张肖平，于金飞，崔英英，于金鹏

(1. 青岛大学 自动化学院，山东 青岛 266071；2. 淄博市技师学院，山东 淄博 255025； 3. 山东劳动职业技术学院，山东 济南 250022)

0 引言

永磁同步电动机(PMSM)凭借其体积小、功率密度高、动态性能好、可靠性强等优点在工业领域得到了广泛应用[1]。然而PMSM多变量、强耦合、易受外部负载扰动影响等特性会影响控制性能，因此如何克服上述问题已经成为了研究热点。随着相关研究者对PMSM的深入研究，许多控制方法被提出并得到了快速发展。例如反步控制、滑模变结构控制、模糊控制、自适应控制和哈密顿控制等[2-6]。

文献[7]提出了一种针对PMSM的有限时间动态面控制方法。有限时间控制[8]是一种简单有效的控制方法，与渐近控制方法相比，不仅可以提高系统的响应速度，还能够使跟踪误差在有限时间内收敛到原点的一个充分小邻域内，从而提高控制精度。在实际应用中，当电动机在轻载条件下长期工作时，电动机会产生大量的铁芯损耗[9]，从而严重影响控制性能。此外，传统控制策略忽略了输入饱和[10]问题，会导致输入电压过高，从而影响控制系统的控制性能和稳定性。

本文针对考虑铁损的PMSM中存在的饱和问题，提出了一种有限时间自适应模糊动态面控制方法。首先采用有限时间控制技术提高了系统的收敛速度，缩短了系统的响应时间，减少了跟踪误差；然后引入动态面技术，有效解决了传统反步法中存在的计算复杂性问题；最后利用一个光滑的分段函数g(v)来逼近饱和函数，解决输入饱和问题，使电动机更加安全稳定。

1 同步电动机的数学模型

考虑带有铁损的同步电动机动态数学模型[9]如下:

为了简化上述数学模型，将变量重新定义如下：

其中：id、iq代表d-q轴电流；ud、uq表示d-q轴电压；iod和ioq分别代表d-q轴励磁电流分量。其余参数的定义在文献[9]中有具体说明。考虑铁损的PMSM动态数学模型可表示为：

考虑同步电动机输入饱和问题如下：umin≤v≤umax，其中umin和umax分别代表已知定子输入电压的最小值和最大值，即：

其中：umax>0和umin<0都为输入约束限制的未知常数；v为实际的输入信号。利用分段光滑函数g(v)来近似约束函数，定义为：

其中：u=sat(v)=g(v)+d(v)，d(v)是一个有界函数[10],表示为|d(v)|=|sat(v)-g(v)|≤D。结合中值定理可知，存在一个常数μ(0<μ<1)，有：

g(v)=g(v0)+gvμ(v-v0)

其中gvμ=((∂g(v))/(∂v))|v=vμ，vμ=μv+(1-μ)v0。选取v0=0，则以上函数可以写为：g(v)=gvμv，因此u=gvμv+d(v)。故有：

其中存在一个未知常数gm，使得0≤gm≤gvμd≤1并且0≤gm≤gvμq≤1。

引理2[2]：设f(Z)是定义在紧集Ωz上的连续函数，对任意的ε>0，存在一个模糊逻辑系统WTS(Z)使得f(Z)=WTS(Z)+δ(Z)，其中Z∈Ωz，δ(Z)为逼近误差且|δ(Z)|≤ε。

2 有限时间动态面控制器设计

结合反步法构造永磁同步电动机的有限时间动态面控制器。定义跟踪误差变量为：

定义正参数εj，lj(j=2,3,4,6)，由引理2及杨氏不等式可知：

(1)

(2)

(3)

(4)

实际系统中，负载转矩TL是有界的，其范围为|TL|≤d，其中d>0。

(5)

选取虚拟控制函数

应用引理2和式(1)并将α2代入式(5)可得：

(6)

(7)

其中：增益k3>0；常数s3>0。则应用引理2和式(1)并将α3代入式(7)可得：

(8)

(9)

d1z4uq=d1z4g(vq)+d1z4d(vq)

(10)

其中常数Dq>0。

应用引理2和式(1)，结合vq、式(9)和式(10)可得：

(11)

(12)

令f5(Z5)=-c1x5-c2x2x3，Z5=[x2,x3,x5]T。

(13)

(14)

由输入饱和可知，ud=sat(vd)=g(vd)+d(vd)。则有：

d2z6ud=d2z6g(vd)+d2z6d(vd)

(15)

(16)

由定义yi=αid-αi,i=1,2,3,5，则有：

(17)

(18)

构建自适应律为：

(19)

3 稳定性证明

将式(19)代入式(18)可得：

(20)

通过文献[12]可知，|Bi|有一个最大值BiM在紧集|Ωi|,i=1,2,3,4上，其中|Bi|≤BiM，则有：

其中常数Γ>0。由杨氏不等式得：

由文献[13]可推导出以下不等式：

将不等式代入式(20)可得：

(21)

其中：a0=min{2(k1-1),2(k2-1),2(k3-1),

2(gmk4-1),2(k5-1),2(gmk6-1),2(e1-1),2(e2-1),2(e3-1),2(e5-1),m1}；

b0=min{2,2s1,2s2,2s3,2gms4,2s5,2gms6,m1}；

由式(21)可得：

(22)

4 仿真结果分析

仿真结果如图1-图4所示，其中图1表示角位置跟踪信号x1以及相应的角位置期望信号x1d；图2表示跟踪误差；图3表示饱和环节之前的d轴电压vd和饱和环节之后的d轴电压ud；图4表示饱和环节之前的q轴电压vq和饱和环节之后的q轴电压uq。由仿真结果可以看出，两种方法可以把电压限制在安全范围内，保证了电动机的控制性能，然而本文提出的有限时间动态面控制方法相比动态面控制方法提高了系统的响应速度和收敛速度，减少了跟踪误差。

图1 角位置跟踪信号及期望信号

图2 跟踪误差

图3 饱和环节前后d轴电压

图4 饱和环节前后q轴电压

5 结语

本文针对具有铁损和输入饱和问题的PMSM驱动系统，以自适应模糊反步法为基础，结合有限时间技术和动态面技术构建了一种PMSM位置跟踪控制器。与动态面控制方法相比，本文引入有限时间控制技术不仅提高了系统的响应和收敛速度，还减少了跟踪误差。仿真实验结果表明，本文提出的控制策略实现了对PMSM快速有效的位置跟踪，验证了控制方法的可行性。