潘 池，李 飒

(天津大学 建筑工程学院，天津 300350)

在水利、市政、交通以及采矿等工程的大规模建设中，经常会出现几何形态复杂多变的人工边坡，为了施工的合理安全性，以及后期边坡的维护加固问题，需对其进行稳定性评估[1]。

近年来，三维边坡稳定性分析方法取得飞速发展，可分为三大类：极限平衡法、极限分析法和有限元法。1975年Lyness等[2]首次在边坡稳定性分析中通过逐步降低土体的强度参数求得边坡的安全系数。1999年美国Griffith等[3]采用有限元强度折减法与传统方法计算得到的安全系数较为接近，强度折减法开始引起国内外学者广泛关注。卢坤林等[4]定性讨论均质三维单面边坡滑体形态、长高比、坡比、土体强度参数等指标对整体稳定性的影响。张新兵等[5]针对不同边界条件下三维单面边坡稳定性进行研究，得出其安全系数在全约束边界条件下最大，半约束边界次之，自由约束最小的结论。然而，三维边坡稳定性分析主要关注单面边坡的三维效应和边界条件，而关于双面边坡的稳定性影响因素研究较少。

复杂形态的三维边坡，如水利水运工程高边坡经常出现曲面转角，在开挖或者填方工程中，常出现凹凸坡的结构形式。复杂的几何形态对边坡稳定性的影响尚未十分明确，但对基础设施的设计建设具有重要的意义。朱乃龙等[6]以椭圆形喇叭曲面边坡上环状岩体为力学模型，推导出椭圆形深凹露天矿临界稳定性坡面的形状。Farzaneh等[7]基于极限分析方法的上界理论，对平面凸坡进行了三维分析。Cheng等[8-9]采用不同的三维边坡稳定性分析方法对90°垂直开挖的凸坡进行了稳定性分析比较。卢坤林等[10]对三维单向边坡坡面分别为凹坡、平坡和凸坡的情况展开研究，发现凹坡的极限稳定角比平坡大。Nian等[11]研究发现直立边坡随着转角的增加由凸坡转换成凹坡时安全系数逐渐增大。Zhang等[12]针对多种几何形状的双面边坡研究弯曲坡面、转角弧度等对边坡稳定性的影响，但关于坡度和边界效应对双面及单面边坡的影响并未全面阐述。

为了对复杂双面边坡的稳定性有更深入的了解，本文采用有限元方法，对具有不同几何形态的三维双面边坡，包括凹凸坡结构和不同坡度组合情况下的稳定性及其破坏特性进行了研究，同时探讨了有限元计算中边界条件对单面及双面边坡影响的差异。

1 有限元强度折减计算原理

1.1 分析方法

土体本构关系采用理想弹塑性模型，屈服准则为Mohr-Coulomb准则，其表达式如下：

对于M-C材料，土体中某点的容许剪切强度为：

边坡稳定性评价中安全系数定义为沿滑动面的抗剪强度与滑动面上实际剪应力的比值，表示如下：

将式（3）的左右两边同时除以F，得：

1.2 数值模型

所选分析模型为均匀土坡，无地下水，边坡土体材料参数为：重度γ为20.0 kN/m3, 黏聚力c为40.0 kPa，内摩擦角为20.0°，弹性模量E为100 MPa，泊松比为0.30。

图1为单面平直边坡结构示意。为保证计算安全系数的合理性，张鲁渝等[14]指出，当坡脚到左端边界的距离设为高H的1.5倍，坡顶到右端边界的距离设为高H的2.5倍，且上下边界总高不低于2倍坡高H时，计算精度最为理想。本文按照要求选取坡高H=10 m，W1=15 m，W2=25 m，总高为20 m。

根据工程中的实际情况，除单面平直边坡外也不乏双面边坡的结构形式。边坡形状选定凹凸两类，4种双面边坡形式如图2所示，边坡整体形式分为：①形式1直立式边坡；②形式2倾斜式边坡；③形式3坡面转角处用曲面过渡的锥坡；④形式4坡面整体为曲面。其中形式1垂直放坡，形式2，3和4放坡坡度均为1∶2，对应单面平直边坡的宽度取为，长度取为为坡面水平投影长度。

图1 单面平直边坡结构示意Fig. 1 Schematic of the single-sided straight slope

图2 4种双面边坡结构示意（单位：m）Fig. 2 Schematic of four double-sided slopes (unit: m)

有限元模型采用C3D8四边形八节点实体单元类型，边坡应力场为自重应力场，由于边界条件是影响边坡稳定性的重要因素，为模拟实际边坡的约束情况，依据Zhang等[13]的研究，由凸坡到平直边坡再过渡到凹坡的情况，边坡侧面放坡位置在坐标轴中发生变化，其对应固定约束作用面也有所不同。本文建立了自由约束边界（smooth-smooth型，简称SS）、半约束边界（smooth-rough型，简称SR）及全约束边界条件（rough-rough型，简称RR），如表1所示。

表1 边坡体边界类型对应的约束情况Tab. 1 Boundary conditions of slopes

2 计算结果分析

2.1 凹凸坡对双面边坡稳定性的影响

针对凹凸形状的边坡分别选取4种典型的双面边坡形式，与单面的平直边坡进行对比研究。图3为不同约束条件下形式1边坡的安全系数。从图3可以看到，凸坡的安全系数曲线位于单面平直边坡的下方，而凹坡的安全系数曲线位于单面平直边坡的上方，可见，形式1边坡凹坡最为稳定，凸坡安全性最低。

对于形式2，3和4的边坡，安全系数计算结果如图4所示，其对应的单面平直边坡安全系数曲线位于最下方，即单面平直边坡的安全系数均小于凸坡和凹坡，并且凹坡的安全系数最大。

为了进一步说明几何形态对于边坡稳定性的影响，研究凹凸结构双面边坡与单面平直边坡稳定性的差别，图5和图6给出了4种形式凹凸边坡在3种边界条件下的计算结果。

由图5可知，对于凸坡，除形式1外，其他形式的放坡形式均会提高边坡的安全系数，全约束边界条件下边坡安全系数提高最明显，比平直边坡提高约3%。对于图6中凹坡，的数值均大于1，说明其安全性更好，特别是形式4凹坡，全约束边界条件下安全系数相比平直边坡提高了近10%，约为其余形式的2倍，其结构形式更有利于边坡的稳定性提高。形式1凹坡安全系数虽然有所增加，但增加有限。

为了探讨出现以上现象的原因，对边坡的等效塑性应变和位移进行了分析。由于3种边界条件下计算结果规律基本一致，文中选取全约束边界条件进行分析。图7为全约束边界条件下4种边坡的等效位移云图。由图7可知，对于形式1边坡，由于放坡坡度最陡，所得安全系数最小，凸坡时，两坡面相交构成垂直临空面，增加了边坡滑移的风险，此处产生的位移值最大，安全系数小于单面平直边坡；凹坡时，坡面相交处相互挤压，抑制了两侧边坡潜在滑体的移动，所得安全系数大于平直边坡。

图3 形式1边坡在3种边界条件下的安全系数Fig. 3 Safety factors of the 1st slope under three boundary conditions

图5 凸边坡与单面平直边坡安全系数关系Fig. 5 Relationship between the safety factors of the convex and single-sided straight slopes

图4 形式2，3和4边坡在3种边界条件下的安全系数Fig. 4 Safety factors of the 2nd, 3rd and 4th slopes under three boundary conditions

图6 凹边坡与单面平直边坡安全系数关系Fig. 6 Relationship between the safety factors of the concave and single-sided straight slopes

图7 全约束边界条件下4种形式边坡的等效位移云图Fig. 7 Displacement zone of four slopes under rough-rough boundary condition

2.2 坡度对双面边坡稳定性的影响

无论人工或者天然形成的双面边坡，常出现两面放坡不等的现象，对于形式2边坡，改变纵向坡度，计算凹凸双面边坡以及对应的单面平直边坡的安全系数，研究坡度对双面边坡整体稳定性的影响。选取工况1～5共 5种工况：横向坡度均为 1∶2，纵向坡度分别为 2∶1，1∶1，1∶2，1∶3，1∶4。由图 8中 5种工况全约束边界条件下边坡的等效位移云图可知，边坡均发生整体破坏，潜在滑体通过底滑面切割土体，塑性区从坡脚到坡顶发生了整体贯通。坡顶处产生下陷，坡脚隆起。此外，对于工况1和工况2，当纵向坡度陡于横向坡度时，边坡分别沿2∶1和1∶1纵向坡面产生滑移。对于工况3，当横纵坡度相等时，边坡沿两坡面产生对称的滑移。而对于工况4和5，当纵向坡度缓于横向坡度时，边坡均沿1∶2横向坡面产生滑移。边坡横向坡度一致，工况1至工况5的纵向坡度逐渐变缓，临界滑动面的位置随着危险坡面坡度的变缓而加深，且滑出点的位置逐渐远离坡脚，滑裂面面积变大，这与万少石等学者的研究成果相一致[15]。

图8 全约束边界条件下5种工况边坡的等效位移云图Fig. 8 Displacement zone of five cases under rough-rough boundary condition

图9 为不同工况下纵向坡度与安全系数之间的关系曲线，工况1到工况3随着纵向坡度的减小，安全系数逐渐增大，而工况3到工况5计算所得的安全系数基本一致，最大相差0.2%。

对比可得，当双面边坡纵、横坡度不等时，边坡沿危险坡面产生滑移，滑裂面呈椭球面，决定边坡整体稳定性的因素为较陡边坡的坡度。在实际双面边坡工程中，通过减小较缓坡度边坡无法达到提高边坡整体稳定性的目的。

当边坡纵、横坡度相等时，边坡沿两坡面产生双向滑移，形成相同的椭球形滑面，整体滑裂面基本呈关于两坡面交线对称的蝶状，并在坡面相交处产生大面积的下陷。在实际工程施工中应避开此危险区域，或对其进行加固以避免事故的发生。

图9 纵向坡度与边坡安全系数的关系曲线Fig. 9 Relationship between longitudinal gradient and safety factor

图10 纵向坡度与()的关系曲线Fig. 10 Relationship betweenand longitudinal gradient

2.3 边界条件对双面边坡稳定性的影响

边界条件是影响有限元计算结果的重要因素之一。4种形式以及5种工况边坡计算结果表明，边界约束条件对双面边坡整体稳定性具有显著的影响。安全系数均随着边界条件从自由约束到半约束再到全约束依次增大，规律与单面平直边坡相同[6]。选取5种工况下边坡算结果与约束条件之间的关系如图11所示。对比图5可知，半约束边界条件比自由约束边界条件安全系数提高近4%，而全约束边界条件最大可提高约8%，相对平直边坡而言，全约束边界条件对边坡稳定性提高效果较为明显。

除此之外，约束条件对边坡潜在滑裂面的破坏形态也有重要影响。图12为形式2凸坡以及对应单面平直边坡在3种边界条件下的位移云图。可见：边界条件不同，边坡的破坏模式完全不同，双面边坡在自由约束条件下将沿边界产生双向滑移，而半约束条件边坡只沿法向约束一侧破坏。基础设施施工时应选择相对安全的固定约束一侧，全约束边界的边坡将沿靠近边界的地方产生双向滑移。由自由约束到半约束再到全约束，滑动面的深度逐渐变浅，滑出点的位置逐渐靠近坡脚。当双向边坡的横、纵坡度相等时，边界条件对其边坡破坏形态的影响与图12一致；当横、纵坡度不等时，边坡只沿一向发生滑移，边界条件对滑体形态的影响与单面平直边坡相同。

实际工程中，当边坡两侧均为临空面时应采用自由约束边界条件，若有山体或其他结构物支撑时采用全约束边界条件，一侧为临空面一侧有支撑则采用半约束边界条件。在保证施工安全性的前提下，应合理选择边坡的边界条件。

图11 纵向坡度与()的关系曲线Fig. 11 Relationship betweenand longitudinal gradient

图12 不同约束条件下边坡的位移云图Fig. 12 Displacement zone of slopes under different boundary conditions

3 结 语

本文从安全系数的角度研究复杂双面边坡多种结构形式对其稳定性的影响，直观地展现了双面边坡的破坏过程，并清楚地勾勒出临界滑动面状态，在本次计算条件下分析得出以下结论：

（1）对于垂直放坡的情况，单面平直边坡的安全系数大于凸坡，对于凸坡1∶2放坡情况，全约束边界条件下安全系数最大，与平直边坡相比提高了约3%。所有形式的凹坡的安全系数均大于平直边坡，其中，全曲面凹坡在全约束边界条件下安全系数提高了近10%，约为其余形式凹坡的2倍。

（2）当边坡的纵、横坡度不等时，边坡沿危险坡面产生滑移，滑裂面呈椭球面，决定边坡整体稳定性的因素为较陡边坡的坡度；当纵、横坡度相等时，边坡沿两坡面产生双向滑移，相交处产生大面积下陷，工程施工应避开此危险区域。

（3）安全系数从自由约束到半约束再到全约束依次增大，半约束边界条件比自由约束边界条件安全系数提高近4%，全约束边界条件相对自由约束最大可提高约8%，且半约束条件下，双面边坡只沿法向约束一侧产生滑移破坏。