刘波 陆万顺

【摘要】高中数学在圆锥曲线部分要求学生能够建构高中数学思想并对其理解.高考对于圆锥曲线考查的内容和形式不断地变化，而对其中数学思想的考查相对稳定.从人教版教材例题和历年高考真题可以看出，探究数形结合思想、方程与函数思想、数学建模思想在解决圆锥曲线问题时都起到重要作用.

【关键词】探究 数学思想 圆锥曲线

【中图分类号】O 343.7 【文献标志码】A

一、问题提出

高考数学总分为150分，数学成绩的高低决定了学生角逐高考的成败.数学是研究数量关系和空间形式的科学，数学习题的训练是学生学习数学的一种有效途径.高考对于数学的考查形式千变万化，对于高中数学蕴含的数学思想的考查相对稳定.高中数学思想主要包括函数与方程思想、数形结合思想、分类与讨论思想、划归与转化思想、有限与无限思想.学生在习题训练的过程中能够加强对数学的基础概念定义的理解，提高解题的思路技巧.

教师需要引导学生注重对习题蕴含的数学思想深度掌握.提高数学能力的本质体现在对学生数学思想的建构.

数学的学习包括基础性知识的掌握以及数学思维的建构，习题训练是高中学生数学学习的一个重要过程.教师需要指导学生充分挖掘习题的内在价值，对知识进行再认知，提高学生的解题效率，锻炼学生良好的解题习惯.

要想提高学生的数学能力， 需要教师引导学生在解题时进行数学思想的建构，实现有效学习，学生通过对习题的再思考使得数学思维发生转变.

二、圆锥曲线的考查分析

圆锥曲线是高中数学的重点和难点，具有知识点多，抽象化程度高，综合性强的特点.考查的内容涵盖了圆锥曲线的定义、概念、离心率、曲线位置关系等.

圆锥曲线的考查的形式包括选择题、填空题、解答题.圆锥曲线在教材上连接着必修与选修课程，要求学生能够了解圆锥曲线的实际背景，熟悉圆锥曲线的数学模型，掌握圆锥曲线的定义、方程、几何图形，能够运用圓锥曲线解决数学问题，领悟圆锥曲线中的数学思想.圆锥曲线问题要求学生具备扎实的基础知识、技能，准确的数学运算能力，一定的运算技巧，能够使用数学语言理解和刻画客观世界，能够理会数学思想的内涵，养成严谨的数学思维能力，综合提高自身数学能力.数学能力的提高需要一定的习题训练，针对圆锥曲线繁、杂、难的特点，教师讲解圆锥曲线习题时应当侧重于题目内在的数学思想方法，利用习题训练构建学生数学逻辑思维能力，从本质上提高学生数学解题能力.圆锥曲线问题的求解主要训练了高中数学六大数学思想中的：数形结合思想，函数与方程思想，数学建模思想.

三、圆锥曲线思想考查分析

（一）数形结合思想的考查

数学是一门研究数量关系和空间形式的科学，华罗庚教授概括到：“数无形，少直观;形无数，难入微.” “数”与“形”是圆锥曲线问题主要的表现形式，“数”是使用代数语言精确地描述圆锥曲线，“形”是用几何图形刻画圆锥曲线.通过“数”与“形”的相互转化，能够使圆锥曲线问题简单化、直观化，拓宽解题思路，找到有效的求解方式.

1.由“数”到“形”

题干中使用代数语言刻画圆锥曲线，分析圆锥曲线的几何特征，将抽象的代数问题转换为几何问题，能够给人带来直观的思考，将抽象的数量关系用具体的图形特征表示能够打开思维，找到解题途径.

数学思想分析：题目使用代数语言描述圆锥曲线的数量关系，将数量关系用几何图形进行描述，将代数关系的求解转换为几何图形中几何距离的求解.

2.由“形”到“数”

题干中使用几何语言刻画圆锥曲线，分析圆锥曲线的代数关系，将具体的几何图形转换为代数式，通过代数计算找到圆锥曲线的数量关系.代数语言能够深刻地体现几何图形中量与量内在的联系.便于计算及进行求解.

该题的求解中，通过对题干几何图形的观察，用代数语言描述圆锥曲线，找到等量关系式，通过代数计算得到离心率.对学生关于离心率定义以及椭圆当中的数量关系的掌握提出了要求，考查学生从“形”到“数”进行转换的能力.

（二）“函数与方程”思想的考查

数学思想分析：用函数与方程思想来求解圆锥曲线问题，可以设出圆锥曲线的标准方程，将题干当中的数量关系用代数式进行表达，得到等量关系，最终列出方程求解问题.

该题的求解中，将圆锥曲线转化为方程问题，使用已知条件得到关于离心率的方程式.对学生用代数方程表示圆锥曲线等量关系提出了要求，考查了学生代数运算的能力，能够使得学生理解函数与方程思想在求解圆锥曲线问题中的应用.

（三）数学模型法

数学模型是对现实问题进行抽象概括，用数学语言表达问题，用数学方法构建模型解决问题的数学思维.因此，在解决特定数学问题时，教师要引导学生从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，建立圆锥曲线模型求解问题，体会和理解数学是与外部世界联系的基本途径.

（2015陕西卷） 如图3，横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面呈抛物线形（虚线），则原始最大流量与当前最大流量的比值为多少？

数学思想分析：对于题干描述的现实问题，结合图像进行分析后可以得到是关于圆锥曲线应用的问题.原始最大流量和当前最大流量可以理解为横截面的面积大小.利用圆锥曲线模型可以发现求解时可以借助定积分这一有力的数学工具.

随着数学新课程改革的推进，数学建模思想的考查力度得到加强，在课堂教学和习题练习中，教师要培养学生将现实问题用数学相关模型进行理解，将所学知识点与生活实际相结合，有利于学生数学建模思想的构建和成熟.在本题当中，将泥沙沉积问题理解为圆锥曲线的面积问题，最后借助定积分得到答案，体现了高考数学对数学建模思想的重视.

四、结论与建议

习题训练是数学学习的一种途径，如果学生只是盲目地做题而不去深入体会题中蕴含的数学思想，这样的训练往往事倍功半.高考中关于圆锥曲线不仅考查学生对于基本知识概念的掌握程度，更侧重于考查学生在圆锥曲线问题求解中反映出来的数学思维能力.包括：数形结合思想、函数与方程思想、数学建模思想.教师在指导学生进行数学习题的训练过程中，不仅要注重知识方面上“量”的积累，更要启发引导学生思维能力上“质”的飞跃.教师要通过数学习题引导学生建构数学思想，提升数学思维能力，达到事半功倍的效果.

数形结合思想要求学生能够将几何语言与代数语言相互转化.教师对于数形结合思想的建构建立在数学习题的训练上，通过具体的圆锥曲线图形，在几何直观的基础上引导学生如何使用代数语言进行表征，使得学生领悟圆锥曲线中“形”到“数”的转变.在知识的总结与回顾中，从抽象的代数式入手，提高学生从代数语言到几何语言的转换能力，培养学生从“数”到“形”的能力.函数与方程思想的建构体现了学生将所学知识网络相互联系的能力.教师应该将必修、选修部分的知识框架进行整理，使学生认识到圆锥曲线问题本质上属于一类曲线方程问题，对圆锥曲线问题的处理等价于对特殊方程的求解问题，培养学生使用函数与方程思想去思考问题的能力.

不同数学思维能力在求解圆锥曲线问题当中的难易程度有所区别，函数与方程思想更加侧重于对于一般情况的问题分析，要求学生具备较高代数运算的能力与技巧，以及对代数语言的熟练使用.相比较数形结合思想在圆锥曲线求解中的应用，函数与方程思想应该放在第二位.数形结合思想是沟通几何与代数，抽象与具体之间的桥梁，降低题目的复杂程度与抽象程度，因此在教学当中教师要着重对圆锥曲线的几何意义，以及几何概念的教学，培养学生通过几何图形揭示圆锥曲线数量关系的能力，以及将抽象数量关系通过几何直观表示的能力.

数学建模思想考查学生能否从具体的现实问题当中抽象概况出数学问题的能力，能否使用数学去解决现实世界当中的实际问题.在日常教学当中，教师应该侧重数学建模思维能力的培养，总结客观世界当中的经典数学问题，提高学生将数学知识运用到具体生活当中的数学思维能力.

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