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多参数复合核的Hilbert 型不等式及应用

2020-12-21有名辉何振华

通化师范学院学报 2020年12期
关键词:指数函数常数定理

有名辉,董 飞,何振华

若f(x),g(y) ≥0,且满足f,g∈L2(R+),则Hilbert 不等式通常可表述为[1]:

其中:π 是满足式(1)的最佳常数因子.此外,文献[1]中还给出了与式(1)类似的含有对数函数核的不等式

其中:π2是满足式(2)的最佳常数因子. 式(2)通常被称为Hilbert 型不等式,通过对核函数进行推广、类比等不断的演化,数学工作者们已经建立了形形色色的Hilbert 型不等式[2-10].这些新不等式的建立借助了许多经典分析的技巧,同时又在很大程度上促进了现代分析的发展.与式(2)类似的,还有杨必成[11]建立基本的Hilbert 型不等式

其中:G= 0.9159…为Catalan 常数.其它一些与对数函数关联的Hilbert 型不等式可参见文献[12]~[14].另外,通过构造对数函数和指数函数复合而成的核函数,刘琼[15]构建了Hilbert 型不等式

其中:μ(x)=x-3,ν(y)=y-3.受文献[15]的启发,本文将构建以下Hilbert 型不等式

其中:μ(x)=x-1,ν(y)=y-1及

其中:μ(x)=xp-1,ν(y)=yq-1.更一般地,下文将构造一个含有对数函数及指数函数的多参数核函数,并同时考虑齐次和非齐次两种形态,利用统一的处理方法,建立式(5)及式(6)的统一推广.先给出以下引理.

1 预备知识

引理1 设b>a>0,γ>0,定义K(t):=则

证明 把ln(1 +e-at)展开为麦克劳林级数,并逐项积分,可得

作代换u=akt,则

把式(9)代入到式(8),可得

类似地,可算得

结合式(10)与式(11),可得式(7).

引理2 设b>a>0,K(t)如引理1 定义,则

证明 任取δ1,δ2>0,经过简单的代换,可得

分别对式(13)中的积分使用积分第一中值定理,则有

其中:a<ξ1,ξ2<b,令δ1→0,δ2→+∞,则可得式(12).

注:根据引理1 和引理2,可记

引 理3 设b>a>0,γ≥0,β1β2≠0,由式(14)定义.定义核函数

n∈N+,且fn(x)及gn(y)定义如下:

不管β2>0 还是β2<0,由勒贝格控制收敛定理,可算得

把式(17)代入到式(16),令n→∞,并利用式(14),则可得式(15).

2 主要结果

定 理1 设b>a>0,γ≥0,β1β2≠0,和k(x,y) 分别由式(14)和 引 理3定义且 满 足f∈Lp,μ(R+),g∈Lq,ν(R+),则

证明 由Hölder 不等式[16],得

类似地,

将式(20)和式(21)代入式(19),则有

根据Hilbert 不等式相关文献[2-3]通用的处理方法,可得式(22)不可取等号,故式(18)成立.

使得式(22)的常数因子变为A后,式(22)依然成立.即

用引理3 中的fn(x) 和gn(y) 分别替代式(23)中的f(x)和g(y),并借助式(15),可知

令n→∞,则这显然与假设矛盾.故式(22)的常数因子最佳.定理1 证毕.

在定理1 中,令β1=β2= 1,γ= 1,因

故定理1 转化为:

其中:μ(x)=x-1,ν(y)=y-1.令a= 1,b= 3,则有式(5)成立.

在定理1 中,令β1=β2= 1,γ= 3,因

故定理1 转化为:

在定理1 中,令β1=β2= 1,γ= 0,a=1,b= 2,则有式(6)成立.另外,在定理1 中,令β1= 1,β2= -1,还可得0 齐次核的Hilbert型不等式,在此不再赘述.

3 结语

通过构造一个与指数函数和对数函数相关、且包含齐次和非齐次两种情形的核函数,建立了一个新的Hilbert 型不等式.核函数中引入β1和β2这两个实数域中的参数,对之前文献中参数的范围有所改进,处理方式也异于以往;在最佳常数的处理上,借助积分第一中值定理等分析的方法,解决最佳常数的计算问题.

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