梁佩雯 杨豫晖

【摘要】基于启发式教学思想，以“平行线的判定”为例，结合数学命题学习的三个阶段（命题获得、命题证明、命题应用），进行教学设计及其理论分析.

【关键词】数学命题教学;启发式教学;教学设计;平行线的判定

【基金项目】数学教学设计与实施，广东省研究生示范课程研究项目（2018SFKC40）.

一、引言

在初中教学阶段，加强数学命题教学是初中数学教学十分重要的任务.数学命题教学是指教师通过挖掘命题内核，遵循学生数学命题学习的三个阶段，即命题获得、命题证明、命题应用，设计出符合数学命题内在逻辑及学生认知的教学活动，进而将数学命题稳定融入学生的认知结构当中.

启发式数学教学必须依托数学学科的特点（严谨的逻辑性、高度的抽象性、应用的广泛性）和数学学习的特殊性（数学学习本质上是学习数学思维活动）.启发式数学教学思想的实质是指教师在教学过程中，能结合数学命题产生的思维活动过程，从学生实际即学生的知识含量、认知水平、思维方式出发，采用设问置疑、引发猜想等方式，力求创设“不愤不名，不悱不发”的教学情境，使学生产生在认知与情感上的“饥饿感”，进而诱发学生主动思考、动手探究，并能用语言表达思维过程，最终习得知识，形成技能，提高能力，积累经验.

事实上，启发式教学早已渗透在中学数学教学当中，但将启发式教学融入数学命题教学中成形的理论和模式较少，而单独研究启发式教学或数学命题教学的成果已十分成熟.因此，本文试图探讨基于启发式教学思想的数学命题教学方法，以期为初中数学命题教学提供一定的借鉴和参考.

二、基于启发式教学思想的数学命题教学设计思路

以启发式教学思想作为数学命题教学的指导思想，其目标指向学生思考的过程和思考的方法，而不是问题的结果和统一的标准答案.根据不同的教学内容和教学目标，教师可以设计不同的教学模式.不同的数学命题教学模式主要区别在于命题获得阶段，而启发学生思考的关键则体现在每个思维阶段的提问环节.

本文在张昕、韩龙淑、屈俊等提出的教学设计流程图的基础上，结合数学命题的特点、结构、学习形式及学习的心理过程，建立如下流程图.

需要指出的是，本文基于启发式教学思想的数学命题教学设计流程图，是基于初中阶段“平行线的判定”这一节课构建的，同时，该流程图还明确了教学设计的分析过程、教学的设计过程、教学过程的启发关键点，包括在命题获得阶段创设愤悱的问题情境和在命题证明阶段进行思维策略的指导，将设计“平行线的判定”这节课的思考与实施过程进行提炼，以期为中学数学教师对启发式教学本质的把握提供案例式的参考.

三、基于启发式教学思想的平行线的判定定理教学设计

1.确定数学命题教学的目标

《义务教育数学课程标准（2011年版）》对“平行线的判定”这节课的两点要求：①掌握基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行;②探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），那么这两条直线平行.其核心内容是三条判定定理的学习，非常适合在命题证明时向学生渗透转化的思维策略.本文确定的教学目标包括：①认识“∵”“∴”，初步学会用符号语言表示推理过程;②在“利用三角尺和直尺画平行线”的活动中，发现判定定理1，体会其作为基本事实的合理性;③利用转化思想探索判定定理2和判定定理3;④能初步运用三条定理进行简单推理和解决数学问题.

2.启发学生经历思考的节点

在学习这节课之前，学生已经认识了同位角、内错角、同旁内角，以及平行线的定义.同时，学生之前接触的是一步推理，而且是在因果关系比较明显的情况下进行的推理.而平行线判定定理的推导需要先通过角的关系，进而找到符合判定定理的条件，因此涉及两步推理，学生需要思考的问题会复杂一些.

因此，教师在教学的过程中应当注意引导与启发学生思考，渗透转化的思维策略，即通过“同位角相等，两直线平行”的学习，可以转化为证明“内错角相等，两直线平行”的方法，同样的，“同旁内角互补，两直线平行”的证明也可以通过转化为前两条判定定理进行求证.转化的思想是本节课要教给学生的一种重要的思维策略.

3.教学预设

活动1：复习旧知.

提问1：我们上一节课已经知道了平行线，同学们请看，这是一组平行线吗？

追问：你是怎么确定它是平行线的呢？（隐性提问：如何证明两直线平行呢？）

【设计意图】激活“平行线的定义”这一节点，同时为本节课的要点“如何证明平行线”埋下伏笔.

活動2：获得判定定理1

通过画平行线的活动引导学生产生“同位角相等，两直线平行”的猜想，此时教师应肯定学生的猜想，使学生获得命题，而后渗透符号语言的表达，为后续命题的证明做好准备.该活动达成教学目标1和2.

提问2：请同学们拿出直尺和三角板，应用直尺和三角板在练习本上尝试画出平行线，画完后小组讨论，看看你能发现什么规律？

请多名小组代表回答，由教师总结：①三角板是沿着同一条直线移动;②这条直线与平行线之间的夹角是同位角;③由于这两个角都是三角板中的一个角，所以同位角相等.

追问：在画平行线的活动中，我们发现当确定这两条直线是一组平行线时，那么其同位角是相等的.反过来说，如果我们能确定有一组同位角相等，能不能证明这两条直线相互平行呢？

教师引导学生猜想：同位角相等，可以证明两条直线平行.

【设计意图】经历数学活动产生命题猜想，进而得到启发：同位角相等，可以证明两直线平行.

PPT展示平行线的判定定理1及板书符号语言：

∵ ∠1=∠2，

∴l1∥l2.（同位角相等，两直线平行）

【设计意图】经历画平行线的活动获得判定定理1，体会这是一个基本事实.同时，初步让学生学会用符号语言表示推理过程，从中体会数学的简洁美，也为后续判定定理2和判定定理3的推理做好准备.

活动3：获得并证明判定定理2

通过思考题猜想“内错角相等，两直线平行”并证明.在证明猜想的过程中学生会产生由一步推理提升到两步推理的认知困难，此时是渗透转化思维策略及启发学生逆向思维的关键.该活动达成教学目标3.

【PPT展示】思考：如果∠1=∠3，能證明AB∥CD吗？

提问3：既然我们已经知道了同位角和平行线之间的关系，看图，哪名同学能帮老师找到图中所有的同位角呢？

追问1：除了同位角，我们还学过内错角，能否继续找出图中所有的内错角呢？

追问2：你认为内错角与平行线之间是否也存在关系呢？

教师引导学生猜想：内错角相等，可以证明两直线平行.

【设计意图】获得命题猜想并试图证明，学生开始思考，出现启发关键.

紧接着，教师通过问答的方式，先帮助学生理清解题思路，再要求学生作答.

【预案】

问：题目中需要我们求证的是什么？答：AB∥CD.

问：要证明两条直线平行，需要寻找什么？答：同位角相等.

问：题目中是否告诉我们同位角相等？题目中给出的条件是什么？答：没有.题目中已知的条件是∠1=∠3.

问：这是一组什么角？答：内错角.

问：既然没有告诉我们相关条件，你能否从这个图中找出一些隐含的条件呢？

……

【设计意图】学生首次接触两步推理，教师通过问答的方式帮学生厘清证明思路，让学生感知推理证明的思维方式，同时渗透转化的思维策略，培养学生的逆向思维能力.

活动4：获得并证明判定定理3.

自主探索并证明判定定理3，进一步体会转化思想的意义.该活动达成教学目标3.

提问4：请同学们继续思考，刚才我们已知当同位角相等和内错角相等时，两直线平行，那同旁内角与平行线是否也存在关系呢？

【预设】学生产生“同旁内角相等或同旁内角互补，两直线平行”两种不同猜想.

【PPT展示】思考：如果∠1+∠4=180°，能证明AB∥CD吗？

提问5：小组内相互讨论，并用不同的方法进行证明.

教师巡视并指导，然后请小组代表作答，展示两种证明过程.

【设计意图】在前面学习的基础上让学生独立发现命题并证明，再次强化转化思想在数学问题解决中的应用.

活动5：命题应用与强化.

解决一道思考题强化学生头脑中新获得的命题.该活动达成教学目标4.

【PPT展示】思考题：如图所示，∠D=53°，∠1=127°，∠2=53°，请说明直线EF与DG，AB与CD的位置关系.

提问6：请同学们小组内讨论交流，尝试用多种方法进行证明，看看哪个小组能做得又多又好.

学生讨论交流，教师巡视并指导，要求同学们独立写出至少两种证明过程，然后找1名小组代表展示其中一种证明方法，其他方法则作为课后作业进行补充.

【设计意图】通过一题多证强化学生头脑中新形成的新知.

四、基于启发式教学思想的数学命题教学设计应注意的问题

通过“平行线的判定”这节课的设计以及流程图的构建，笔者认为教学启发的关键出现在命题获得和命题证明两个阶段，抓好启发的本质和关键，不仅能帮助学生学到真正有用的数学知识，还能帮助他们提高能力，形成智慧.

第一，数学教学是以数学知识为“物质基础”的，数学教师必须揭开数学教材中知识逻辑体系的面纱，展露数学知识产生的思维过程.在分析过程中，教学目标的确定应体现该命题有梯度的推理和证明过程，符合学生的认知规律，保证学生动脑思考的积极性.

第二，创设猜想、置疑的情境是启发式教学思想的起点，也是学生获得命题的关键.在此之前，可以先激活学生头脑中已有的相关知识，只有原有的知识网络启动之后，新的结点才能更好地被大脑接收.学生在问题情境中产生了认知缺口，教师需以提问的方式引导、启发学生主动思考，体验逻辑推理的思维过程.比如在证明定理2的过程中，需要运用逆向思维及两步推理，对于学生来说具有挑战性，教师可通过提问方式帮助学生梳理思路，由学生自己完成推理过程，进而再自主探索定理3并进行证明.学生只有经历了主动思考过程，才能学会推理方法，提升数学的理性精神.

第三，命题证明阶段是提供思维策略启发的关键.“思维策略的指导即教给学生模式性、策略性的内容，让学生学会在做任何事之前不冲动、先思考、讲策略，进而体验事半功倍的乐趣”.在“平行线的判定”课例中，证明判定定理2和3的过程渗透了转化的思维策略，不仅能启发学生思考，使学生从中学习解决问题的不同方法，还能培养学生的逆向思维品质.

【参考文献】

[1]陆建.数学启发式教学研究[D].南京师范大学，2007.

[2]张昕.初中数学现代启发式教学的研究与实验[D].华中师范大学，2007.

[3]曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2018.

[4]孔凡哲，曾峥.数学学习心理学[M].北京：北京大学出版社，2012.

[5]喻平.数学教学心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2010.

[6] G·波利亚.怎样解题：数学思维的新方法[M].涂泓，冯承天，译.上海：上海科技教育出版社，2011.

[7]何小亚，姚静.中学数学教学设计[M].北京：科学出版社，2012：64-65.

[8]章建跃.启发式数学教学的几个关键[J].数学通报，1992（07）.

[9]喻平.论数学命题学习[J].数学教育学报，1999，8（4）.

[10]王光明，戴永.数学命题的整体性教学策略[J].中学数学教学参考，2007（12）.

[11]王光明，戴永.再谈数学命题的教学策略[J].中学数学教学参考，2008（5）.

[12]周友士. 基于认知建构理论的数学命题学习研究[J].数学教育学报，2008，17（5）.

[13]郑庆全，单墫.数学命题的特征及其教学意义[J].数学通报，2009，48（3）.