梁永丁，黎奇升，杨孝斌

（1.吉首大学，湖南吉首 416000；2.凯里学院，贵州凯里 556011）

1 问题提出

《普通高中数学课程标准（2017 年版）》（下称《课标》）的颁布实施，强调“提升学生核心素养，学会用数学的语言表达世界”，并在“数学学科素养的水平划分”中，六大核心素养明确了“数学表达”的具体要求.思维与表达、交流与反思，体现了数学学科核心素养中的重要内容［1］.可见，新一轮课标更加重视学生的数学表达能力.

学生数学表达与交流能力的提高，主要通过数学课堂教学来实现.解题教学是数学教学中一种极为重要的课型，特别是高三复习阶段，基本上都是以解题教学为主，其教学模式大多数是以教师分析讲解为主.就笔者实习学校而言，每周有周考，每半个月有半月考，每月有联考或统考，数学教师除了正常的一轮、二轮复习知识点讲解外，还要进行试卷讲评，可以说，解题教学占了数学教学的大部分时间.

在高考复习中，教师们不难发现，平面解析几何问题一直都是考生得分的瓶颈，相关内容教师难教、学生难学.在平时的阅卷中发现，大多数学生留空白卷，或是写而不全导致失分.另一方面，平面解析几何的内容又是高考考查的重点，我们可以通过促使学生有效的表达，来提高学生解析几何问题的得分率，同时提高学生整个试卷的得分率.

2 数学表达能力概念的界定

关于数学表达能力现在没有统一的界定.有的学者认为数学表达能力是指“将自己解决问题的观点、思想、方法、过程等用恰当的数学语言准确、流畅地表达出来的能力”［2］；也有学者认为是“运用数学语言将对数学对象的思考、解决数学问题的内隐过程准确流畅‘说’出来的能力，包括口头表达能力和书面表达能力”［3］；还有学者认为是学习者以数学知识为依据，运用逻辑性思维组织语言，以数学文字的表达形式解决数学问题能力［4］.

基于上述分析，本研究将数学表达能力界定为：在学习数学的过程中，学习者能用数学语言来书写数学问题（即“写数学”）、以口头表达的形式讨论数学问题（即“讨论数学”）的能力.运用数学语言书写数学问题和讨论数学问题的能力，成为评价一个学生学习能力和水平的重要标准.

下面以2019 年全国III 卷理科数学第21 题教学为例，在进行解法研究的基础上，谈谈解题教学中如何培养学生的数学表达能力.

3 试题呈现

4 教学思考

4.1 注意数学语言转换表达，帮助学生理解题意

如果学生数学语言理解能力低、相互转换存在困难，会限制他们数学表达能力的发展.教学中，时常遇到题目表述学生不易理解，这就要求教师重视语言转换表达，既可以是符号语言转译文字语言或图式语言，也可以是文字语言转译符号语言，还可以是图像语言转译为符号语言、文字语言等，必要时，可以将一种表达问题的数学语言重组表述，推进数学课堂教学.

图1

通过对数学问题作相应的转换表达，使得学生听得懂，想得通，进而“说得出”，让学生能够用数学语言顺利地表达数学问题.

4.2 巧用启发语，引导交流表达

教学效果很大程度上取决于教师的表达能力，不仅在口头表达上做到准确、简洁、精炼，还在叙述分析推理过程做到层次清楚、逻辑严密.但是，高中生数学表达能力仍然存在许多问题，主要表现在［5］：教师“认为学生的语言感知能力不强，数学语言的转化缺乏灵活性”；学生认为“教师为完成教学任务，规范的数学表达教授得少”，这些都阻碍了学生数学表达能力的发展.

著名教育家、思想家波利亚，他给出了著名的“怎样解题”表.极为经典的是其中的解题提示语：“你必须理解题目”、“未知量是什么”、“已知数据是什么”、“条件是什么”、“题设是什么”、“应该从哪里开始”、“能做什么”、“这样做能得到什么”、“你能清楚地看出这个步骤的正确性吗，又能证明这个步骤的正确性吗”、“有什么方法可以利用”等一系列解题提示语［6］.文［6］用实际例子，具体分析了解题提示语的应用，是启发学生思考数学问题、寻找解题方法的典范.例如，在第（I）问教学中，用波利亚的解题提示语进行教学，分析如下：

求什么？——直线AB过定点；其实是求什么？——求抛物线C:x2=2y的弦AB过定点；有哪些条件可以用？——D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A,B；直线的方程如何设？——设为“两点式”或“斜截式”；直线的斜率怎么找？还有什么条件可以用吗？——导数的几何意义，等等.

在讲完第（I）问后，第（II）问也可用波利亚解题提示语进行教学分析，分析如下：

求什么？——求四边形ADBE的面积；有哪些条件可以用？为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，第（I）问所求得直线AB的方程；还有什么可以用？——不规则四边形面积转化为两个三角形面积和，三角形面积公式，弦长公式，中点坐标公式，两直线垂直的性质，等等.

承前所述，根据题目中的条件或结论（如各种圆锥曲线的性质、弦长公式、中点坐标公式等），利用启发性提示语，引导学生在理解题目的过程中抓住题目中有用的信息，理清“有什么”、“求什么”等基本问题.再者，根据所理清的问题，从记忆中提取解决类似问题的基本解题经验，形成一定的解题思路.

数学语言的核心是启发性提示语，启发性提示语是学生弄清数学问题基础.在数学教学中，教师可以“尝试用‘怎样解题’的提示语开展教学，利用这些提示语帮助学生理解题意、弄清问题、找到问题的解决办法.学生在教师的示范和引导之下，能够学会用怎样解题提示语解数学题，并将其逐步内化，最终发展成为自己的解题提示语”［7-8］.因此，教师在解题教学时，运用解题提示语，让学生在课堂参与讨论，引导学生去思考这个问题，即“想数学”，在有“想法”的条件下，才有交流与表达的“基础”.教师学会用解题提示语，是引导学生进行交流表达的重要一步.

4.3 善用思维导图，帮助学生理清线索

思维导图，其本身具有结构清晰、简单易画、条理分明等特点，容易被学生接受.研究表明，“大部分学生对思维导图的接受能力很强，而且经过长期的学习，思维导图能够帮助学生构建知识体系”［9］.因此，在解题教学中，教师可以利用思维导图，帮助学生形成解题思路，促进逻辑思维能力的建构，这样，学生对数学问题想得更清楚，为更好地表达数学问题奠定基础.

教师在运用启发性提示语进行教学下，激发了学生产生对同一问题的不同想法，并将这些想法用路向标逐一标出，形成解决问题的思路，即解题思维导图.因此，思维导图既能帮助学生理解好数学问题，又能让学生在解决问题时有章可循，有利于学生发散性思维的培养，是学生表达好数学问题的重要前提.在教师的引导下，由本例题所给出的条件和所求，第（I）问可以得出如图2 所示的思维导图，第（II）问可以得出如图3所示的思维导图.

根据思维导图不难发现，解决这道高考解析几何题，第（I）问关键就在于求出直线的方程，技巧在于设什么样的直线方程使得运算简单；第（II）问中，结合图1，将所求四边形面积转化2个三角形的面积，根据第（I）问的结论，设出直线的方程，并联立直线和曲线的方程，消元化简为二次方程，这是解决直线与曲线相交常用的方法；要求曲线的弦长，可由弦长公式解得，结合终点坐标公式等，找出已知和未知的关系，最后对参数进行分析，进而形成解题思路，得出推理过程.

数学思维能力的核心是逻辑思维能力，逻辑思维是学生养成良好的数学表达能力的关键能力，正所谓“想得清楚，才能说得明白”，运用思维导图进行思路分析，利于写出详细解题过程.

4.4 重书写规范，教师应“领航”

在教学实践中，评阅解析几何试题时，时常发现学生书写不规范，常见问题如：向量问题，书写时没有注意“箭头”；求导问题，没有研究函数的定义域；对于多种条件下，没有进行分类讨论，或讨论后最终没要总结结论；轨迹方程与运动轨迹问题，不知道或混淆两者的基本表达要求，等等.其实轨迹方程，最后求出方程就可以，对于轨迹，求出轨迹方程，我们还应描述轨迹图形，注意图形所有位置是否都是符合.

学生数学表达能力的培养重在教师的示范.正如文［5］所述，“教师数学书面表达的优劣，直接影响着学生数学学习的兴趣和积极性，会影响着学生对知识的掌握和吸收程度，这就需要教师重视自身的书写规范”［5］.因此，教师的书写规范程度极其重要.因为学生在考试答题时，需要把解题步骤完整地写出来.怎样书写？怎样规范地书写？教师就要以身作则，做书写规范的“领航员”.

图2

图3

基于上述认识，教师在解答这类问题时，以启发性提示语引导学生“想数学”，用思维导图帮助学生理清解题思路，促进学生想清数学问题，激励学生去“写数学”，教师再规范书写表达，让学生有参考标准去写，去表达数学问题.通过循序渐进，来促进学生数学表达能力的提高.值得注意的是，不是每一道题目都是要老师做书写示范，而是在典型的题目中去做示范，引领学生书面表达.教师的示范，就是要让学生学会符号表达、学会作图、提高运算能力，包括要求构图合理、表达清晰且符合逻辑、运算结果准确等.在进行本例题教学时，第（I）问规范解答如下：

更一般地说，“教师在教学中应该发挥‘教练’的作用，像体育教练那样善于调动队员的积极性，有效地做好组织工作，并为各个队员指明努力的方向，包括一定的示范；也要牢记教练所做的一切都是为了帮助他的队员更好地掌握相应的‘技能’”［10］.数学教师规范表达的意义也就在于努力促进每个学生发展自身的数学表达能力，力争会做的题目拿满分，做不完整的题拿到高分，难题拿到步骤分，不因书写失误而丢分，进一步提高学生的数学成绩，发展他们的数学素养.

4.5 通过一题多解，提高学生思维的灵活性和表达的丰富性

一题多解即是“以原题为中心，根据题意从各个核心方面展开深入讨论，综合运用所学到的知识用不同的解题方法去解答题目”［11］.在解决数学问题时，不同的学生对同一问题的解决，方式方法有所不同，但结果完全相同.教师在解题教学中，利用启发性提示语、思维导图等将数学问题逐层分析与解决，将零碎的基础知识联系起来，帮助学生拓展解题思路，形成“一题多解”的解题方式，锻炼学生思维应变性与灵活性.

教学中尝试“一题多解”进行解题教学，这就要求师生对问题的条件与结论进行深入分析，找到解决问题行之有效的方法，帮助学生找到适合自己的解题办法，长此以往，学生逐渐灵活运用知识点进行解题，不同层次学生的思维得到不同发展，从而提高学生的发散性思维，即培养学生思维的灵活性.

在本题教学时，有了思维导图帮助学生理清解题思路，在分析过程中，对问题产生一些新的思路，形成了一题多解.本题的另一种解法，叙述如下：

第（I）问解答：

分析得出，一题多解，解题思路完全不同，用到的知识点也不完全相同，但运算的结果一致.例如，在解答本例题第（I）问中，题目已知条件可以推出EM⊥AB，要求中点坐标M中的参数，可通过或kAB⋅kEM=-1求得，这就体现了在解答问题时，充分利用与该问题有直接或间接联系的知识点，拓展学生的解题思路，再运用数学语言将解决问题的过程与结果准确地表达出来，这样，既发展学生思维的灵活性，也增加数学表达的丰富性.

5 结束语

不同的时代，对学生数学表达能力具有不同要求，学生数学表达能力的培养，是数学教育的时代课题，也是一道难题.在当今之中国，怎样促进学生的数学表达能力的发展，显现出中国学生的数学特色，是值得每个数学教师都应深思的问题.笔者结合自身在高三一年实习，通过课堂观察，发现学生在解析解析几何问题的表达中流露出的一些问题，结合全国III 卷理科数学第21 题解法分析，立足教学实际做一些探讨.

总之，要想在解题教学中发展学生的数学表达能力，教师必须有很强的数学表达能力.因此，教师教学时，应善于运用数学教育经典理论指导课堂教学，在课堂语言上做文章.即用精准简练的语言表达，巧用启发性提示语引导学生去思考，激发学生数学逻辑思维；再者，还要勤于专研数学问题，在备课中下功夫.备好数学知识、备精解题方法、备准学生情况，在现有的基础上，力争在解法上突破创新，师生努力，积极参与，才能书写好属于每一位学生的“数学心声”.