李明，游有鹏，杨雪峰

(南京航空航天大学 机电学院，江苏 南京 210016)

0 引言

为实现数控装备的平稳控制，运动加减速控制得到广泛而持久的重视，国内外学者相继提出了多种加减速规划算法。梯形加减速因其实现简单被最早提出和广泛使用，但存在刚性冲击，只能用于运动平稳性要求不高的场合[1]；指数加减速离散形式适合于递推计算，但精度不足，且加减速起点冲击较大；ERKORKMAZ K提出了S形加减速规划方法[2]，可以实现加速度连续但存在柔性冲击。穆海华等[3]提出了用于点位控制的初末速度为0的S形加减速控制方法；刘志峰和杨亮亮等[4-5]使用牛顿迭代法和智能算法求解各阶段时间，OS ORNIORIOS R A等[6-7]提出用于离散系统的多项式加减速控制方法。郭新贵等[8]基于三角函数提出了正弦加减速，其各阶加速度均连续，拥有最优越的加减速柔度，但是正弦函数计算复杂，不易在资源有限的嵌入式系统中满足实时计算要求；李加文等[9]提出采用函数逼近的方法改造三角函数加减速，加快了计算速度，但是逼近函数导致了加加速度不连续，不适合高速高精场合。近年来，关于加加速度连续的加减速研究也在持续进行。李志杰等[10]提出了加加速度连续的S形加减速算法；翁祖昊等[11]提出了基于五次多项式的变Jmax加减速算法；赵翔宇等[12]提出了三次S曲线加减速算法。但是这些都不可避免地带来了巨大计算量，不利于实际应用。

在三角函数加减速优良特性的启发下，本文设计出一种采用多项式替代三角函数构造加加速度方程，并结合S加减速的特点给出七段式的完整加减速规划，最后通过仿真验证本方法运动控制的平滑性。

1 连续的加加速度方程

为了得到平稳而高效的加减速规划，本文加减速设计方案从以下几个方面考虑：位移、速度、加速度满足边界条件；位移、速度、加速度、加加速度曲线形状理想，没有冲击；加减速时间尽可能短；算法应尽量简洁，复杂度可以满足实时性要求。

因此，本节首先利用多项式逼近正弦函数，构造连续可导的加加速度方程，在此基础上通过积分得到各物理量方程，从而得到运动平稳而计算相对简单的完整加减速算法。

1.1 三角函数的多项式逼近

三角函数加减速拥有优越的柔性度，但是计算复杂，不易在算力有限的嵌入式系统中满足实时计算要求。其加加速度函数如下

(1)

其中：T为加速度加速时间，函数在t=T/2处取得最大加加速度Jmax。

令

(2)

代入式(2)得到

j(x)=-Jmaxsin(πx)

(3)

对f(x)=sin(πx)进行切比雪夫多项式逼近，阶数取4，得到

(4)

为满足边界条件，将系数圆整后得到如下形式：

(5)

将式(2)代入可以得到

(6)

1.2 连续的加加速度方程

为了使加加速度曲线具有对称性，将式(6)关于t=T/2对称后得到

(7)

将式(6)与式(7)相加后得到对称形式的加加速度方程如下：

(8)

其中k为待定系数，满足在区间[0,T]内j(t)≤Jmax，并在t=T/2处取得最大值Jmax，可以解得系数|k|=4Jmax。由多项式表示的加加速度方程具有二阶连续可导的特点，计算上又比正弦函数更加简单。时间t满足t=iTs，i∈(1,2,…,n)，Ts为控制周期，n为T/Ts的最大整数。

2 加加速度连续的加减速算法

类似S形加减速的七段控制特点，本文加加速度方程j(t)如下：

(9)

其中k1、k3、k5、k7为加加速度方程系数，|k1|=|k3|=|k5|=|k7|=4·Jmax。积分后得到式(10)-式(12)。

a(t)=

(10)

(11)

(12)

其中：Vs、Ve分别为初、末速度；A、D分别为所达到的最大加速度和最大减速度；Vc为匀速运动时的速度，在数控系统中一般等于最大进给速度；T1-T7分别代表加减速过程中各阶段时间。

连续加加速度的加减速规划的各阶段曲线如图1所示。其中，前3个阶段为加速阶段，第1阶段加加速度为正值，此时加速度在增加，系统处于正向加速状态；第2阶段，加加速度为0，加速度不变，系统处于匀加速运动状态；第3阶段，加加速度为负值，此时加速度在减小，系统处于减加速状态。其次是匀速阶段，此时系统按照速度Vc匀速运动。最后是减速的3个阶段t4-t7，其与加速过程的前3个阶段正好相反。

图1 加加速度连续的加减速规划曲线

3 仿真分析

根据本文加减速规划进行运动控制时，还需要根据实际情况进行控制计算，即基于给定的系统参数和初末速度以及运动行程，求解本加减速规划的各个阶段时间T1-T7。本文设计了如下加减速控制仿真实验，最大加加速度Jmax= 50000mm/s3，最大允许加速度为2000mm/s2,进给速度150mm/s，在给定初速度Vs、末速度Ve以及路程S的情况下，实际运动过程的5种情况如下：

1) 能够达到末速度Ve且可达到最大进给速度F、最大加速度Amax；

2) 能够达到末速度Ve、最大加速度Amax，但没有达到最大进给速度F；

3) 能够达到末速度Ve，但没有达到最大加速度Amax和最大进给速度F；

4) 刚好达到末速度Ve，末速度即为最大速度Vmax；

仿真结果见表1。

表1 5种情况仿真实验数据

图2 情况1的速度曲线

图3 情况2的速度曲线

图4 情况3的速度曲线

图5 情况4的速度曲线

图6 情况5的速度曲线

为了比较本文加减速和正弦加减速的性能优劣，设计了对比试验如下，系数参数：最大加加速度Jmax=50000mm/s3，最大允许加速度为2000mm/s2,进给速度150mm/s。仿真曲线如图7所示。

图7 本文加减速与正弦加减速曲线对比

从图7可以看出，在由同一初速度加速到进给速度的过程中，本文加减速和正弦加减速两者均可获得加加速度连续的平滑加减速，而本文方法加速到给定速度所需的加速时间更短，具有更高的加减速效率。另外，在计算机领域，正弦函数的计算复杂度高于O(n10)，远高于本文加减速位移方程的最大复杂度O(n5)，因而在实际计算中，后者更适用于实时性要求较高的数控系统。

4 结语

本文在切比雪夫多项式的基础上，通过修正处理得到了曲线对称且连续的加加速度方程；通过积分得到了加速度、速度、位移方程，进而得到七段式的新型加减速算法。仿真结果表明，在不同初始参数下，本加减速都可以实现平滑控制。本文算法与正弦加减速的对比实验表明，两者均可获得加加速度连续的平滑加减速，而本加减速效率更高，且计算大幅简化。