2π等份，把与其中一小份相对应的圆心角叫作1弧度的角，它的单位是“rad”，读作“弧度”.我们将这种用“弧度”作为单位来度量角的制度称为弧度制.此时每一小份弧的长都等于半径的长.如图1，也有定义“把长度等于半径长的弧所对的圆心角称作1弧度的角”.

设计意图 引导学生通过类比定义1中度量角的方法尝试对1弧度的角进行定义，使得角度制和弧度制能够很好的衔接.从本质上看，这也和课本上所给的1弧度的角的定义是殊途同归，实质无异.从历史演变的角度来看，与其说角度制和弧度制是度量角的制度，还不如说两者都是度量圆的周长的制度.弧度制引入之后，角的大小实际上就是一个实数，能够通过与其所对应的圆弧长来表示.

历史介绍 弧度的符号是由英文单词radian前三个字母简写得来的.1875年爱尔兰工程师汤姆森率先提出这个词，radian其实是由“radius”（半径）和“angle”（角）两个英文单词组合而成的.中国是于1935年在《数学名词》一书中将英文单词“radian”翻译成了“弪（jing）”，“弪”是由汉字“弧”和“径”组合而成的，表示圆心角的弧度数和弧长和半径相关，由两者一同决定.

设计意图 通过数学史的介绍，让学生对“弧度制”一词的构成有所了解，对圆弧、半径与圆心角之间的关系也有了更加深入的认识.

3.5概念深化：弧度与角度之间的互化换算

问题5 从“形”上看，圆心角有正角、负角和零角之分，相应的弧也有正弧、负弧和零弧之分，如-π，-2π.从“数”上来讲，圆心角和弧的度数有正数、负数和零之分.实际上圆心角和弧的正负只是代表“角的不同方向”.根据1弧度角的定义，将圆的半径设为r，弧长设为l，圆心角设为a，请问r，l和a这三者之间存在联系吗？

设计意图 根据1弧度角的定义，分析发现半径为r，弧长为l，还有弧度数的绝对值|a|三者存在联系，即为|a|=1/r中，对如何应用1弧度角的定义有所领会.

问题6 根据公式|a|=1/r可以分析得到：在角度制下的周角是360度，而在弧度制下却是2π弧度;在角度制下的平角是180度，而在弧度制下却是π弧度.你能发现角度制和弧度制二者之间的换算关系吗？

说明：今后在用弧度制表示角时，通常可略写单位符号“rad”或者“弧度”两个字，只要将这个角对应的弧度数写出即可，如a=-5表示a是-5rad（弧度）的角;a=7表示的是7rad（弧度）的角.此外，在弧度制下，角的集合与实数集R之间可以直接建立起一一对应的关系.如图2，每一个角都能在实数集R中找到与它对应的唯一一个实数（即这个角的弧度数）;与此同时，实数也能在任意角的集合中找到与它对应的唯一一个角（即弧度数等于这个实数的角）.

设计意图 “我们原先所熟悉的角度制适用于初等数学以及各种实用几何，而弧度制则适用于高等数学.这种度量角度的单位，为面积与弧长的计算以及微积分中有关三角函数的计算，带来了很大的方便.”通过弧度制和角度制比较，让学生更加深刻体会到引入弧度制的简捷性和优越性.

3.7课堂小结和作业

引导学生总结本节课的新知识点、研究思路，并体会其中所蕴含的数学思想方法;合理布置课后习题作业.

4教学设计反思

在整个教学设计中，以数学问题为载体，以思维发展为主线，将数学史融入到弧度制教学设计中，引导学生亲身经历弧度制概念的发生发展过程，厘清弧度制概念的来龙与去脉，领会其发展过程中所蕴含的数学思想和方法，充分感受到弧度制引入的必要性、合理性和优越性，从而实现对“弧度制”的不“糊涂”.具体地，有以下几点教学反思：

4.1从数学史中寻找问题，感悟数学概念的本原和发展

“问题是数学的心脏”，学生在学习数学过程中遇到的问题，往往是数学家们经过长期思考和探究后所克服的问题.数学发展史也是数学问题的解决史.因而，教师需善于从数学发展史寻找问题，并以学生现有的认知水平和知识储备为基础重新进行问题创设.在本案例概念引入环节，从学生习以为常的等式“sin30°=1/2”入手，由于30是60进制的度量单位和1/2是十进制的度量单位，为此出现了进位制的不统一，思考如何统一度量单位和进位制.通过这样的概念引入方式，可以更深切的反映弧度制引入的必要性，凸显了弧度制概念的生成.

4.2将数学史融入课堂，唤醒数学思维的生命活力

数学课堂不但要传授基本知识、技能，还要充分调动学生学习数学的热情，只有学生积极参与，特别是学生数学的思维参与，学生才能爱数学、想学数学、学好数学.本教学设计中，在回顾“1度角的定义”后，揭示最早人们定义“1度角”的方法，接着通过一系列的教学活动，与学生一同经历弧度制概念的建构过程，揭示弧度制统一度量单位的历史背景.这里并不是为了数学史而讲述数学史，而是让学生在探索弧度制的发现过程中，真实触摸其背后的文化内涵，体会学习数学带来的趣味和快乐.

4.3再现数学史的发展历程，揭示数学知识的来龙去脉

数学的概念史有其深刻的历史背景及来龙去脉，只有让学生真正了解这些背景及来龙去脉，学生才能真正理解学习这些数学概念的必要性和重要性.本案例中以数学教材为蓝本，结合数学史对弧度制概念的教学内容进行再创造.从学生熟知的角度制出發，引导学生思考如何实现等式“sin30°=1/2”的左右进位制的统一，以此激发学生思考问题的热情，为学习弧度制在形式上和思路上做好铺垫.再让学生循着大数学家的足迹进行探究，从印度的阿耶波多采用弧长表示半径的方法，到瑞士数学家欧拉采用半径长为单位度量圆周的方法，再到爱尔兰工程师汤姆首创“弧度”一词，在对弧度制概念一步一步还原的过程中，使学生真切地感受到数学发展的历史曲折性，了解数学家们在探索与创造过程中不同的思维和最初定义的原理，揭示弧度制概念的来龙、去脉，领会其中所蕴含的数学思想方法，更加深刻反映学习弧度制概念的必要性.