【摘 要】本文分析近年高考立体几何的考查情况，以2020年高考数学立体几何大题为例，阐述利用综合法解立体几何空间角问题的过程，以培养学生直观想象素养及推理论证能力，从而提升学生的数学核心素养，提高学生的思维能力。

【关键词】立体几何 综合法 学科素养 直观想象 推理能力

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2021）38-0129-04

近五年来，高考数学立体几何在全国卷的考查基本是一大题两小题，大题的位置基本上为第18或19题，属于中等偏易的题目。考查内容文理科略有不同，文理科第（1）问通常是相同的，主要是证明“线与线”或“线与面”或“面与面”的位置关系。第（2）问通常文理考查知识点不同，文科主要是求距离、面积或体积，理科基本是求二面角或线面角。在2020年13套高考数学试卷中，除了全国文科一、二、三卷没有考查空间几何，其他的都考，其中，全国理科一、三卷考查二面角，全国理科二卷、新高考一卷和二卷、北京卷、浙江卷考查线面角，天津卷考查二面角和线面角，江蘇卷考查线线角和二面角。高中教材引入了空间向量后，立体几何的常用解法通常有综合法和向量法两种。两种方法特点明显，向量法模式化，关键是算;综合法重思维，关键是想。高中教材刚引入空间向量时，对空间角问题，大多数教师还是比较重视这两种解法的讲解对比，但是随着时间的推移，师生的眼中都只有向量法了。以前全国普通高考数学参考答案，立体几何第（2）问空间角问题的解法通常给出综合法和向量法两种解法，但现在也只提供向量法，不再提供综合法了，综合法已经被严重弱化了。

一、立体几何主要考查素养分析

立体几何考查的数学核心素养主要有数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算。向量法涉及的主要素养是数学运算，综合法涉及的主要素养是直观想象和逻辑推理，尤其直观想象、空间想象能力，是综合法解立体几何必备的素养和能力。直观想象是指借助几何直观和空间想象，感知事物的形态与变化，利用空间形式，特别是图形，理解和解决数学问题的素养。

强调向量法的作用是立体几何改革的基本方向。但近年来因高考的导向，加之向量法模式化，思维量少，以固化的计算为主，在立体几何的解题教学中，教师更注重空间向量的解法，而忽略了综合法的教学，导致学生看到立体几何空间角问题时，产生了思维定式，直接用向量法，再也不想用综合法作答，这直接弱化了学生空间想象能力的培养，不利于学生直观想象素养的发展。

二、探索综合法对直观想象素养的培养

作为教研人员，笔者非常关注学科核心素养在教学中的培养问题，试图利用立体几何综合法解二面角和线面角，培养学生直观想象素养。下面主要以2020年立体几何空间角的考查为例，阐述利用立体几何综合法解题培养学生直观想象的方法。

（一）关注垂直关系，从概念想象作出空间角

求二面角或线面角的主要的思维方法是降维，将空间角转化为平面角。如何根据二面角、线面角的概念，找到垂直关系是关键。利用综合法寻找垂直关系，从而找出二面角、线面角的平面角是求解空间角的常用方法。

【例1】（2020年全国高考理科三卷19题）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE=ED1，BF=2FB1。

（1）证明：点C1在平面AEF内;

（2）若AB=2，AD=1，AA1=3，求二面角A-EF-A1的正弦值。

〖思路探索〗（2）由长方体的相关性质及已知线段可计算出各线段的长，由勾股定理可得∠AEF为直角，且A1E=A1F，取EF中点G，将AE平移到GH，则∠A1GH为二面角A-EF-A1的平面角，解△A1GH可得。

〖解答过程〗

（1）（略）

（2）由已知可得A1E=A1F=[5]，AE=[2] ，AF=2[2]，EF=[6]。

因为AF2=EF2+AE2，所以∠AEF=90°。

取EF中点G，连接A1G，则A1G⊥EF。

过G作GH∥AE交于H，则HG⊥EF，

所以∠A1GH为二面角A-EF-A1的平面角。

在△A1GH中，GH=[12]AE=[22]，A1G=[5-64]=[142]。

在△AA1F和△A1AH中，由余弦定理得

[5=9+8-2×3×22cos∠A1AFA1H2=9+2-2×3×2cos∠A1AF]

解得A1H=[5]

在△A1GH中，cos∠A1GH=[12+144-52×22×142=-77]，

所以sin∠A1GH=[427]。

〖直观想象〗题目给出了线段的长度，要引导学生直观想象到可由线段数量关系入手，寻找二面角中相关三角形的关系。由数量关系得到二面角所在的两个面、一个直角三角形、一个等腰三角形，由等腰三角形三线合一及直角三角形作出二面角的平面角。但二面角的平面角所在的三角形不是直角三角形，三边中的A1H的计算有一定难度，通过△AA1F和△A1AH中的公共边角，由余弦定理联立方程可解得。本解法使学生从“数”想象到“形”，再从“形”回到“数”，增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识。

【例2】（2020年全国高考理科一卷18题）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=[66DO]。

（1）证明：PA⊥平面PBC;

（2）求二面角B-PC-E的余弦值。

〖思路探索〗（2）由（1）PA⊥平面PBC，所求二面角B-PC-E的一个面为（1）中的平面PBC。设AE交BC于F，在三角形APE中将PA平移到FG交PE于G，则FG⊥平面PBC，易知PF⊥BC。过F作FH⊥PC于H，连接GH，则∠GHF为二面角B-PC-E的平面角。依据相似、对称性、三角形面积等知识可算得△GHF的边长。

〖解答过程〗

（1）（略）

（2）设AE交BC于F，过F作FG∥AP交PE于G，则FG⊥平面PBC;过F作FH⊥PC于H，连接GH，则∠GHF为二面角B-PC-E的平面角。

设AE=AD=2，则DO=[3]，AB=[3]，PO=[66DO=22]，AP=BP=EP=[62]。

又AF=[32AB=32]，EF=AE-AF=[12]，故FG=[EF·APAE=12×622=68]。

在Rt△PFC中，

FH=[CF·PFPC=32×3262=64]，

HG=[FH2+FG]=[616+664]=[308]，

所以cos∠GHF=[FHHG=64308=255]。

〖直观想象〗由第（1）问的线面垂直结果，引导学生直观想象到垂线为二面角中的一个面的垂线，将垂线平移到二面角内，根据三垂线定理易作出二面角的平面角。图形稍复杂，关键是要通过空间图形找出垂直关系，并转化到三角形中以求解。本题主要考查学生空间想象能力、数学运算能力，能很好地培养学生直观想象素养。

【例3】（2020年高考浙江卷19题）如图，三棱台DEF-ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC。

（1）证明：EF⊥DB;

（2）求DF与面DBC所成角的正弦值。

〖思路探索〗（1）因为EF⊥ BC，只需证BC⊥ DB，由面面垂直性质，作DH⊥  AC交AC于H，连接BH，则DH⊥平面ABC，即有DH⊥ BC。根据勾股定理可证得BC⊥ BH，所以BC⊥平面BHD，BC⊥ DB，即证得EF⊥ BC。

（2）因为DF∥CH，所以DF与平面DBC所成角即为CH与平面DBC所成角。由（1）知平面DBC⊥平面DBH，作HG⊥ BD于G，连接CG，则∠HCG即为所求角，解三角形可求出与平面DBC所成角的正弦值。

〖解答過程〗

（1）作DH⊥ AC交AC于H，连接BH，则DH⊥平面ABC，故有DH⊥ BC。

因为∠     ACB=∠     ACD=45°，所以CD=[2CH]=2CH[⇒]CH=[2BC]。

在△CBH中，BH  2=CH  2+BC 2-2CH·BCcos45°=BC 2，有BH  2+BC 2=CH  2，所以BH  ⊥ BC。

又BH  ⊥ DH=H，所以BC  ⊥平面BDH，从而BC  ⊥ BD。

而EF∥BC，所以EF  ⊥ DB。

（2）因为DF∥CH，所以DF与平面DBC所成角即为CH与平面DBC所成角。

由（1）可知，BC  ⊥平面BHD，从而平面BCD  ⊥ 平面BHD，平面BCD⊥平面BHD=BD。

作HG⊥BD于G，连接CG，则HG⊥平面BCD，即CH在平面DBC内的射影为CG，∠HCG即为CH与面DBC所成的角。

设BC=1，则CH=[2]，BH=1，DH=[2]，BD=[3]。

在Rt△HGC中，HG =[BH·DHBD=2·13=63]，所以sin∠ HCG=[HGCH=632=33]。

故DF与平面DBC所成角的正弦值为[33]。

〖直观想象〗本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成的角的求法。由（1）的解答过程得到面面垂直，从而作出线面角，考查学生的直观想象能力和数学运算能力;通过面面垂直、线面垂直和线线垂直的转化，培养学生的直观想象素养。

【小结】直观想象包括借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律，利用图形描述、分析数学问题。作出空间角的平面角是综合法解决空间角问题的首选，综合法求二面角或线面角的基本步骤为：一作二证三算。关键是作和证，二者是思维能力的体现，考查空间想象能力，体现直观想象素养，作与证基本是一体的。“算”考查的是数学运算，通常解法是化归为解三角形。

（二）关注点面距离，想象转化求解空间角

当空间角的平面角不易作出或过点作面的垂线不易找到垂足的位置时，可想象到所求空间角所在的直角三角形，通过等体积法或等面积法求出所在直角三角形的边。

【例4】（2020年高考北京卷16题）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BB1的中点。

（1）求证：BC1∥平面AD1E;

（2）求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值。

〖思路探索〗（2）直线AA1与平面AD1E的交点为A，只要求出A1到平面AD1E的距离d即可，由等体积[VA1-AED1=][VD1-A1AE]可求。

〖解答过程〗（1）（略）

（2）设正方体边长为2，点A1到平面AD1E的距离d，则AD1=[22]，AE=[5]，D1E=3。

cos∠  EAD1=[8+5-92×22×5=1010]，sin ∠  EAD1=[31010];

[SVAED1=12×22×5×31010=3]。

由[VA1-AED1=][VD1-A1AE]得

[13SVAED1·d=13SVA1AE·D1A1]，

3d=[12×2×2×2=4]，

d=[43]。

所以直线AA1与平面AD1E所成角[α]的正弦值为sin[α=][dAA1=432=23]。

〖直观想象〗本题线面角的平面角不容易作出，但只要“心中有角”，直观想象到由斜线段和垂线段及斜线段的射影组成的直角三角形，即可求出线面角。要想求直线AA1与平面AD1E所成角，只需求A1点到平面AD1E的距离d。本题主要考查了直观想象、空间想象能力及运算能力。

【例5】（2020年新高考全国1卷20题）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD。设平面PAD与平面PBC的交线为l。

（1）证明：l⊥平面PDC;

（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值。

〖思路探索〗（2）如图，Q是l上的动点，平面QCD是动面，PB与平面QCD的交点，即PB与QC的交点O，它是动点，P点到平面QCD的距离也是变动的。只需设PQ=m，以上距离都能用m表示。PB与平面QCD所成角的正弦值是关于m的函数，再用不等式求出最大值即可。

〖解答过程〗

（1）（略）

（2）设PQ=m，P到平面QCD的距离为h，则PD=AD=CD=1，PC=[2]，QC=[m2+2]，QD=[m2+1];

由VP-QCD=VC-PDQ得

[13SΔQCD·h=13SΔPDQ·CD]，

[12QD·CD·h=12QP·PD·CD]，

[m2+1h=m]，

h=[mm2+1];

设PB∩QC=O，因为PQ∥BC，

所以[PO3-PO=PQBC=m]，PO=[3mm+1];

设PB与平面QCD所成角为[α]，则

sin[α]=[hPO=3（m+1）3m2+1=33m2+2m+1m2+1=][331+2m+1m≤]

[331+22=63]，

所以PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为[63]。

〖直观想象〗该题考查线面平行的判定和性质定理，线面垂直的判定和性质定理。直观想象到面与面的交线，由动变静，找出组成线面角的斜线段及垂线段，并转化为利用基本不等式求函数的最值问题。

【小结】直观想象还包括建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。当直接作出空间角有困难时，可直观想象空间角所在的直角三角形，并转化为求三角形的边，通常的方法有等体积法和等面积法。遇到动态问题可构造函数模型再解决。

三、重视立体几何综合解法，发展学生直观想象素养

从2020年5份高考试卷中的立体几何大题对空间角的考查情况可以看出，立体几何空间角问题除用向量法外，都可以用综合法作答。但学生更喜欢用向量法，因为向量法几乎是程序化的操作，思维量比较少，导致学生不愿意花时间去审题，不想用综合法去分析问题。久而久之，立体几何对学生的应有培养功能得不到充分发挥，从而使学生的空间想象能力、推理论证能力得不到提升。从这些年的情况来看，学生的数学学科素养呈现下降趋势，这有违引入空间向量的初衷。笔者认为，在教学中要把握能力培养这个大方向，对立体几何教学综合法和向量法不能有所偏废，宜走中庸之道，因题而异，灵活选择解题方法。在教学中通过典型例题引导学生对比辨析，强化学生运用综合法解决立体几何问题的能力，让学生在观察、探索、发现、解决问题的过程中，提高学生的视图能力、作图能力、空间想象能力和逻辑推理能力，发展学生的直观想象素养。

立体几何空间角是历年高考的必考点，要求学生掌握空间几何体中线面平行、垂直的判断与性质等必备知识，具有空间想象能力、运算求解能力、逻辑推理能力等关键能力。必备知识与关键能力一样，是学科素养的基础支撑。高考强调学科素养的导向作用，因此在高考中要重视几何综合法的考查，使之更好地培养学生的直观想象素养和逻辑推理素养。笔者建议在立体几何教学中，要让学生走出“向量万能”的误区，重视综合法的讲解，让向量法与综合法成为立体几何解题的两把利器。

【参考文献】

[1]章建跃.立体几何教学中的几个问题[J].中学数学月刊，2015（10）.

[2]教育部考试中心.中国高考评价体系[M].北京：人民教育出版社，2019.

[3]教育部考试中心.中国高考评价体系说明[M].北京：人民教育出版社，2019.

[4]曹宝龙.基于素养发展的课堂教学认知目标体系的构建、实施与评价[J].课程·教材·教法，2019（7）.

注：本文系广西教育科学规划2021年度课题“核心素养导向下的数学教师专业成长路径研究”（编号：2021C714）的阶段性研究成果之一。

【作者简介】林胜德（1968— ），男，广西合浦人，大学本科学历，高级教师，现就职于广西北海市教育教学科学研究所，主要从事高中数学教育教学方法的研究。

（責编 李 唐）