杜萌田

摘要：数感是人对数与运算的一般性理解，这种理解可以帮助学生用灵活的方法做出数学判断和为解决复杂的问题选择有用的策略。数感也可以提升学生对于数字（数量）的敏感及鉴别能力。这对学生以后的学习很有帮助。

关键词：数感;“数学化”思考;数学素养

数感是我们既熟悉又陌生的一个概念，目前人們对这一概念的认识是多元的。教育部《义务教育数学课程标准（2011版）》中关于数感的表述是：“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”

一、小学生数感能力培养的意义

（一）有助于学生“数学化”思考

数感是一种主动地、自觉地或自动化地理解和运用数与数量关系的态度和意识，是作为主体的人对数及数量关系的感觉、知觉，也包括人对感觉、知觉到的信息的加工和处理，既有“感”也有“悟”。建立数感可以理解为会“数学化”思考，有助于学生理解现实生活中“数”的意义，有效地进行计算等数学活动，理解并会表达具体情境中的数量关系。可以说，数感是将数学与现实问题建立联系的桥梁，在数学的学习中非常重要。

（二）有助于学生解决问题能力的提升

解决问题的能力是小学生的重要能力之一，具体的情境有助于学生结合生活经验思考并寻找解决问题的策略与途径。而具备一定的数感，更易从现实情境中找到问题，从复杂情境中提出问题，并主动与一定的数学知识和技能建立联系，找到数学模型，合理解决问题。所以，数感的培养有助于学生解决问题能力的提升。

（三）有助于学生数学素养的提升

数学素养是公民必备的素养之一。数学素养不只是用计算能力的高低和解决书本问题能力的大小来衡量的，学生学会“数学化”思考问题，具有解决实际问题的数学敏感性，才是具备数学素养的重要标志。数感的培养能弥补教学中只重视知识技能训练而忽视能力培养的不足，还有利于学生创新精神和实践能力的培养，有助于学生对数学知识的自我构建，实现关键能力的提升。

二、基础——在数概念的学习中培养数感

数感的建立不是一蹴而就的，需要在学习的过程中逐步体验和建立起来。数概念的学习是培养数感的有效途径，但数概念抽象难懂，其理解和掌握需要一个过程，在这个过程中，学生需要经历有关的情境和实例，在现实背景下感受和体验，更具体深刻地把握数概念、建立数感。

（一）数出数感

“各人眼中的20”是沪教版一年级第二学期“整理与提高”中的教学内容，通过这个内容的学习，学生学会一组一组地计数，把20分拆成相同数连加的形式，并在计数中丰富对数的认识，发展数感，同时为乘法的学习做准备。

各人眼中的20是怎样的？学生应该按照自己的理解去数数，并通过交流沟通丰富对20的认识，完善认知，发展数感。教师的设计从认识“各人眼中的6”开始。小胖过生日的情境揭开了学习序幕。黑板上出示了6个蛋糕，教师要求小朋友数一数有几个，并提出用圈一圈的方式表示自己数数的方法。学生很快数出了蛋糕，并上台交流：第一个孩子数一个圈一个，数出了6个蛋糕，教师引导他说：“1个1份，圈了6份，共6个1，算式是1+1+1+1+1+1+1=6。”学生数后，教师肯定她这样圈一圈数一数，把自己的想法表达得特别清楚。于是，第二个孩子上台清晰表达：“2个1份，圈了3份，共3个2，算式是2+2+2=6。”后续上台的同学都能用这样的方法圈出一份、圈出同样的几份、得出共有几个几，并列出相同数连加的算式，加以清晰的表述：“3个1份，圈了2份，共2个3，算式是3+3=6。”“6个1份，只有1份，就是1个6。”

数蛋糕活动虽然看似简单，但其实实现了对数认识的突破。在数蛋糕的过程中，学生理解了几个一份、有几份、是几个几，并能用连加算式表达。结合看到的图、思考时画的圈，他们对6有了新的认识：6个1、3个2、2个3、1个6;还能清楚地表达不同含义，如6个1表示每份1个蛋糕，共6份;3个2表示每份2个蛋糕，共3份…… 在圈圈、数数、说说的过程中，学生完成了6的一组一组的建构，丰富了对6的认识，实现了数感的培养。

（二）读出数感

数学学习中的很多数学活动都能发展数学数感，除了数一数，读一读也是有效的活动之一。

例如，“几分之一”是沪教版三年级第二学期“分数的初步认识”单元（一）的第一个内容。对于三年级学生来说，分数是一个全新的概念，无论是意义还是读法、写法，都与整数完全不同。如何让学生认识分数？如何让学生在读数中体会其含义，完成对几分之一的建构？笔者这样设计：先出示6个苹果，要求分给2个小伙伴，问学生分的结果。学生借助生活经验，很容易得出各自苹果的数量，并理解分的结果可以每人不同，也可以每人相同，而结果相同的分法就叫平均分。接着，笔者将2个苹果分给2个小伙伴，问平均分的结果，学生很容易得出每人分得1个苹果。最后，笔者再将1块饼干平均分给2个小朋友，问每人分得多少饼干？学生有疑惑，但每人得到半块饼干他们都能理解。此时，教师追问：这半块饼干能不能用一个新的数来表示？个别学生说能用二分之一表示。“怎么写这个数，你能上黑板写一写吗？”笔者鼓励学生把这个数写出来。于是，有学生写了  ，也有学生写了   。到底哪个才是二分之一呢？笔者没有马上揭晓答案，而是组织大家进行了讨论。讨论后，学生大都认同第一种表示方法，认为这个写法表示出把1块饼干平均分成了2份，其中的1份就是半块。小部分学生认为第二种写法中的“2”就表示平均分成2份，“1”表示其中的1份，只不过是从上往下写而已。在学生充分讨论思考后，笔者告诉他们新的数叫分数，写分数的时候规定先写分数线（分数中的横线），再在分数线的下面写平均分的份数，在分数线的上面写其中的1份，并演示书写了   。这个分数读作“二分之一”。在中国，分数的读法、写法与分数表示的含义完全一致，所以在读    的时候， 就等于读出了它的含义：把一个整体平均分成2份，表示其中的1份。然后教师让学生读一读    ，边读边体会含义。后续，笔者继续引导学生探究，把一块蛋糕平均分成4份、8份……，学生用   ，   ……表示其中的1份。笔者让学生大声读出这些分数，在读的时候思考每个分数的含义。学生们边读、边想、边建构，读出了几分之一的内涵，读出了数感！

（三）分出数感

理解数的意义是数学教育的重要任务。在义务教育阶段，学生要学习整数、分数、小数、有理数等数的概念。这些概念本身是很抽象的，需要为学生提供充分的可感知的现实背景，并设计有意义的探究活动，学生才能真正理解数概念。比如，小数的产生是为了精准表达而不断细分的需要，学生理解细分的原因和过程，就能对小数有深刻的理解，就能有效发展数感。

笔者先引入“欣欣苗圃”的情境，让学生知道：苗圃中有待售的各种树苗，苗木的价格与长度有关，所以出售前需要测量长度。接着，笔者出示了一根桂花树苗（3分米），让学生猜猜长度，并提供了一把自制米尺，说可以用来测量小树苗的精确长度，米尺上只有0m刻度和1m刻度。看到米尺， 学生觉得无法用1米长的尺去测比1米短的小苗，此时，笔者微笑，让大家再想想。经过思维碰撞，学生有了灵感，说可以把1米平均分成10份，那样每一份就是1分米，以1分米为标准就能测出小苗长度了。按照这个方法，师生把1米平均分成了10份，再去测量小苗的长度，发现占了其中的3份。于是，学生用不同形式表达了小苗的长度。有的用3分米表示，因为把1米平均分成10份，每份是1分米，3个1分米就是3分米;也有的用      米表示，因为把1米平均分成10份，1份是它的十分之一，是       米，3份就是       米;还有的用0.3米表示，因为以米做单位的小数，小数点左边表示米，小数点右边第一位表示分米。经过讨论，大家一致认为，这棵小苗的长度既可以用整数表示，还可以用分数、小数表示，3分米=       米=0.3米。

此时，利用多媒体呈现小苗长高了，笔者又拿出一根稍长一些的小苗，用刚才的米尺测量长度，发现小苗的长度在0.5米（5分米）和0.6米（6分米）之间，但不能确定精确的长度。“怎样才能知道小苗的长度呢？”笔者引导学生思考并在学习单上尝试。学生很快找到了解决问题的方法：把0.5米至0.6米这段再平均分成10份，也就是把0.1米再平均分成10份，那就相当于把1米平均分成了100份，就能知道每份是1cm，就能测出小苗长度了。这时，笔者演示把0.5米至0.6米这段平均分成10份，再引导生想象1米平均分成100份，最后呈现平均分成100份的米尺，理解每份是       米，是1厘米，就是0.01米。这时再测小苗的长度，发现是5分米9厘米，能用0.59米表示了。在学生的惊喜中，笔者又提出新的挑战：“当小树苗超过0.59米，不到0.60米时，怎么表示长度？”学生思考后说可以继续细分，把每个0.01再平均分成10份，也就是把1米平均分成1000份，每份是1毫米，就是0.001米，这样就又能精准测量小树苗的长度了。此时，学生对小数的认识是深刻的：为了精确测得小树苗的长度，我们不断把1米进行细分，从0.1米到0.01米，再到0.001米，无论小苗的长度是多少，我们都能用小数精确表达它的长度。因为需要精准表达，所以我们就不断细分，也就产生了小数。在不断分出更小的度量单位的过程中，学生的数感得到培养。

三、巩固——在数的运算中培养数感

一直以来，“数的运算”都是小学数学中的重要内容。在这个内容的学习中，无论是对运算方法的沟通、判断，还是运算结果的估计等，都能有效培养数感。

（一）在不同运算的沟通中培养数感

例如，在沪教版五年级上学期的“小数的四则混合运算复习”中，笔者先是出示了这样一组口算题（如图1所示）：

学生运用运算性质和运算法则很快得出了口算结果（如图2所示）：

笔者引导学生观察计算结果，学生发现8.7÷0.1的结果与8.7×10的结果相同，而8.7÷10与 8.7×0.1的结果也是相同的。“为什么会相等呢？”教师的提问引发了学生们的思考，经过独立思考与交流，他们有了自己的发现，并能用自己的话说明道理：

8.7÷0.1，转化成87÷1来计算，结果是87;8.7×10，计算时把8.7的小数点向右移动一位，结果也是87。所以，一个数除以0.1相当于这个数乘10。

8.7÷10，把8.7的小数点向左移动一位，商是0.87;而 8.7×0.1，先算87×1的结果是87，再把小数点向右移动两位，结果也是0.87。所以，一个数除以10的结果与一个数乘0.1的结果也相同……

口算的方法虽然简单，但是因为把乘法与除法进行了联系，也就对不同算法背后的算理进行了联系与思考，最终找到了乘法与除法结果相等的原因。此时，教师再引导学生写出一些计算结果相等的乘法与除法算式，学生在猜想、验证、归纳、发现中数感得到提升。

（二）在运算方法的选择判断中培养数感

数学问题的解决，有时需要精确结果，有时只需要近似数。究竟选用口算、笔算得出精确结果，还是用估算得出近似数解决问题，这与问题的所在情境有关系，也与学生的数感有直接关系。

教师应该让学生具备面对问题时能迅速学会判断、学会选择方法的能力，并用最合理的方式解决，这也是数感培养的有效方法之一。

（三）在估算方法的选择中培养数感

有研究发现大部分中小学生对估算概念理解肤浅，估算能力不强、意识较差、经验有限。提高学生的估算能力，发展学生的数感，需要教师加强培养。

以沪教版四年级下册的“解决问题”为例，购物情境与学生生活密切相关，学生看到题目，就会联想到实际生活中的购物。对于“带1000元钱够不够”的问题，学生有两种想法（如图3所示）。

相同的地方是都把34看作整十数来估，结果都小于1000元，是否兩种估算方法都正确？经过讨论，学生们达成了一致意见，认为第二种方法更合理，把34看作40估算总价，如果总价够了，那么用原价去精确计算一定也够。但是，如果把34当作30去估算，那么得到的总价会比实际结果小，所以就不能确保钱一定够。经过讨论，大家都理解了生活中遇到购物估计带的钱是否够的问题，可以用进一法将物品价格估大再判断。

学生每人都有过超市购物的经验，对于打折、抽奖等活动也不陌生，充分利用这些熟悉的情境设计数学问题，让学生体会估算方法在生活中的普遍使用，并比较得出不同背景下估算方法的选择，这对于学生数感的培养、运算能力的提高都有着不可替代的作用。

四、提升——在数量关系的分析中培养数感

在列方程解决问题中，找到等量关系是非常关键的，因为方程的本质是表示一种相等关系，所以，只要能找到已知量和未知量之间的相等关系，就能列出方程求出解。这种能力对学生把握等量关系、理解方程的原理、发展代数思维、培养数感作用重大。

如：沪教版五年级下册“列方程解决问题①”复习课。

教师出示例1（如图4所示），让学生找到等量关系后列式解答。

例1：小胖带了80元去电影院买电影票，他一共买了5张儿童票，售票员找给他5元，儿童票多少元一张？

学生找到等量关系后列式解答，并在交流中体会找到不同的等量关系，列出的方程也就不同。这时，教师出示例1的变式题：小胖带了80元去电影院买儿童票，已知每张儿童票15元，售票员找给他5元，小胖买了几张儿童票？

学生把变式题与例1做了比较，很快找到了等量关系并列方程完成了解答。之后，教师引导学生再次比较两题，发现两题所求的问题不同，前者求单价，后者求数量，但所用的等量关系是相同的，都是“付出的钱-用去的钱=找回的钱”。

通过对例题的变式，学生深刻体会找到等量关系在列方程解决问题中的重要性，同时对方程解法中，一个等量关系能解决一类题的优势有了较深的体会，这种对等量关系的感悟在数感的培养中不可或缺。

重视数感，强调使学生在数学学习的过程中建立数感，是基础教育数学课程改革中必须重视的一个问题。在研究数学知识的本质、分析并设计数学学习的过程中，我们还可以做更多的努力和尝试。

参考文献：

[1]许欣然.小学数学核心素养之数感的培养[J].课程教育研究，2017（26）.

（责任编辑：奚春皓）