罗淼

【摘要】在农村中学，学生层次分化比较严重，数学优秀生培优显得非常必要和关键，数学培优是为学生后续可持续发展负责。关于怎样培优，是农村中学教师必须去思考的问题。本文就小专题形式构建知识网络，层层推进知识，有目的有计划地培养学生的数学逻辑思维能力和数学理解能力展开論述。

【关键词】数学培优;小专题;数学理解能力;逻辑思维能力

一、培优的必要性

农村学校的有些学生家长对学生的学习不太重视，缺少课后监督和辅导，极少反馈学生在家学习的情况，同时我校的生源是按户口划分就近上学的，同一个班的学生学习成绩参差不齐、学习能力强弱不等。在教学中，如果教师们为了省事，统一教学和布置统一的作业，却不知，简单了，会出现优秀生在课后学习这一块出现“吃不饱”，难了，则会出现学困生由于没有跟上脚步而出现作业无法完成的现象。久而久之，学生不学和抄作业或者不写作业的现象就会普遍，教学和作业也就失去了它原有的意义。实践证明，实施简单的“一刀切”模式，很难兼顾到学生的个性差异。长此以往，学生就会失去兴趣、丧失自信，造成优等生人数越来越少、学困生越来越多的现象。因此，在教学中实施分层次教学和布置作业的策略，尤其是课后培优符合我校数学教学的客观要求。

二、培优的困境

关于怎样培优，笔者尝试了很多方法，例如，课后作业多布置几题难题让学生去思考，又或者是把学生拉出去额外多上几节课。几个方法尝试下来效果都不明显。学生在笔者的引导下看似已经会解一些难题，但是一到考试时依然无从下笔。经过反思，笔者发现之前的培优仅仅是教会了学生解某几个题，而没有教会学生相应的解题思维。作为农村学生，没有经历过任何培训机构培训，数学思维、数学知识全凭老师的引导，笔者只教学生单纯的解题是不利于学生发展的，必须有目的、有计划地培养他们的逻辑思维能力和数学理解能力、数学思维能力等。

三、小专题教学助培优一臂之力

最先让笔者对自己的培优产生困惑的是同一类题。笔者在平时培优时布置过这样一道作业，继而又在一次月考中考过，最后期末考试时，类似题目再次出现，可看到学生的答卷时，笔者是震惊的：几个重点培养的优秀生都没能很好地解答题目。

事后笔者找他们交流，学生基本一致表示自己是知道曾经做过类似的题目，考试时间也是充裕的，但是当自己提笔解题时却发现没有思路不知道该从何下笔去解答。谈话中让笔者明白：他们缺乏的不是时间，而是解题思维，更多的是他们没有相关的数学思维能力。怎样解决这一问题？归类分析？怎样启发？怎样培养和建立学生的数学思维能力，进而提高学生培优的效果？一系列问题横在笔者的培优教学中，就此，笔者尝试了以小专题的形式展开了新一轮培优。下面笔者以“二次函数中的面积最值问题”这一小专题为例进行论述。

四、小专题可以带来数学思维

初次让学生接触“二次函数中的面积问题”是一个周末的培优作业题，如下：

题1：如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，BO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C。

（1）求点C和点D的坐标;

（2）求抛物线的解析式;

（3）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，是否存在一点P，使△PCD得面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值;若不存在，请说明理由。

在题1讲解中，笔者就题目中需要应用到的“利用点坐标转化成线段的长度、如何寻找并利用横平竖直的线对图形进行割补”等几何中处理面积问题的思路进行了一番详细讲解。在笔者的引导下，学生貌似听懂了，学会了，但是等到第二次接触时很多学生反应思路大约知道，但写起来全乱了，越写越乱，根本算不出。再次与学生的交流中，笔者发现：学生只是记住了这个题目需要设点坐标，需要对面积进行分割等表面的做法。至于问题的本质，学生是没有理解的，所以做不到举一反三、触类旁通。

如何让学生理解问题的本质？一道题目，最多只能让学生学会解这一题而不是这类题。经过备课组的集备，笔者决定从寻找原型出发，以小专题的形式呈现，旨在有目的地培养学生的逻辑思维能力和数学理解能力。

（一）原型启发

一个数学问题的表现形式，可以是代数形式也可以是几何形式或其他形式，而每一种形式在不同的知识背景下有着它特定的意义。

原型题：如图，点P为反比例函数的图像上的一点，过点P分别向x轴，y轴引垂线，垂足分别为A、B，则矩形PAOB的面积为           。

原型题意在理解反比例函数中k的几何意义，实质是通过点P 的坐标转化成线段PB、PA的长度，进而解决面积问题。这是学生非常熟悉的一个知识点，接近学生的就近发展区;这也符合前苏联心理学家维果茨基在谈到教学和发展的关系时提出的“最近发展区理论”。数学教学活动，必须建立在学生的认知发展水平和已有知识经验基础之上。

（二）类比原型，层层推进

推进题1：如图，已知反比例函数（k为常数，k≠0）的图像经过点A，过点A作AB⊥轴，垂足为B，若△AOB的面积为1，则k=_________________。

推进题1与原型题背景一样，仅交换了条件和目标，旨在让学生再一次理解“反比例函数中k的几何意义，实质是通过点的坐标转化成线段的长度，进而解决面积问题”。

推进题2：如图，中，点A在反比例函数y=（k≠0）图象上，点D在y轴上，点B、点C在x轴上。若的面积为8，则k的值是_________________。

推进题2与原型题背景一样，与推进1目标一致，但改变了面积的基本图形，旨在让学生发现通性通法。发现问题的条件与目标之间的内在联系，使新问题向原型题靠拢，转化为比较容易解决的问题。

推进题3：如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（n为常数，n≠0）的图像在第二象限交于点C.CD⊥x轴，垂足为D，若OB=20A=3OD=12。

（1）求一次函数与反比例函数的解析式;

（2）記两函数图像的另一个交点为E，求△CDE的面积;

（3）直接写出不等式kx+b≤的解集。

推进题3背景还是与原型一样，图形的面积由一个象限扩展到更多象限，但还是定点求面积问题。学生对于定点问题还是比较熟悉和敢于尝试的，这是非常接近学生的最近发展区的，同时开始为接下来的动点问题做铺垫。

推进题4：如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点。

（1）求A、B两点的坐标;

（2）点P为抛物线上一动点，且在x轴的下方，P点在何处时，△ABP的面积最大，最大面积是多少？并求出此时P点的坐标。

推进题4中题目背景转换成这次小专题的目标：二次函数中面积最值问题。从已知的函数解析式入手开始求面积，本题中面积表面看是动点，实质分析后可以发现并不动，为下面的动点作准备。

（三）设计类比，提升数学思维

推进题5：如图，已知抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于点A（1，0），B（-3，0）与y轴相交于点C。

（1）求此抛物线的解析式;

（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，BC求△BCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标。

推进题5的背景是二次函数中的面积最值问题，问题背景开始复杂，首先是函数解析式未知，进而在函数图像上寻找动点去确定面积的最值，再反过来求动点的坐标。但这一题的难度还是稍微降低了一点：对点E限制在了第二象限，避免了分类讨论。

推进题6：如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，BO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C。

（1）求点C和点D的坐标;

（2）求抛物线的解析式;

（3）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为，是否存在一点P，使△PCD得面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值;若不存在，请说明理由。

推进题6又回到了我们学生最开始接触的题目，在经过一系列的知识层层推进以后，学生再次接触本题，应该会有一定的感知认识、数学逻辑思维和数学理解能力，进而去解决本类题。

推进题7：已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-3，0）和B（1，0），且与y轴交于点。

（1）求抛物线的表达式;

（2）若点D是这条抛物线上位于直线AC上方的一个动点，当△DAC的面积最大时，求D点的坐标。

推进题7中函数的图像由有图转向无图，旨在让学生从更高层次去认识二次函数中的图形、面积、最值问题，培养学生的空间思维能力和数形结合能力。

推进题8：如图，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴与抛物线交于点P，与直线BC交于点M连接PB。

（1）抛物线上是否存在异于点P的一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标;若不存在，说明理由;

（2）在第一象限对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等？若存在，求出点R的坐标若不存在，说明理由。

推进题9：如图，在平面直角坐标系xoy中，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0）、C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D。

（1）求该二次函数的解析式;

（2）若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m>0，n<0），连结PB，PD，BD，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标。

题8和题9是经过层层推进，在问题的解决过程中，结合不同的题目背景，多角度多层次地进行分析、构建数学模型后，学生掌握了一定的解决二次函数中的面积最值问题的能力，最后用两道相似又不似的题目做一个简单的收尾。

五、教学的启发

在初三的复习中，我们应该明确知道很多的中考压轴题考查的不是一道题，而是数学思维。我们的优秀生缺乏的不是少做题，而是缺乏数学逻辑思维和数学理解能力的训练。找到压轴题的原型题，组成递进的题目组，形成一个小专题，从最简单、最接近学生认识的思维出发，引导学生将问题深化，寻找解题的规律，发展学生的思维。

一个数学问题的表现形式是多种多样，在解决问题的过程中，要多方位多角度去思考。以小专题的形式来培优，优生在解决每一个问题的过程中，不单是知识的重现过程，也是数学知识、思想、方法的成功结合。通过小专题的培优方式，加强知识之间的纵横联系，发现知识更多的潜在应用价值，突出数学思想方法和分析问题、解决问题的能力，感受数学的魅力。在尝试过程中，培优的学生在一定程度上可以去归纳方法、提炼思想、形成数学模式化思维。

[注：本文中出现的所有题目均来自各地的模拟卷题和中考卷题，故不一一备注]

参考文献：

[1]广州市教育局教学研究室.广州市义务教育阶段学科学业质量评价标准[S].广州：广东教育出版社.

[2]彭立飞.原型启发下的数学教学[J].教学考试，2014，（4）17-18.

[3]刘次律.中学数学教学中如何利用最近发展区[J].数学通报，2003.1.

[4]课程教材研究所.数学九年级上册[M].北京：人民教育出版社.

[5]课程教材研究所.数学九年级上册（教师用书）[M].北京：人民教育出版社.

[6]课程教材研究所.数学九年级下册[M].北京：人民教育出版社.

[7]课程教材研究所.数学九年级下册（教师用书）[M].北京：人民教育出版社.