徐士永 武方敏

【摘要】自从中考提高了对识图、画图的能力要求，函数图像作为“数形结合”的典型代表自然也是中考复习的重点之一.就“一次函数”这一章而言，作为函数学习的起始章节，学生要学好本章内容，首先要学会感知“数”与“形”之间的内在联系，学会用函数的观点观察分析问题.

【关键词】 函数;图像;数形结合;策略

函数是用来刻画和研究现实世界数量关系的重要数学模型.在新知授课时，过多强调函数解析式 “数”的特征，就会弱化图像 “形”的特征，最直接的影响就是学生识图、用图能力差，数形结合意识薄弱，给初三的二次函数教学埋下了隐患.所谓数形结合，顾名思义就是把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述结合起来，使代数问题几何化或几何问题代数化，从而将抽象思维与形象思维相结合的一种思想方法.数与形的转化，对问题的解决会起到事半功倍的效果.

人教版第19章“一次函数”在章节伊始，就借助具体情境让学生了解函数概念和三种表示法：图像法、列表法和解析法;让学生学会用函数的观点观察、分析问题，感受“数”与“形”之间的内在联系.教材中设置了“用函数图像解二元一次方程（组）及不等式”的相关运用，意在引导学生用联系的观点看待函数、方程、方程组，并引导学生发现这三者之间是一个联系的整体的重要特征.这是一个将分散的知识交织成纵横交错的整体的过程，是一个将教材从厚到薄的整合过程，也是深化对数形结合思想的认识过程.

在教学中培养学生用“数形结合思想”观察分析问题是学好函数的关键.如何培养学生数形结合的意识，用“形”的直观来理解“数”，用“数”的缜密来感知“形”，可以采取以下策略：

一、对有效获取图形信息并解决相关问题进行强化训练

只有准确获取图形信息，才能建立正确的代数模型.下面通过对例题的改编，让学生多经历通过图像获取信息并解决有关问题的过程.

例1 学校有一批复印任务，原来由甲复印社承接，按每100页40元计费.现乙复印社表示：若学校先按月付给一定数额的承包费，则可按每100页15元收费.两家复印社每月收费情况如图所示：

根据图像回答：

（1）乙复印社的每月承包费是多少？

（2）每月复印多少页时，两家复印社实际收费恰好相同？

此例意在让学生感受到函数与生活的密切联系.为了让学生更好地重视对图形的观察，教学中可以将原有的封闭性问题改为开放性问题，让学生多经历通过图像获取信息，并以此来提高学生用函数观点解决问题的能力.

【改编题】原题设不变，问题改为“从图像和文字上你分别能获得哪些信息？”

此类题型就是图像信息问题，通过问题的改编，学生利用图形中的关键点就会有更多的发现.比如在解答“复印800页，该给多少钱”这个问题上，学生可以利用图像直观感知得出结果，也可以先由图像提炼信息然后转化为解方程组进而得出结论.在学生通过对开放题不同结论的探究，同一个问题不同方法的探究的同时，用“数形结合的思想”研究函数问题的方法也就顺势、自然地植入学生的思维意识中.

二、让学生经历通过文字获取信息，再通过图形解决有关问题的过程

例2 在例1的基础上删去图像部分并进行如下改编：

其中：x表示页数（页），y表示复印社每月收费情况（元）.

（1）写出两家复印社月收费y（元）与复印页数x（页）的关系式.

（2）请在同一直角坐标系中画出甲、乙复印社月收款相应的函数图像.

（3）说明交点表示的含义.

此类题型为文字信息问题，所有的信息由文字反映，在这道例题的教学过程中，学生经历了阅读文字—提炼信息—列出函数关系式的过程.将实际生活中的函数关系式转化为图形是教学的一个难点.只有图形准确，学生才能借助“形”来研究“数”.教学中，教师应该有意识地强调“画图”的重要性，在板书过程中适当放缓画图的节奏.学生在画图、识图能力提升的同时，数形结合的思想也得到了进一步渗透.

例2的设置，让学生经历通过文字获取信息，再通过图形解决有关问题的过程.实际上对学生思维的灵活性提出了更高的要求.在动手操作的过程中，学生体验了知识的形成过程，经历了将实际问题抽象成数学模型，并主动结合图像进行解释与应用的过程.

人教版教材安排了三个课时的篇幅进行“用函数的观点看方程（组）与不等式”的教学，教材本意在于从运动变化的角度，让学生用函数的观点对已经学习过的方程（组）与不等式等内容有更深刻的认识，进一步体会函数的价值.但是解方程组和不等式是学生在初一已经学过，并熟练掌握的内容，所以学生在新的学习的过程中会产生“不知道为什么学，新知识到底有什么用”的困惑，从而导致不重视本章内容的学习.要解决这一教学难点，可以通过比较“ 用图像的直观性解决问题” 与“用计算方程组解决问题”，让学生学会“用函数的思想反观方程（组）与不等式”，并 用“形”的直观来理解“数”，用“数”的缜密来感知“形”.

三、通过“图像的直观性”理解函数和方程组之间的联系

在本例题的教学过程中，学生第一反应是直接用二元一次方程组求解.对于“利用图像解方程组”，学生常会有如下困惑：如果画图不精确，那么就会影响到结果.比如将交点的横坐标1，看成0.9.

这是教学中常见的一种学生质疑.解决得好，学生对“用函数的观点看方程（组）与不等式”会有更深刻的认识;反之，则会引起学生的反抗心理，并影响到正常的课堂教学.通过例4可以很好地解决这个教学困扰.

例4的设计虽然简单，但对本节知识的理解有极大的帮助.上述问题的设置是通过问题1调动学生观察图像，从“形”的角度，判断点是否在直线上.问题2是从“数”的角度，让学生求二元一次方程组的解.

例4让学生通过探讨函数图像的交点与方程组的解之间的联系，再次强化了“数形结合”思想的渗透，从而使学生对用函数思想解决数学问题产生了进一步探究学习的兴趣，也为后面二次函数的教学打下良好的基础.

为了突出“ 用图像的直观性解决问题”，教师还可以在教学中设置例5，通过坐标系做好“数”与“形”之间的相互转化.让学生通过“形”的直观性理解函数和方程组之间的联系.

此题无法直接通过解方程组得出结论，只有借助数形結合的思想，将“两直线的交点坐标”与“二元一次方程组的解”联系起来，才能迎刃而解.

例4和例5的设计，使学生们在解题时主动运用图形的直观性进行思考和探究，知道了学习用图像法解二元一次方程组的优点，学会了从函数的视角重新认识方程（组）与不等式.在学习过程中充分发挥了学生自主学习和探究问题的能动性，摆脱了以往传统教学中的学生被动接受新知的模式.

四、“用代数方法解不等式” 和“用函数图像解不等式”深化数和形之间的联系

在具体教学中可以设置例6，通过比较问题（1）“用代数方法解不等式”和问题（2）“用函数图像法解不等式” 深化数和形之间的联系本文旨在培养学生 “数形结合的思想”，通过“以数解形”“以形助数”，引导学生用联系的观点看待函数、方程、方程组这三者之间的联系，充分让学生亲身体验这个学习的过程，通过“数形结合”的思想，我们不仅能培养学生思维的多样化，更能使学生感受到数学知识的内在联系，从而使学生学会从多角度分析数学问题，感悟数学之美，体验数学之趣.

【参考文献】

[1]孙学东. “一次函数”教学探讨[J].中学数学教学参考，2006（8）.

[2]张华. 浅谈数形结合在中学数学中的应用[J].数学教学通讯，2010（30）.