陈雪莲 邵欢欢 张聪慧 祁 晓 李盛清 张淼鹤

(1 中国石油大学(华东)地球科学与技术学院 青岛 266580)

(2 中国石油大学(华东)深层油气重点实验室 青岛 266580)

(3 中海油田服务股份有限公司 廊坊 065201)

0 引言

近年来，偶极子声波测井已广泛应用于裸眼井和套管井中，其在地层横波时差提取、各向异性反演以及储层压裂评价等方面取得了较好的应用效果[1−9]。Chen等[10]最早通过现场测量的偶极阵列波形，分析了套管井中的偶极子声场特征，并将裸眼井和下套管后测量的波形数据进行了对比，验证了在套管井中测量地层弯曲波的可行性。Schmitt[11]考察了偶极子声源在不同胶结状况套管井中激发的模式波，并将水泥胶结差时出现的套管一阶弯曲波称作流体环弯曲模式。李刚等[12]和吴洋等[13]对套管井中地层弯曲波的频散进行了详细的研究，指出下套管后地层弯曲波的频散曲线向高频偏移，并研究了胶结水泥密度对地层弯曲波频散特征的影响。目前，人们在套管井中进行偶极子声波测井主要用于套后地层评价，没有关注如何利用偶极子阵列波形进行水泥的胶结质量评价。由于全球各地油田存在大量套管井，研究套管井中的水泥胶结情况对于已有油田的挖潜和改造工作具有重要的指导和实用意义。

针对目前套管井中越来越多的偶极测井数据，研究利用偶极数据做固井质量评价也越来越得到重视。水泥胶结/声波变密度测井(Cement bonding logging/variable density logging,CBL/VDL)技术采用单极子声源作发射器，单极子声源是一种轴对称声源，激发纵向模态的套管波[14]，主要利用套管波的幅度或衰减评价与套管直接接触的水泥第一界面的胶结质量的好坏。偶极子声源是一种指向性声源，其在套管井中激发的模式波衰减比较小，尤其是低阶套管弯曲波，其传播速度低且几乎不泄漏能量，其相速度或频散特征对胶结状况敏感。Wang等[15]模拟了不同流体环厚度对套管弯曲波频散的影响，观测到随着水泥胶结越差，套管弯曲波的相速度越高；Doug等[16]从实际数据中提取到了套管弯曲波的频散曲线；Naoki等[17]通过实际数据分析了流体环厚度对套管弯曲波以及地层弯曲波频散曲线的影响。本文将理论计算和现场测量数据相结合，模拟了偶极子声源在套管井中不同胶结情况下的地层弯曲波和套管弯曲波的传播特征；分析了水泥环第一界面和第二界面分别胶结差时两种模式波的频散、衰减以及激发强度的变化规律；以及在水泥环第一界面胶结差的情况下，第二界面流体环厚度变化时两种模式波的变化趋势，并进一步探讨了在套管井中利用偶极子声波测井数据同时评价水泥环两个界面的胶结状况的可行性。

1 套管井中偶极子声波测井的基本理论

图1给出了套管井充液井孔的模型示意图(以I界面胶结差、II界面胶结好为例)。采用柱状径向分层声学模型，模型由内向外介质依次为井内流体、套管、流体环、水泥环和地层，各介质的外径分别为r1、r2、r3、r4和无穷大，模拟所用的井孔和地层相关参数见表1。对于同心层状的轴对称套管井模型，利用实轴积分法可以模拟井内偶极子声源激发的声场。在柱坐标系下模型内固体层的位移和应力分量定义为

表1 模型参数(I界面差、II界面好情况)Table 1 Model parameters for poor bonding at the first interface and good bonding at the second interface

图1 I界面胶结差套管井模型示意图及井孔截面示意图Fig.1 Model of the cased borehole with poor bonding at the first interface and good bonding at the second interface,and cross section of the model

其中，T表示位移和应力组成的矢量/矩阵的转置。对于模型中的每一层固体，位移和应力可以表示为

式(2)中，M是6×6的系数矩阵，X=(An,Bn,Cn,Dn,En,Fn)T，分别代表层内反射和入射的纵波、SH横波以及SV横波的振幅系数，流体层中只有纵波(An和Bn)、最外层的地层只有向外扩散的辐射波(Bn、Dn和Fn)。在胶结良好的固固界面，位移和应力分量均连续，即

其中，j表示第j层，r是界面的径向位置。根据Thomson-Hanskell传递矩阵[18]，多层固体耦合时可将内层固体声学影响传递到外层固体，减少求解方程的矩阵维数。由于液体中不传播横波，液体与固体界面的边界条件中只有径向位移u及径向应力σrr连续，剪切应力σrθ和σrz均为零。例如，L层液体层两侧的固液和液固界面的连接方程可表示为

以套管与水泥之间充填流体为例，给出套管井井孔声场的计算方法，井内泥浆、套管、流体环、水泥以及地层分别设为第1、第2、第3、第4和第5层。水泥内的矢量S可以传递到井外地层中，用地层中的振幅系数(Bn、Dn和Fn)表示，如式(5)所示：

其中，M矩阵表达式可参见文献[19]。iL或iR(i=3,4,5)表示第i层的左边界或右边界的径向位置，3个矩阵M相乘得到一个4×3矩阵，其表示了式(6)的系数矩阵N(9)(10)～N(12)(10)、N(9)(11)～N(12)(11)和N(9)(12)～N(12)(12)。

井内泥浆与套管、套管与流体环以及流体环与地层之间的3个液固界面，可直接建立如式(6)所示的12×12矩阵方程，等号的右端表示井内声源产生的直达波场。

求解式(6)可得到套管内的反射系数用于计算套管内的声场，在柱坐标(r,θ,z)中，套管内声场势函数ϕn在频率域中的表达式如下：

其中，n=1代表偶极源，εn=2；f为井孔内流体的径向波数，r0为偶极距，kz为轴向波数；第一类n阶贝塞尔函数In代表由井壁向井轴会聚的波，第二类n阶变型贝塞尔函数Kn代表向井外传播的波或发散波，SR(ω)为声源函数，在全波波形计算时选择高斯源的谱函数。

式(6)中的系数矩阵N是频率和波数的函数，其行列式等于零时的方程det(N(ω,kz))，即为图1模型中模式波的频散方程，求解此方程可得到套管和地层弯曲模式波的频散曲线。模式波的相速度、衰减可由模式波极点所对应的波数kz得到，见式(8)所示，激发强度见式(9)：

2 偶极子声源在套管井中激发的模式波分析

2.1 自由套管模型下井孔模式波的频散特征

与裸眼井情况相比，偶极子声源在套管井中激发的声场更加复杂，在胶结不好的井段除了地层弯曲波还可记录到套管弯曲波，Schmitt[20]也将其称为流体环弯曲模式。图2(a)显示了自由套管井(套管与地层之间完全充填泥浆)中套管弯曲波的频散曲线(实线是相速度，虚线是群速度，同一种颜色的曲线代表同一个模式)。在频段0～20 kHz范围内套管弯曲波可存在3阶模态，现在的偶极子阵列声波中偶极子源的中心频率在3 kHz左右，一般可记录到最低阶套管弯曲模式，二阶和三阶套管弯曲波存在截止频率，截止频率与井眼直径和套管的横波速度有关。图2(b)给出了套管外为自由边界时套管一阶弯曲模式与套管外耦合泥浆时频散曲线的对比，可见套管外耦合泥浆与空气相比套管弯曲波的相速度明显降低。图3是地层弯曲波的频散曲线，与裸眼井地层弯曲波的频散曲线相比，套管的存在使得频散曲线向高频移动，胶结良好与自由套管相比频散曲线向高频偏移得更多，类似井眼半径缩小后的频散曲线。

图2 自由套管井中套管弯曲波的频散曲线Fig.2 Dispersion curves of casing flexural waves in free pipe

图3 自由套管井中地层弯曲波的频散曲线Fig.3 Dispersion curves of formation flexural waves in free pipe

2.2 套管与水泥环(第I界面)胶结差时井孔模式波的传播特征

在套管与水泥环之间加入一层流体环(泥浆)模拟第一界面胶结差的状况。图4为I界面胶结差、II界面(水泥环与地层)胶结好时地层弯曲波的频散曲线和衰减曲线。结果显示，随着流体环厚度的增加，频散曲线向低频偏移，且流体环的存在使得截止频率附近地层弯曲波的衰减(1/Q)增加，艾里相附近的衰减降低。

图4 I界面胶结差、II界面胶结好时地层弯曲波频散曲线和衰减曲线Fig.4 Formation flexural wave in cased borehole with poor bonding at the first interface and good bonding at the second interface

当I界面存在流体环时便可以激发出套管弯曲波，图5是I界面胶结差、II界面胶结好时套管弯曲波(最低阶)的频散曲线和衰减(1/Q)曲线。图5(a)显示，随着流体环厚度的增加，最低阶套管弯曲波的相速度和群速度均逐渐增大，并且其对流体环厚度变化非常敏感，这一特征为利用套管弯曲波的相速度反演流体环厚度提供了可能。与图4(b)相比，套管弯曲波的衰减值明显低于地层弯曲波的衰减值，这与套管弯曲波的相速度较低且几乎不泄漏能量有关。为了进一步分析偶极子声源在套管井中激发的全波波形特征，图5(c)还显示了套管弯曲波的激发强度。随着流体环厚度的增加，套管弯曲波的激发强度逐渐增大，同一流体环下其随着频率的增加逐渐降低，流体环厚度越薄幅度下降得越快。

图5 I界面胶结差、II界面胶结好时套管弯曲波频散、衰减和激发强度曲线Fig.5 Casing flexural wave in cased borehole with poor bonding at the first interface and good bonding at the second interface

为了进一步考察流体环厚度对激发波场的影响，对第I界面流体环厚度变化时偶极子声源激发的全波波形进行模拟，结果如图6所示。源距为3 m、源函数为中心频率为3 kHz的高斯源，频带宽度是中心频率的0.3倍。从图6中可清晰地观测到地层弯曲波波包和套管弯曲波波包，并且随着流体环厚度的增加，地层弯曲波相速度稍有降低，到时滞后，但套管弯曲波的相速度明显增加；在自由套管状况下，地层弯曲波和套管弯曲波叠加。此外，随着流体环厚度的增加，套管弯曲波幅度逐渐增强，这一特征与图5(c)所示的激发强度特征相吻合。图7为将流体环厚度为1 mm时的全波放大显示，从图7中可看出套管外存在1 mm流体环条件下套管弯曲波仍清晰可见。地层弯曲波的频散特征是低频成分传播快，而套管弯曲波是高频成分传播快，这一传播特征在全波波形中体现得特别明显。随着频率的降低套管弯曲波的幅度也逐渐增加，这也与图5(c)显示的激发强度随着频率降低而逐渐增大的现象一致。

图6 I界面胶结差、II界面胶结好时与自由套管和胶结良好情况下的全波列波形Fig.6 Waveforms simulated for cased borehole with different cement-bond conditions:the first interface is in poor cement and the second interface is in good cement,free pipe,and good bonding,respectively

图7 I界面外流体环厚度为1 mm时的全波列波形Fig.7 Waveforms simulated for cased borehole with the fluid ring thickness of 1 mm at the first interface

2.3 水泥环与地层(第II界面)胶结差时井孔模式波的传播特征

在水泥环第I界面胶结良好、第II界面胶结差时，仍可激发出套管弯曲模式波，图8是套管弯曲波的频散、衰减和激发强度曲线。随着水泥环第II界面流体环厚度的增加，套管弯曲波的相速度和群速度均逐渐增大，这一规律与水泥环第I界面胶结差时相似。但同一流体环厚度下水泥环第II界面胶结差时的激发强度略低于第I界面胶结差的激发强度，这是由于水泥环第II界面胶结差时套管的弯曲振动势必携带水泥环一起振动，其附重增大造成套管弯曲波的振动幅度降低。

图8 水泥环第II界面胶结差时套管弯曲波的频散、衰减和激发强度曲线Fig.8 Casing flexural wave in cased borehole with good bonding at the first interface and poor bonding at the second interface

水泥环第II界面胶结差时，与胶结良好时相比，地层弯曲波的频散曲线也明显地向低频方向偏移，如图9所示。在低频段随着第II界面流体环厚度的增加相速度稍有降低，高频段相速度稍有增大；其衰减随着流体环厚度的增加逐渐增大。与水泥环第I界面胶结差时相比，地层弯曲波相速度对水泥环第II界面流体环厚度的变化不敏感，这从图10所示的全波波形中也可观测到，流体环厚度变化时地层弯曲波的变化很小，套管弯曲波随着流体环厚度的变化趋势与第一界面胶结差时类似，但波形幅度明显降低。

图9 水泥环第II界面胶结差时地层弯曲波的频散曲线和衰减曲线Fig.9 Formation flexural wave in cased borehole with good bonding at the first interface and poor bonding at the second interface

图10 I界面胶结好、II界面胶结差时与自由套管和胶结良好情况下的全波列波形Fig.10 Waveforms simulated for cased borehole with different cement-bond conditions:the first interface is in good cement and the second interface is in poor cement,free pipe,and good bonding,respectively

2.4 探讨水泥环第I界面胶结差时井孔模式波对第II界面胶结状况的敏感性

为了进一步分析在水泥环第I界面胶结差时利用偶极子声波测井评价水泥环第II界面胶结质量的可行性，图11对比了水泥环第I界面胶结良好和存在1 mm流体环时，地层弯曲波和套管弯曲波的频散曲线随水泥环第II界面流体环厚度增加时的变化趋势。当水泥环第I界面存在1 mm的流体环时(图11中标注的I界面胶结差)，低频下地层弯曲波的相速度与胶结良好时相比降低，这与图11(c)显示的全波波形中地层弯曲波的相速度明显滞后相吻合；在8～20 kHz频段随着第II界面流体环厚度的增加，地层弯曲波的相速度逐渐增大；与水泥环第I界面胶结好时相比，第I界面胶结差时对于相同的流体环厚度变化范围，相速度的动态变化范围增加，即第I界面流体环的存在，提高了高频地层弯曲波对第II界面流体环厚度变化的敏感性。但在较高的工作频率下套管弯曲波的高阶模态会被激发，使得波形成分复杂。套管弯曲波的相速度随着水泥环第II界面流体环厚度的增加逐渐增大，但其受到第I界面胶结差的影响，其相速度从第I界面存在1 mm流体环时套管弯曲波的相速度开始逐渐增加；与水泥环第I界面胶结良好时相比，第I界面胶结差时低频下套管弯曲波的相速度稍有增大，但当第II界面流体环厚度较大时(如图11(b)中流体环厚度为5 mm、10 mm和15 mm)，高于4 kHz后套管弯曲波的相速度与第I界面胶结良好时相比降低。图11(d)是套管弯曲波的激发强度，可见水泥环第I界面流体环的存在提高了套管弯曲波的激发强度，这与图11(c)中红色波列显示的套管弯曲波幅度稍高的响应特征一致。

传统的VDL或多极子阵列声波测井中，根据其单极模式下测量的套管波速度可较好地判别水泥环第I界面是否胶结良好。当水泥环第I界面胶结差时套管波速度接近57µs/ft，第I界面胶结良好第II界面胶结差时套管波速度明显降低，但单极子声波测井测量的全波波形在水泥环第I界面胶结差时很难判断水泥环第II界面的胶结状况。对比图11(a)和图11(b)可见，在确认水泥环第I界面胶结差时若水泥环第II界面也胶结差，则地层弯曲波的相速度会比第II界面胶结良好时低，且在水泥环第I界面胶结差时，套管弯曲波的相速度仍对第II界面流体环厚度的变化敏感，这为在水泥环第一界面胶结差时评价水泥环第二界面的胶结质量提供了可能。

图11 水泥环第I界面胶结好和差时水泥环第II界面流体环厚度变化对井孔模式波的影响Fig.11 In fluence of thickness variation of the second-interface fluid ring on borehole mode waves for the good and poor bonding at the first interface,respectively

3 实例分析

图12(a)是某井测量的偶极波列图，接收的阵列波形中最近的源距是3.625 m，间距是0.1524 m，套管外径和厚度分别为19.3675 cm和1.016 cm，井眼直径是24.13 cm，通过CBL/VDL可知套管波相对幅度约40%，所研究井段的水泥环第I界面胶结差。在图12(a)显示的全波列波形中可较清晰观测到泄漏纵波、地层弯曲波以及套管弯曲波，对此波形做时间-慢度(图12(b))以及频率-慢度(图12(c))相关分析，观测到了地层弯曲波以及套管弯曲波。在已知套管井各层介质的参数下，给定水泥环第一界面5 mm流体环厚度时理论计算的套管弯曲波的频散曲线(图12(c)中的实线)与实际波形提取的频散曲线(图12(c)中的离散点)吻合度较高，可推断此深度点水泥缺失的等效厚度接近5 mm(实际井中流体环厚度可能不规则)。

图12 现场实例分析Fig.12 Analysis of the field data

4 结论

本文利用实轴积分法计算得到了套管井中偶极声源激发的全波波形，模拟了偶极子源在套管井不同胶结条件下的模式波传播特征，分析了地层弯曲波和套管弯曲波的频散、衰减和激发强度等响应特性，得到以下认识和结论：

(1)与裸眼井相比，下套管后地层弯曲波的频散曲线向高频偏移，胶结良好时的频移量最大。

(2)在水泥环第I界面或第II界面胶结差时，接收的波列中会观测到套管弯曲波，其频散特征是低频成分波的传播速度低于高频波，激发强度随着频率的增加快速降低，频散趋势类似于单极斯通利波；当套管与水泥环或水泥环与地层之间的流体环厚度增加时相速度逐渐增大，套管弯曲波的相速度对流体环厚度的强敏感性为利用套管弯曲波的相速度反演流体环厚度提供了可能。

(3)在已知地层声学性质、井眼和套管参数后，可尝试通过将现场测量偶极波形数据提取的弯曲波频散曲线与理论模型计算的频散曲线相拟合估算水泥环界面的流体环等效厚度，反演结果也将反映水泥缺失的程度。