伴有衰减型随机冲击的竞争失效可靠性综合评估模型

2021-01-06郭一帆唐家银

湖北大学学报(自然科学版) 2021年1期

郭一帆，唐家银

(西南交通大学数学学院，四川成都 611756)

0 引言

在工程实际中，产品的性能会随着其投入工作时间的增长而逐渐下降，当性能退化量大于某一阈值时，发生退化失效(又称软失效)，常见的能使产品发生退化失效的有磨损、腐蚀、裂纹以及材料老化等疲劳载荷；同时，由于外部或者内部环境的不断变化，产品不可避免地会受到各类型的冲击作用，如果冲击幅值超过其所能承受的阈值时，会导致产品的突发失效(又称硬失效)，通常材料断裂、电路短路、器件击穿等冲击载荷将导致突发失效. 实际工况下，产品发生退化失效是必然情况，突发失效则是偶然的，但若两者同时存在，产品最终的失效则是二者相互竞争所导致的.

关于产品可靠性的建模，最初仅考虑退化进程和外载随机冲击单独作用造成失效来分析问题[1-3]，而忽略了两者之间的竞争关系.文献[4-6]中则基于两者相互独立考虑了两者之间的竞争关系，而在实际工况中，退化和冲击的竞争存在相关性：Peng等[7]基于冲击使退化过程产生突增退化量，推导了相关竞争失效可靠性模型；Wang等[8]考虑冲击对产品退化过程造成失效率增大和退化量随机增加的情形，从而建立了对应的竞争失效模型；Su等[9]选取累积冲击，建立了基于随机冲击使得突发失效阈值降低的相关竞争失效模型.由于冲击对退化失效和突发失效均有影响，而且冲击与突发失效的阈值存在某种联系,Jiang等[10]建立了产品的竞争失效可靠性模型，还进一步分析了相应的维修模型；Rafiee等[11]基于冲击能加快产品退化速率建立了竞争失效过程，并且分别讨论了极端冲击、δ冲击、m冲击以及连续冲击下的产品可靠性问题.上述文献都从单一冲击与单一退化的角度出发，通过分析冲击所产生的不同效应，考虑对应的竞争失效模型，而对于多部件组成的产品，其退化进程和冲击过程都可能存在诸多类型，因此Feng等[12]针对由多血管支架组成的产品，基于失效物理与失效概率，利用断裂力学与随机过程的方法，建立了对应的可靠性模型，并提出了相应的维修办法；由于多部件产品的每个零部件各自有其自身性能退化过程，同时也都可能会受到冲击作用,基于此Song等[13]推导出了多个失效过程下的可靠性模型，并提出了预防性维修策略.

尽管现有文献对退化失效与突发失效二者之间的竞争机理已做了大量研究，但多数文献对冲击现象都是从冲击幅值或冲击作用时间点来进行描述，如极值冲击、累计冲击、m冲击以及连续冲击模型都是从冲击幅值范围考虑冲击类型；δ冲击则是从冲击作用时间来定义冲击类型.目前已经有文献指出，当冲击作用于工程实际中的产品时，会出现冲击衰减的情况：在做钢球对混凝土的冲击试验中，赵文等[14]发现混凝土试块的冲击点处当随机冲击作用的瞬间会出现峰值，而后迅速衰减；李应刚等[15]通过研究表明周期性层状管结构由于其带隙而具有冲击应力波衰减特性；徐景林等[16]研究了泡沫铝对于爆炸冲击的衰减作用，并且发现泡沫铝的密度会影响冲击应力波的衰减系数,泡沫铝的密度越小,衰减系数越大.由此可见，实际工况下的一些产品在遭到随机冲击作用时，会出现冲击衰减的情况，因此需要对存在该类现象的产品进行可靠性综合评估分析，从而实现对冲击现象描述的补充.

本研究针对某些产品承受衰减型冲击特征，用Wiener过程拟合产品软退化进程，并选用指数函数来描述冲击衰减过程，构建了由冲击响应量与其导致的退化损伤量之间的函数关系，从而提出伴有衰减型随机冲击的竞争失效可靠性综合评估模型，并用极大似然估计法对软退化进程与冲击过程的参数进行估计，用均值估计冲击衰减系数和损伤因子，最后通过案例仿真对模型的有效性进行验证，对比发现是否考虑冲击衰减对产品可靠性综合评估存在显著影响，进而达到对现有冲击现象描述进行补充的目的，得到更为全面的产品可靠性评估结果，避免了对产品可靠性的乐观估计.

1 性能退化过程与冲击过程的模型描述

1.1 模型假设与符号说明首先，在建立竞争失效模型的过程中做如下假设：

1)竞争失效过程为同类型冲击和单一退化；

2)总退化量包括连续退化过程与冲击导致的突增退化，当总的退化量达到退化失效阈值TS时,产品发生退化失效；当冲击载荷的幅值大于突发失效阈值TH时,产品发生突发失效；

3)性能退化过程为一元Wiener过程，冲击到达遵从Poisson过程规律；

4)按照冲击的幅值量的大小，分为3类：无损伤冲击、损伤冲击和致命冲击.

由于本文中涉及较多符号，具体说明如下:

表1 符号说明

1.2 性能退化失效过程分析基础由于产品在退化过程中会受到内部材料、外界环境、应力作用等多种随机因素的影响，使得退化过程呈现随机性和动态性，因此选取随机过程对产品的退化过程进行描述与分析更符合实际情况，常用来描述性能退化的随机过程为Gaussian过程、非平稳Poisson过程、Wiener过程以及Gamma过程[17-18].本研究以Wiener过程为代表，进行综合可靠性建模，因为Wiener过程能够相对快速地估计出模型的参数并且常应用于由许多微小的损失量所引发的均匀而平缓的退化过程.如果一元连续时间随机过程{X(t),t≥0}满足如下的性质：1)时刻t到时刻t+Δt之间的增量服从正态分布；2)对任意两个不相交的时间区间[t1,t2],[t3,t4],t1

若产品性能退化过程为随机过程，可采用一元Wiener过程来描述，表达形式如下：

X(t)=μt+σB(t)

(1)

其中，X(t)是t时刻产品性能退化量；μ为漂移参数，σ为扩散参数；B(t)为标准布朗运动，即B(t)～N(0,t).

要使产品不发生退化失效的前提条件是产品退化量不超过退化失效阈值TS，产品不发生退化失效的概率则为：

(2)

2 冲击衰减型软硬竞争失效综合可靠性模型

根据工程中的实际情况，将冲击类型分成3种水平：1)无损伤冲击：WiTH.在此分类中，无损伤冲击即是指随机冲击不会使产品损伤；损伤冲击指导致产品有损伤但仅使产品退化产生突增退化量，而不会使产品丧失功能性；致命冲击指产品发生失效.Wi为第i次冲击的幅值，TH为突发失效阈值，TH0为冲击衰减结束的阈值.

对于具有振动特性的一般机械类产品，由于产品存在阻力，在受到冲击之后，其冲击幅值便不再是一个固定值，而是一个会随着时间变化而逐渐衰减的连续过程.这里假设由损伤冲击衰减到TH0的过程服从指数效应，即：

Wi(t)=Wie-β(t-ti)

(3)

其中β为衰减系数，这里的Wi为损伤冲击.

图1 冲击衰减过程示意图

由于在实际工况中的一些产品存在冲击衰减现象，衰减过程服从式(3)，因此一次损伤冲击作用时带来的响应量为:

(4)

而当损伤冲击作用次数为N2(t)次时，响应量则为：

(5)

(6)

(7)

损伤冲击发生的概率为：

(8)

要保证产品不发生突发失效，则产品应不受到致命冲击，即产品受到的冲击载荷小于突发失效阈值TH，当冲击作用为N(t)次时，产品不失效的概率为：

(9)

由于冲击往往具有随机性，用Poisson过程对随机冲击进行计数，若每次冲击的到达遵从参数为λ的齐次Poisson过程，在[0,t]时间内，总的冲击次数为N(t)，无损伤冲击、损伤冲击、致命冲击的次数分别为N1(t)，N2(t)，N3(t)，则t时刻冲击发生次数的概率为:

(10)

由于冲击载荷的到达率为λ，无损伤冲击、损伤冲击、致命冲击出现的到达率分别为λ·p1，λ·p2，λ·p3，因此出现次数的概率为：

(11)

当退化过程和冲击过程同时存在的时候，产品总退化量是由性能退化产生的退化量与冲击产生的损伤量两者组成，因此冲击退化过程中的总退化量可以表示为：

XS(t)=X(t)+Y(t)

(12)

其中，X(t)表示产品的自然老化过程的退化量，Y(t)是累积冲击损伤量，XS(t)则表示产品处于冲击载荷的作用下的总退化量.在任意时刻t，产品的可靠度函数为:

(13)

由于产品在自身平稳退化过程中随机冲击可能会出现，也可能不会出现，因此需要分情况进行讨论：

1)若在时刻t，产品不受到冲击作用，即产品仅发生自身的退化，要使产品不发生失效，则只需要产品的退化量小于退化失效阈值，此时可靠度函数的表达式为：

R1(t)=R(t|N(t)=0)·P(N(t)=0)=

P(X(t)

(14)

2)若产品截止到t时刻有冲击出现，若要使产品不发生失效，需满足的条件是每一次冲击幅值都不会超过产品的突发失效阈值，退化总量不超过退化失效阈值，若使产品不发生突发失效，则需每次冲击载荷均不超过突发失效阈值．分别考察无损伤冲击、损伤冲击、致命冲击对产品产生的影响.此时可靠度函数的表达式则为：

P(N1(t)=n)·P(N2(t)=0)·P(N3(t)=0)+

P(N1(t)=n-i)·P(N2(t)=i)·P(N3(t)=0)

(15)

上式可最终写为：

(16)

因此产品的可靠度函数最终为：

R(t)=R1(t)+R2(t)

(17)

3 冲击衰减型软硬竞争失效模型中的参数估计

在上述模型中，涉及到的参数包括：1)产品自身平稳退化过程中的漂移和扩散参数μ,σ;2)冲击过程中的到达率λ,冲击幅值参数μW,σW，冲击衰减系数β，冲击响应量与冲击损伤量之间的损伤因子a.根据样本数据对参数进行估计：

首先，根据无冲击载荷试验下的性能退化数据对退化过程漂移参数μ与扩散参数进行估计.若假设退化试验中的样本容量为M，每间隔Δt时间对产品性能参数进行一次测试，共测试N次，根据Wiener过程的特性可知，第k个样本第q次测量值的概率密度函数即为：

(18)

则试验样本的极大似然函数为：

(19)

(20)

(21)

(22)

试验样本的极大似然函数则为：

(23)

(24)

(25)

(26)

为估计冲击到达率λ，首先给出一个引理.

引理[20]如果N(t)为一个到达率λ的泊松过程，设Tn为第n-1次出现A事件和第n次出现A事件的时间间隔，则Tn(n=1,2,3,…)具有独立的同分布的概率密度fTn(t)=λe-λt，E{Tn}=1/λ.

(27)

对似然函数关于λ求导并且令导数等于0，得到λ的参数估计为：

(28)

(29)

冲击衰减系数β的估计则为：

(30)

(31)

4 仿真算例

为验证本文中提出的模型的有效性，对自然退化过程，选取某产品的疲劳裂纹数据，观测时间间隔Δt=1×104h，总观测时间t=1.2×105h，见表2[19].这里假定每个试验样本的初始裂纹为0.90 cm，其性能退化的阈值为TS=2.20 cm.

根据表2中各个测量时刻的性能退化数据，计算得到各个时间段的性能退化增量，利用Weiner过程对其进行拟合，并用极大似然估计法计算其参数，得到内部退化过程的表达式：

X(t)～N(μt,σ2t)=N(4.91×10-6t,7.87×10-8t).

表2 疲劳裂纹增长数据

在总观测时间t=1.2×105h内监测到样本受到的冲击具体情况见表3，其突发失效阈值TH=1.0，冲击衰减阈值TH0=0.2.而样本在t=1.2×105h内受到冲击载荷作用下最终疲劳裂纹数据见表4.

由于样本所受冲击为同种类型，用正态分布拟合监测到的各个样本的冲击幅值数据，利用极大似然估计法计算相关参数，得到：

表3 冲击衰减时间与幅值数据

表4 随机冲击下的疲劳裂纹数据

图2 考虑冲击衰减与否的产品可靠度曲线图

由图2可知考虑衰减型冲击与否对产品可靠度确有影响，在运行前期，可靠度曲线几乎重合，这是由于在前期受到的随机冲击次数较少，产品裂纹增长主要是其自身平稳退化；而当产品运行到寿命中后期时，可靠度曲线发生显著变化，这是由于产品运行到工作的中后期阶段，累计冲击次数增多，由冲击衰减带来的累计损伤量也增多，性能恶化愈发严重使得其更易发生失效.从可靠度曲线的总体趋势来看，考虑冲击衰减情况时的可靠度比不考虑时的可靠度要低，这与客观实际情况是一致的.

为检验所建竞争失效可靠度评估模型的灵敏度，因此改变冲击到达率λ与退化失效阈值TS的取值，得到对应可靠度曲线图分别为图3和图4.从图3可以看出，产品的可靠度曲线随着冲击到达率的增加而下降，这是由于冲击到达率的增大，意味着在相同运行时间内冲击出现的次数增多，冲击带来的累计损伤量也就越多，产品总退化量也随之增加，从而计算得到的可靠度就会减小；而由图4可知，在产品投入使用的初期，可靠度重合，而随着运行时间的增加，实际工况下的产品性能的不断恶化会使得其退化失效阈值下降，当产品处于运行的中后期后其可靠度曲线下移，这说明在工程上需要尽可能地通过技术手段来提高产品的退化失效阈值，进而提升产品可靠度.