黄元，苑海波，黄样

(1.北京师范大学 天文系，北京100875；2.云南大学 中国西南天文研究所，昆明650500)

1 引言

双星及多星(下文统称为双星)系统在宇宙中广泛存在。根据恒星之间的距离以及洛希瓣半径，双星可以分为分离双星、相接双星和密近双星。分离双星两颗成员星的洛希瓣相互分开，对彼此都没有显著的影响，演化本质上相互独立。相接双星是双星的一颗已经充满了洛希瓣，而另一颗还没有达到的系统，气体会从充满洛希瓣的恒星溢出(洛希瓣溢流，Roche Lobe Overflow,RLOF)，然后转移到伴星；这时质量转移会影响这个系统的演化，并且流入的气体会在被转移的恒星周围形成吸积盘。密近双星的两颗恒星都充满了各自的洛希瓣，且洛希瓣发生重叠，最外层的恒星大气层组成了公共包层，最终两颗星可能会发生合并[1]。

研究双星系统的性质具有重要的意义。双星系统对恒星的演化有重要影响，会形成诸多具有特殊研究价值的天体。其中包括被称为“宇宙标准烛光”、可测量宇宙膨胀历史的Ia型超新星[2,3]，产生可以探测引力波信号的致密双星系统[4]，发出高能X射线、用于研究高能物理现象的X射线双星[5]，以及蓝离散星[6]等。除了演化为别具价值的特殊天体外，双星系统对星族合成模型[7,8]也有重要影响。同时，双星系统也会影响恒星的测光距离估计[9]，从而对银河系的结构分析产生影响。

长久以来，人们提出多种直接认证双星系统的方法，例如：目视双星、食双星、分光双星等，但是这些方法都有其各自的局限性和偏差，如目视双星一般都是发现分离角度较大、周期长、且光度相当的星，否则较亮星会遮蔽较暗的星使其难以分辨；而分光双星适用于寻找质量相当的短周期双星；食双星要求两颗星的轨道平面与观测方向一致；天测双星对于质量比大、轨道周期长的星测量起来非常困难。想要准确无误地识别双星系统，然后对双星系统的性质开展统计无偏的研究，并不是一件容易的事情。

基于太阳附近直接观测的小样本双星的数据，人们发现质量越大的主序恒星的双星比例越高，类太阳主序星的双星比例在40%～60%之间[10,11]，质量小于0.5M⊙的双星的比例约为26%[12]，而质量大于5M⊙的双星的比例达到了70%[13]。2017年，Moe和Stefano详细描述了不同质量的双星的比例变化情况[14]。

近年来，随着多个大型天文巡天的开展，如斯隆数字巡天计划(Sloan Digital Sky Surve,SDSS)[15]、LAMOST[16]、盖亚(Gaia)巡天[17]等，人们获得了海量恒星的高质量测光、分光以及天测的数据。针对大样本的数据，人们提出大样本统计方法来对双星的性质进行研究。使用统计方法，不需要区分每一颗星是单星还是双星，只需要对样本的整体统计性质进行测量，所以，基于统计学的方法能够极大地提高样本的容量，并研究双星性质随不同样本(如丰度、空间位置、年龄等)的变化。

Gao等人基于多次测量恒星视向速度(以后简称速度)差的变化[18]，利用SDSS数据测得FGK类主序星的双星比例为43%左右，利用LAMOST的类似样本测得的为30%左右，并且双星比例随着有效温度的上升而增大，随金属丰度的升高而降低[19]。Yuan等人基于恒星颜色相对于单星颜色的偏离[20]，测得FGK类主序星的双星比例为41%左右，双星比例随着金属丰度的减小而增大，在[-0.5,0.0]dex为37%左右，而[-2.0,-1.5]dex达到了53%，且银晕的双星比例明显高于薄盘和厚盘。Liu基于恒星的绝对星等相对于单星模型的偏离[21]，并使用LAMOST数据，分析了(0.4～1)的GK主序星在不同的质量比情况下，双星比例和质量比分布随着质量及金属丰度变化的趋势。他发现主星质量较小时，质量比偏大，双星比例与金属丰度成反比，与质量关系较小；主星质量较大时，质量比偏小，双星比例与质量成正比，与金属丰度的关系较小。以上这些工作都是针对主序恒星，对处于巨星阶段的恒星，例如对红巨星RGB和红团簇星RC的双星比例性质研究还非常少见。

红巨星位于赫罗图上主序星带的右上方。在主序星演化晚期，中心核反应产生的辐射压逐渐不足以抵抗引力，有着He核和H外壳的恒星在引力作用下坍缩，这时恒星外层膨胀，表面温度降低，亮度升高，成为红巨星。而红团簇星是小质量的恒星经历了红巨星阶段和He闪阶段之后的He核燃烧阶段，且当He燃烧时He核具有相似的质量和光度，在赫罗图上形成了很紧密的分布。除此之外，红团簇星由于I波段和近红外K波段的绝对星等相对稳定不易变化，适合被作为“标准烛光”[22]。几乎所有质量合适的主序双星系统都将经历巨星演化阶段，取决于轨道周期等性质，此时双星系统将发生不同程度的相互作用进而改变其性质。因此，研究这两类天体的双星比例对于研究恒星的演化也有非常重要的作用。

Badenes等人[23]2018年使用了阿帕奇点天文台银河系演化实验(The Apache Point Observatory Galactic Evolution Experiment,APOGEE)DR13的巨星数据，根据多次测量的速度差最大值ΔRVmax，对巨星的前身主序星的双星比例及随金属丰度的变化进行了研究。他们发现不同lgg区间的ΔRVmax的最大值的分布与对应的lgg区间有很强的相关性，并利用ΔRVmax＞10 km/s的样本占总样本比例的方法求得巨星前身主序星的双星比例大约为35%，且金属丰度越低的样本有更高的双星比例。Badenes等人[23]工作中的RGB样本数量为56 533个，RC样本为15 667个，ΔRVmax＞10 km/s的样本总共为1 037个，其结果有较大的不确定性，需要进一步的研究。

Belokurov等人[24]近期使用Gaia DR2的数据，通过对恒星位置变化的多次测量来区分单星与双星(单星的光心与质心重合，双星的光心与质心通常不同)，研究了双星比在赫罗图上的相对变化。他们发现主序阶段双星比例随恒星质量的减小而逐渐降低，与前人的结果一致。对巨星来讲，红巨星的双星比在20%～30%左右，巨星越亮，双星比例越低；红团簇星的双星比最低，约为15%；蓝水平分支星呈现了非常高的双星比例，约为70%。

在本文中，我们发挥LAMOST数据的大样本优势，针对红巨星和红团簇星开展双星比例的系统研究。本文结构如下：第2章介绍研究所使用的数据；第3章介绍研究方法和模型；第4章通过计算得出结果；最后给出总结。

2 数据

郭守敬望远镜(Large Sky Area Multi-Object Fiber Spectroscopy Telescope,LAMOST)，是中国自主设计和建造的大天区面积多目标光纤光谱天文望远镜，是一架新类型的大视场兼备大口径望远镜[16]。其由反射施密特改正板MA，球面主镜MB以及焦面三部分构成，有效通光口径为4 m，视场广达5°。其采用了并行可控的光纤定位技术，在直径为1.75 m的焦面上放置了4 000根光纤，将遥远天体的微弱星光分别传输到多台光谱仪中，因此能同时获得4 000个天体的光谱，是世界上光谱获取率最高的望远镜[25]。

我们使用的数据为郭守敬望远镜DR4网站上提供的反银心方向巡天第二版增值星表[26]。该星表提供4 378 824颗恒星的178项恒星参数，包括有效温度、金属丰度、速度、视星等、消光值以及各项误差等。Wu等人[27]使用核主成分分析的方法，在该星表中挑出418 304颗红巨星，并测得了其质量和年龄。Huang等人使用类似的方法，从该星表中挑选出了151 251颗红团簇星，同样对质量和年龄进行了测量[28]。

将RGB和RC星表与LAMOST反银心方向巡天第二版增值星表结合，去掉恒星参数有缺失的、只有一次测量的目标源之后，我们获得124 964个RGB源的385 984次速度测量，以及48 323个RC源的129 258次速度测量。为避免低温恒星脉动带来的影响，我们要求有效温度Teff＞4 000 K。由于金属丰度[Fe/H]＜-1.5 dex的样本只占总样本的0.6%，因此工作中我们只考虑[Fe/H]＞-1.5 dex的样本。我们对同一目标源的速度进行了两两做差，在两次测量的信噪比均大于20，时间间隔大于1 d的情况下，我们选择了速度差绝对值最大的一组ΔRVmax=max(RVn)-min(RVn)。最终，我们得到了62 295个RGB的ΔRVmax和19 270个RC的ΔRVmax。

由于lgg对于本工作非常重要，且为了便于与Badenes等人[23]基于APOGEE DR13数据的结果进行对比，我们将Wu等人的RGB星表与APOGEE DR14提供的allstar星表[29]进行了交叉。我们得到128 380个共同源，对lgg进行了比较，结果如图1a)所示。我们发现LAMOST的lgg值在APOGEE DR14的lgg较小时普遍偏低，黑线是我们对差值的中值使用四阶多项式函数拟合的结果。我们根据拟合公式对LAMOST的RGB的lgg值进行了修正，对RC的数据进行了同样的处理，并根据图1b)黑线所示的拟合曲线对RC的lgg进行了修正。

图1 APOGEE DR14的lg g与LAMOST增值星表lg g的比较

为了检验RGB与RC样本的纯净度，利用Gaia DR2距离[30]与增值星表提供的2μm全天巡天(Two Micron All-Sky Survey,2MASS)K波段视星等[31]以及使用恒星配对方法计算得到的消光值[26]，我们计算了62 295颗RGB和19 270颗RC的K波段绝对星等，采用的K波段消光系数为0.306[32]。我们给出RGB与RC的温度-K波段绝对星等图，如图2所示。我们剔除了图中黑色实线以下的5 564个RGB源(主要受到主序星的污染)和两条虚线外侧的2 688个RC源(主要受到RGB的污染)[33]。

图3是经过剔除后的RGB与RC样本在赫罗图上的分布，横坐标为有效温度，纵坐标为表面重力加速度，图中的颜色代表了金属丰度。最后我们比较了LAMOST与APOGEE DR14数据的同源多次观测时间间隔，LAMOST的观测时间间隔中值在350 d左右，而APOGEE的观测时间间隔中值仅为35 d左右。相比之下，观测时间跨度越长越有利于体现双星的速度变化特征，因此，LAMOST的数据更有利于本文工作的开展。

3 方法

我们使用的方法与Badenes等人[23]采用的方法类似：首先定义一个常数ΔRVcrit，这个常数需要避免速度误差不确定性的影响，因此远大于速度误差σRV；再通过统计ΔRVmax＞ΔRVcrit的样本占总样本比例(比例记为Nf)的方法，来探究双星比例在不同样本中的变化趋势，并借助模型对双星比例进行定量的估计。恒星速度误差σRV与双星比例之间存在很强的相关性，利用速度变化的分布来研究双星比例通常要求对恒星的速度误差σRV有非常精确的测量，而速度误差σRV通常又与恒星的光谱型、金属丰度、信噪比有密切关系，不能用一个常量来表示。本文采用的方法的优点在于：ΔRVmax＞ΔRVcrit的样本与速度误差不敏感，因此不需要对速度误差进行精确的测量，就能测得双星比例。

为确定ΔRVcrit，我们对RGB和RC的ΔRVmax合并样本进行了多次3σ剔除，直至其速度分布不发生改变；然后对其进行高斯拟合，将3σ处的速度定为ΔRVcrit，为20.0 km/s，如图4所示，此时的σ为该样本的典型速度误差的倍。我们将RGB根据lgg的不同分为四个区间：[0.0,1.5]dex,[1.5,2.5]dex,[2.5,3.0]dex,[3.0,3.8]dex，RC则单成一个区间，开展下一步工作。

图4 多次3σ剔除后的RGB和RC合并样本的ΔRVmax的分布及拟合情况

基于LAMOST数据测得的恒星的速度误差在较低信噪比(约为10，与恒星大气参数有关)的情况下，与信噪比成反比关系，而在高信噪比的情况下趋于稳定[34]。为了避免信噪比判据不同对结果产生影响，我们测量了四个lgg区间的RGB样本以及RC样本的Nf比例随信噪比的变化，如图5所示。从图中可以看到，无论是RGB还是RC样本，Nf比例随着信噪比的增大，一开始均呈现了逐步下降的趋势，但在信噪比大于20之后基本趋于稳定。当信噪比更高时，低lgg区间Nf会因大于ΔRVcrit的数据量较少而误差较大出现波动。因此，在信噪比大于20的情况下，测得的Nf比值与信噪比关系不大，具有更高的可靠性，这也解释了为什么我们要求信噪比大于20。

图5 RGB在不同lg g区间的样本及RC样本的Nf随信噪比的变化

为了从Nf中反演出样本中总的双星比例，我们使用了蒙特卡洛模拟方法。假设观测到的速度差分布由双星和单星两种情况构成，单星的速度之差取决于两次速度的测量误差σRV，双星的速度之差，还取决于双星的具体绕转情况。即对于一个大样本，其速度差的分布可以表示如下[18]：

其中，p代表某样本的分布，Δv代表速度差，fb代表双星比例，pb代表双星的样本分布，Δt为两次速度的观测时间差，MB是主星的质量，ps代表单星的样本分布，σRV代表每一个样本的速度误差。

使用开普勒的二体公式，我们可以得到双星速度的半振幅(记为K，单位为km·s-1)的表达式[19]：

其中，M1代表样本中RGB[27]与RC[28]的质量和。周期P满足Raghavan等人[11]提出的对数分布。Pcrit为包含巨星的双星轨道周期的最小值[23]，当P＜Pcrit时，采用Badenes[23]等人工作中一样的处理方式，即当成双星来处理，但是不会导致速度变化。需要注意的是，此时计算得出的fb代表其主星还在主序阶段时的双星比，并非当前巨星的双星比。q是两颗星的质量比，在0.08～1之间满足均匀分布[14,18,19,23]。为了简化模型，我们取偏心率e=0[18,19]。轨道倾角i满足各向同性，因此cosi的取值满足随机分布。在以上条件下，我们最终获得的双星的速度差的表达式为[19]：

其中，v1b代表第一次观测的速度，v2b代表第二次观测的速度，φ1和φ2分别代表两次观测的时间点在周期中的相位。速度误差固定时，双星的速度差分布是符合K(cosφ1-cosφ2)为均值，为误差的高斯分布。对于每个样本区间内的σRV，我们采用求ΔRVcrit时的方法，测得RGB的lgg分别为[0.0,1.5]dex,[1.5,2.5]dex,[2.5,3.0]dex,[3.0,3.8]dex时的样本，以及RC样本的速度误差σRV值依次为4.35 km/s,4.50 km/s,4.79 km/s,5.01 km/s和3.81 km/s。这个结果与Gao[18]及Tian[35]等人工作中K型主序星的结果相近。由于我们选用的ΔRVcrit为20.0 km/s，远大于σRV，可保证最终测得的双星比例不受采用的速度误差σRV及可能变化的影响。

综上，我们把对应lgg样本区间内单星和双星的模型合并，通过不同的双星比来调整Nf，再与观测数据得出的Nf进行比较，即可获得样本中最佳双星比fb。再次声明，此时我们得到的双星比代表的不是当前巨星的双星比，而是其还处于主序阶段时的双星比。在我们的模型中，假设主序阶段的双星比为fb1，f为模型中P＜Pcrit的样本占双星总样本的比例，可以推导出模型中演化到巨星阶段的双星比为fb1×(1-f)，小于主序阶段的双星比。

4 结果

4.1 ΔRVmax与lg g的关系

图6显示了RGB与RC样本在ΔRVmax-lgg空间的分布。在大样本恒星中，ΔRVmax的最大值对应轨道倾角i=90°，轨道半径及周期最小的情况下的双星系统。对于包含巨星的双星系统来讲，允许的轨道半径有一个最小值，此时的轨道周期计为Pcrit。当周期P＜Pcrit时，双星系统会因为距离过近从而发生物质交换(RLOF)，甚至合并而处于不稳定状态，因此我们在根据Raghavan等人[11]的轨道周期分布构造双星模型时，需要将P＜Pcrit的部分特殊处理。Pcrit的计算如公式(4)所示(注意公式(4)与Badenes[23]工作中出现的公式不同，因为后者有出版错误)。其中ℜ(q)是恒星洛希瓣半径与双星轨道半径的比值[36]，该值只与质量比q有关，G为万有引力常数，M为主星质量，R为主星半径。当q=1时，ℜ(q)值为0.38。

图6 RGB(黑点)和RC(红点)样本在ΔRVmax-lg g空间的分布

由图6可见，RGB不同样本的ΔRVmax的最大值与对应的lgg值存在很强的正相关，与Badenes[23]给出的结论一致。我们依据公式(2)计算了在q=1,sini=1,周期P=Pcrit的情况下，1M⊙和2M⊙的恒星在不同lgg情况下的ΔRVmax数值，分别对应图中的蓝线和绿线。下端的蓝点和绿点对应恒星演化到TRGB时的结果，使用的是MIST恒星演化模型(http://waps.cfa.harvard.edu/MIST/interp-tracks.html)。在绿线右边的数据点，对应的可能是包含了一个大质量致密星(如黑洞或中子星)的双星系统[37]。我们将这些源的信息整理为表1(表1中的lgg为修正后的值，其中编号为1,2,8,23的源为Gu等人[37]工作中已发现的候选体，图中用红十字表示)。RC的结果与小lgg情况下的RGB结果接近，这是因为RC是从RGB支顶端演化而来，具有最大的Pcrit。

4.2 Nf与lg g的关系

为了探究巨星中Nf与lgg的关系，我们前文已将RGB划分为4个区间：[0.0,1.5]dex,[1.5,2.5]dex,[2.5,3.0]dex,[3.0,3.8]dex，RC则单成一个区间。我们分别计算了这5个样本的Nf、泊松误差以及f，如表2所示。

表2给出了5个子样本的个数、子样本中ΔRVmax＞20.0 km/s的样本数、Nf值及其泊松误差、lgg的中值以及f。可以看出，对于RGB，随着lgg的减小，对应样本中Nf值呈现了一个下降的趋势，比例从3.73%一直下降到了2.57%；RC样本的Nf值最低为

1.22%，上述趋势与Badenes[23]得到的结果一致。我们从模型中发现，对于RGB，lgg越小，P＜Pcrit发生作用的比例越高(即f越大)，lgg为3,2,1 dex时，f分别为3%,5%,9%左右。RC发生作用的比例最高，f达到了15%左右；这说明短周期主序双星在其主星演化到巨星后，由于发生相互作用而不复存在。

表1 特殊样本以及相关参数

表2 Nf随不同lg g子样本的变化

4.3 Nf与[Fe/H]的关系

为了研究Nf与[Fe/H]的关系，我们在4.2节的基础上，对RGB中金属丰度范围相对较广的2个子样本([2.5,3.0]dex和[3.0,3.8]dex)以及RC样本做了进一步拆分，将[Fe/H]＞0.0 dex的星视为富金属星样本，-0.5 dex＜[Fe/H]＜0.0 dex的星视为中间丰度样本，-1.5 dex＜[Fe/H]＜-0.5 dex的星视为贫金属星样本。另外，为了只考虑[Fe/H]对Nf的影响，而排除其他因素，我们将质量范围进一步调整为[0.8,1.5]M⊙，发现温度对巨星双星比例的影响很小[38]，因此不做修改。我们把各个样本区间的数目列在了表3中，并计算了对应区间的Nf及其泊松误差。

表3 不同子样本情况下的Nf值随金属丰度的变化

表3给出了不同样本区间源的数目、Nf数值以及泊松误差。对于RGB和RC，不同子样本的贫金属丰度区间的Nf都大于中间金属丰度和富金属丰度区间的Nf数值。这说明贫金属丰度样本在双星贡献占主导的ΔRVmax范围内有着更大的比例，贫金属星相对于富金属星有更高的双星比例，与Gao[18,19],Yuan[20],Liu[21]等人的结论一致。

4.4 Nf与fb的关系

利用蒙特卡洛模拟方法，我们构造了不同双星比例的模型，计算了模型中不同lgg区间的Nf值，并与RGB和RC的真实数据进行比较，结果见表2和图7。

从图中可以看出：对于整个红巨星的样本，Nf比例与fb=40%的情况下的模型比较接近，通过加权平均求得样本整体的双星比例为fb=(38.1±2)%。我们注意到双星比例随着lgg的增大出现了一定程度的下降。我们的结果比Badenes[23]的结果(fb=35%)稍大，但在误差允许范围内。我们的双星比结果与类太阳恒星的双星比(40%～50%[18–20])也较接近。这意味着基于红巨星数据与基于矮星数据得到的双星比是一致的。

图7 不同双星比情况下Nf随lg g的变化

除此之外，我们注意到，对于周期小于Pcrit的双星系统，可以有两种极端处理情况：情况A是假设这种双星系统演化成为一颗单巨星，但它仍然作为“双星”在我们的模型中(我们和Badenes[23]的工作均是建立在这种情况下)；情况B是，这种双星系统经相互作用后已演化为其他类型的天体，此时其系统内已不再有巨星存在。因为我们的数据都是巨星样本，此时这类数据将不出现在模型中，应当被去除。

我们对情况B的结果也进行了估计：模型中P＜Pcrit的数量在最小的lgg区间占了双星模型的9%，在最大的lgg区间占了3%。第二种处理情况使得lgg位于[0,1.5]dex区间的双星比例从55%下降到了52%，对其他lgg区间的影响很小，可以忽略不计。由于两种处理方式对lgg小于1.5 dex的RGB及RC样本双星比的影响较大，将来对这类样本双星比的精确测量有望区分这两种情况。

5 总结

我们基于LAMOST的海量数据，选择其反银心方向巡天第二版增值星表中的56 731颗红巨星以及16 582颗红团簇星数据作为样本，通过统计ΔRVmax＞20.0 km/s的样本数量占总样本比例的方法，研究了红巨星和红团簇星的双星比例及其随演化阶段和金属丰度的变化。我们定义Nf=NΔRVmax＞ΔRVcrit/Ntotal，通过Nf来示踪双星比在不同样本中的变化趋势，并借助于恒星视向速度差的模型来对双星比进行定量的估计。我们发现样本ΔRVmax的最大值与RGB对应的lgg值存在很强的正相关；RGB的lgg值越大，Nf值越大，RC的Nf值越小，说明巨星的演化阶段越晚，双星比例越低；金属丰度越高，双星比例越低。利用蒙特卡洛方法，我们测得红巨星前身星的双星比例为(38±2)%，红团簇星前身星的双星比例为(35±3)%，从而证实了Badenes等人[23]的结果，与类太阳主序恒星的结果相符。此外，我们发现了46个可能包含大质量致密星的双星候选体，值得进一步的研究。

致谢

感谢两位审稿人的宝贵意见，使得这篇文章得以完善。感谢运行团队提供数据。