韩同凯,史洪岩

(沈阳化工大学，辽宁 沈阳 110021)

1 引言

连续搅拌反应釜的反应温度和反应物浓度是化学反应过程中的关键因素，温度和浓度的有效控制是化工过程的重要研究课题，具有重要的研究意义。国内外化工控制领域为了更加简洁有效地对CSTR的浓度、温度等变量进行控制，相继开展了一些有关研究[1-4]。Nikolic等[5-6]利用非线性频率响应(NFR)方法在周期操作下对CSTR进行了仿真研究；Zuyev等[7]周期操作下利用方波输入调节反应温度和反应浓度，但未考虑时间周期的优化；控制变量参数化方法(CVP)[8-9]是一种较为常见的控制算法，普遍应用于最优控制问题的求解,但其求解效率过于依赖初始给定轨迹；Douglas[10]利用正弦输入调节入口浓度和进口流速，但没有考虑切换时间。

针对上述问题，本文建立了CSTR的无量纲最优控制模型，拟采用Bang-Bang控制算法求解该最优控制问题，利用等周约束条件求解切换时间。

2 问题描述

3 CSTR模型分析

根据热力学和化学动力学相关知识，首先建立反应物A的物料平衡方程[11]

(1)

式中，CA为物料A的出口浓度，CAo为物料A的入口浓度，t为反应时间，V为反应釜容积，F为反应器的体积流速，k0为反应速度常数的频率因子，EA为反应活化能，R为气体常数，T为反应釜温度。

由于原始机理模型是典型的非线性微分方程，给接下来的分析及控制方案的设计带来困难，所以为了便于分析，方便数值求解，本文将物料平衡方程(1)进行无量纲化处理：

首先引入无量纲变量对系统进行无量纲变形，如表1所示。

表1 无量纲变量的定义

同时引入辅助参数ε

(2)

则无量纲化后的模型变成

(3)

将上式整理后，CSTR的数学模型可由如下非线性微分方程来表示

(4)

式中，τ是时间变量；x是状态变量，表示物料A的出口浓度；u是控制变量，用于控制物料A的入口浓度。

其中控制变量u为

(5)

4 提出最优控制问题

(6)

4.1 基于最大值原理的Bang-Bang控制

为了解决这一最优控制问题，本文应用了具有Hamiltonian函数的Pontryagin最大值原理进行分析。

根据最大值原理，首先构造Hamiltonian函数[12]

(7)

根据Hamiltonian函数，可以得到伴随方程

(8)

求解得到伴随方程的通解

(9)

周期边界条件

(10)

等周约束条件

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

为了验证Bang-Bang控制算法的性能更优，利用稳态操作对CSTR进行控制，形成对比。

4 MATLAB仿真与结果分析

为了说明本文最优控制设计方案的可行性和有效性，参照文[14]提供的动力学数据，各参数如表2所示。

表2 CSTR模型中各参数的取值

(18)

图1 Bang-Bang控制

图2 最优轨迹 (实线)和性能指标J(虚线)

5 结论

针对 这一化学反应过程的最优控制问题，建立了无量纲化后的数学模型，利用Pontryagin最大值原理对这类具有等周约束条件的最优控制问题进行了分析，采用Bang-Bang控制策略求解该最优控制问题。仿真结果表明，相对于稳态操作，本文采用的Bang-Bang控制算法效果更好。