过琨

数学的研究对象是现实世界的空间形式和数量关系，数学是关于模式与秩序的科学，数学概念就是反映这些数学对象的本质属性和特征的思维形式，掌握概念，实质上就是要理解一类事物共同的本质属性。为了掌握概念，可以利用学习者认知结构中原有的概念，以定义的方式直接向学习者揭示概念的本质属性，这种使学习者获得概念的方式叫概念同化。新概念和原有概念之间肯定是有联系的，但是学生未必能找到这种联系，如果在教学中不重视，那么学生在理解新概念的时候会产生许多问题，进而对建立在新的概念上的其他知识的理解和运用产生困难，所以概念课的教学必须要认真对待，要让学生知道为什么给出这个概念、概念是怎么来的。下面以弧度制为例来谈谈概念课教学的一些体会。

弧度制本身是一节很普通的概念课，完成习题并不难，但弧度制的引入以及适应这种度量方式我觉得是最值得注意的部分。

一、学情分析

通过对高二、高三这些已学习过弧度制学生的了解发现，由于教材中直接给出了1弧度角的定义，教师在教学中偏重于弧度制的运用，引入不足，使大部分学生感觉这一节的教学很生硬，他们并不理解为什么要使用弧度制，感受不到弧度制对三角学习的必要性，部分学生甚至认为弧度制增加了学习的难度，在解题时还是换算成角度来运算更符合他们的习惯，这说明弧度制的教学尤其是概念的引入是不能简单按课本那样直接给出的。

二、弧度制的引入

概念教学大致经历这样几个阶段：概念的提出—形成—明确—巩固。其中新概念的引入环节非常重要，要理清概念形成的脉络。上一节讲授了任意角，任意角的表示和运算仍是用角度制来表示的，所以我提出一个角度的运算题：39°40′29″+46°31′50″，学生很快就能给出答案86°12′19″，我询问学生是如何计算的，学生概括出计算时运用十进制和六十进制，正因如此，角度制下的运算比较烦琐且易错，这时我就提出问题：能不能在角度的运算中避免使用六十进制，而是采用最熟悉的十进制呢？很显然角度制是不能满足这一要求的，那能不能换一种方式来度量角呢？这就为弧度制这种新的度量方式的引入提出了必要性。

概念是一类事物的共同的本质属性，使符号代表一类事物而不是特殊事物，但是学生的认知能力决定了只能从特殊到一般。为了让学生能够理解弧度制的由来，我设计了一个分组探究的环节。

学生分成四个小组，按照给定的角度，选择不同的半径r，计算对应的弧长l，根据图形的变化，猜想有什么不变的量。在小组探究的过程中，我发现学生在给定角和半径的前提下计算弧长是不困难的，但是在寻找不变的量的过程中存在障碍，所以我适时提醒，在角不变的情况下，观察弧长和半径之间是不是存在什么关系。经过合作讨论，有的小组从图形上发现扇形之间具有三角形相似这样类似的特点，将三角形相似的结论类比过来寻找不变的量，有的小组从弧长的计算公式中有了发现，我让探究出成果的小组与大家交流，由于是学生从自己的认知能力出发探寻出的结论，大家理解起来不生硬，总结出当圆心角α的大小不变时， l/r的值不变，这时我就带领大家发现l/r是一个由α的大小决定的十进制的数值，这就为利用十进制的数来表示角的大小提供了可能。

这种引入的方式避免了直接抛出新的概念，为学生的思维提供了一个缓冲、接收的时间，接下来对1弧度的定义的介绍就显得没那么突兀，而且学生在小组探究的过程能够找到角度制与弧度制之间的关系，完成转换。

三、弧度制的明确与巩固

介绍了弧度制后，还要让学生感受到它的好处，这样才能避免学生学习了弧度制仍然化为角度制进行解题的尴尬。随着弧度制下的弧长公式和扇形面积公式的给出，我让学生对比两种度量制下的公式，体会弧度制下的简洁美;在后续的例题和练习中给出足够的训练，平时表示角度时尽量用弧度制来表示，削弱学生对角度制的依赖，建立起弧度制也是一个直接使用的数学概念，这些工作在后续的教学中是不可忽视，需要继续进行的。

四、课后延伸

概念课的基础性既是概念本身的基础，又是建立其他概念和原理的基础，所以不可以犯“重训练轻引入”的错误，要重视概念学习过程中对学生数学思维能力的培养。在本节课的最后我让学生观察弧度制下扇形面积公式，思考：这个公式的形式你熟悉吗？和哪个公式很相似？为什么？学有余力的学生可以接触到微积分的一些概念，认识到弧度制的应用比角度制更为广泛，更深层次地理解弧度制学习的必要性，大部分的学生在思考的过程中也能达到锻炼思维能力的目的，这对学生数学素养的提高是很有帮助的。

参考文献：

[1]曹才翰.中学数学教学概论[M].北京：北京师范大学出版社，1992.

[2]田万海.数学教育学[M].杭州：浙江教育出版社，1992.

[3]朱水根，王延文，等.中学数学教学导论[M].北京：教育科学出版社，1948.

編辑 冯志强