白 莹， 李科赞

(桂林电子科技大学 数学与计算科学学院,广西 桂林 541004)

同步问题一直是复杂网络研究中的一个重要分支。现实中存在许多同步现象，如2008年北京奥运会开幕式上的“击缶”表演是由2008名鼓手同步进行的，所有的动作整齐划一；成千上万只同步闪烁的萤火虫；工厂里的各种机器设备之间的同步运转等。同步现象覆盖了我们生活中的方方面面，所以对同步现象进行深入研究很有必要。近些年，许多专家学者对同步做了大量研究[1-3]，对同步的种类也进行了划分。文献[4]采用间歇控制的方法，只需要控制每个集群中的第一个节点，就可实现聚类同步。文献[5]研究了耦合不完全动态系统网络中的聚类问题，提出了保证聚类同步的条件，根据自适应反馈算法来调整底层图的权值，使任何满足聚类条件的双向网络同步。文献[6]研究了一类具有交换有向拓扑的复杂网络的全局牵制同步问题。文献[7]将交叉耦合技术引入到多轴运动系统的最优控制结构，设计了广义同步控制器。文献[8]研究了2种不同的不确定混沌系统的自适应广义函数投影同步问题，设计了一种用于2种不同混沌系统同步的自适应控制器，并得到了估计系统未知参数的更新规律。

时滞是时间滞后的简称，在实际应用中，时滞是系统之间信号传递不可避免的现象，在这种情况下，需要对时滞进行分析，尽量减小由时滞带来的误差。而另一方面，有时不希望2个网络或2个节点所要达到的同步效果出现在同一时刻，而是一个系统在完成某个动作后另一个系统可以在间隔一段时间后再达到与其同步的动作，此时需要利用时滞来帮助实现想要达到的同步效果，通常把这种带有时滞的同步定义为滞后同步[9-10]。最近，滞后同步又被推广为投射滞后同步[11]、广义滞后同步[12]等。文献[13]考虑了一种新型的滞后同步模式——相继滞后同步(SLS)，即在动态网络中2个连续编号的节点之间出现滞后同步现象。文献[14-16]对相继滞后同步做了深入的研究。

由此可见，对时滞问题进行研究也是至关重要的。时滞系统达到同步状态需要的条件有2种情况，一种是实现同步的条件独立于时滞，另一种是同步条件依赖于时滞。独立于时滞的同步条件对时滞的大小无要求，而依赖于时滞的同步条件与时滞的大小有关。文献[17]对一般复杂网络系统进行分析，分别得到了依赖于时滞和独立于时滞的同步条件。鉴于此，针对文献[17]中提出的分布式模型，利用Lyapunov函数方法和Barbalat引理，分析模型的相继滞后同步稳定性，并得到了系统实现相继滞后同步依赖于时滞的充分条件。

1 预备知识

定义1[18-19]QUAD(Δ,ω)是一个函数类，称f∈QUAD(Δ,ω),若对任意的x,y∈Rm，连续函数f(x,t):Rm×[0,+∞)→Rm满足：

(x-y)T{[f(x,t)-f(y,t)]-Δ[x-y]}≤

-ω(x-y)T(x-y),

(1)

其中，ω>0，t≥0，Δ=diag{δ1,δ2,…,δm}。

引理2[21]对于合适维数的矩阵A、B、C,克罗内克积满足如下运算法则：

1)σ(A+B)=σA+σB，σ为常数；

2)(A+B)⊗C=A⊗B+A⊗C；

3)(A+B)T=AT+BT。

引理3[22]设矩阵M=(mij)p×q，则

xTMy≤π(M)(xTx+yTy)，

对所有x∈RP，y∈Rq成立，其中

考虑动力学网络[17]

ui(t)，i=1,2，…,n，

(2)

其中，

ui(t)=-dxi(t)，

(3)

或

ui(t)=-d(xi(t)-x1(t-(i-1)τ))。

(4)

定义2[13]对任意的初值条件

xi(t)=φi(t)∈C([-(n-1)τ,0],Rm),

i=1,2，…,n，

若有

(5)

则称动力学网络达到相继滞后同步，或者说相继滞后同步是渐进稳定的。

2 依赖时滞的同步条件

根据相继滞后同步的定义，动力学网络(2)的相继滞后同步误差可定义为

ei(t)=xi(t-τ)-xi+1(t)，i=1,2，…,n-1。

对等式两边求导，可得如下误差系统：

f(xi(t-τ))-f(xi+1(t))+

ui(t-τ)-ui+1(t)。

(6)

虽然式(3)和式(4)两种控制器不同，但均满足：

ui(t-τ)-ui+1(t)=-dei(t),i=1,2，…,n-1。

所以模型(2)在分别带有控制器(3)和控制器(4)两种情况下的误差系统是相同的。在控制器(3)或者控制器(4)下，可令

B=(bik)(n-1)×n=(aik-a(i+1)k)(n-1)×n，

k=1,2,…,n，i=1,2，…,n-1,

上述误差系统可写为

(7)

定理1若存在常数ω>0，正定对角矩阵

Δ=diag{δ1,δ2,…,δn-1}，

使得f∈QUAD(Δ,ω)，且存在ε>0，d>0，正定矩阵

Ξ=diag{α1,α2,…,αn-1}，

Φ=diag{β1,β2，…,βn}，

使得

(8)

其中：

M1=Ξ⊗Δ+(N+(n-1)Φ+hΩ)⊗Im+

cπ(M)I(n-1)m，

N=diag{(ca22-d-ω)α1,(ca33-d-ω)α2,…,

(cann-d-ω)αn-1}，

M=Γ⊗Im=(mij)(n-1)m×(n-1)2m，

M2=cπ(M)I(n-1)2m-Φ⊗I(n-1)m。

则对任意τ∈(0,h]，带有分布式控制器(3)的模型(2)的相继滞后同步是渐进稳定的。

证明构造如下的李雅普诺夫函数：

V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)，

(9)

其中：

对V(t)沿着误差系统(6)求导可得

其中：

(10)

(11)

(12)

令

对于式(10)，有以下结论：

(13)

其中M=Γ⊗Im=(mij)(n-1)m×(n-1)2m，Γ是一个分块矩阵。根据式(13)，式(10)可改为

(14)

由引理3可得

(15)

根据定义1和式(15)，由式(12)、(14)可得

(16)

因为τ∈(0,h]，所以有

(17)

根据式(16)、(17)，可得

(18)

则式(18)可改写为

hΩ)⊗Im+cπ(M)I(n-1)m]e(t)+

选择合适的ε>0，d>0，满足条件(8)，可得

所以

根据引理2，有

eT(t)e(t)→0，(→+∞)。

综上所述，带有控制器(3)的模型(2)的相继滞后同步是一致渐进稳定的。模型(2)在分别带有控制器(3)和控制器(4)两种情况下具有相同的误差系统，所以可以得到相同的同步条件，证明过程类似。

3 数值模拟

对定理1进行数值检验，用3D神经网络[23]作为系统的局部动力学行为，即

其中：

为了使函数f∈QUAD(Δ,ω)，依据文献[14]，可取Δ=10I3，ω=0.6218。

1)验证模型(2)带有分布式控制器(3)的情形。考虑节点个数n=5，神经系统网络的耦合矩阵为

根据文献[17]有

Ω=I3,Ξ=I3,π(M)=24,Φ=cπ(M)×In-1。

为了满足定理1的条件，取c=0.1，d=30，则

M1=diag{-8.72+0.1a22+h,-8.72+0.1a33+

h,-8.72+0.1a44+h,-8.72+0.1a55+h}。

通过解不等式M1×I3≤0，可得到满足定理1的最大时滞h=8.72，即当时滞τ∈(0，8.72]时系统(2)可以实现相继滞后同步。这里取τ=7，图1为神经网络的状态变化轨迹，图2为神经网络的相继滞后同步误差(i=1,2,3,4,5)。从图1、图2可看出，当满足τ∈(0，8.72]时，模型(2)在带有分布式的控制器(3)的情况下实现了相继滞后同步。

图1 神经网络的状态轨迹

图2 神经网络的相继滞后同步误差

2)验证模型(2)带有集中式控制器(4)的情形。选取节点个数n=20，神经网络的耦合矩阵：

根据文献[17]有

Ω=I3,Ξ=I3,Φ=cπ(M)×In-1,π(M)=0，

为了满足定理1条件，取c=0.1,d=15，可得

M1=diag{-10.62+0.1a22+h,-10.62+

0.1a33+h,…,-10.62+0.1a2020+h}。

通过对不等式M1×I3≤0进行求解，可得满足定理1的最大时滞h=4.02。选择τ=3进行数值实验，得到神经网络的状态变化轨迹如图3所示，图4为神经网络的相继滞后同步误差，i=1,2,…,20。从图3、4可看出，在满足τ∈(0，4.02]时，带有集中式控制器(4)的模型(2)实现了相继滞后同步，即得到了使模型(2)达到相继滞后同步依赖于时滞的渐进稳定条件。

图3 神经网络的状态轨迹

图4 神经网络的相继滞后同步误差

4 结束语

对相继滞后同步模型的不依赖于时滞的同步条件进行了研究。不依赖时滞稳定性条件对时滞的大小无要求，该条件通常是保守的。若已知时滞很小，则探索依赖时滞的同步条件，将更具有实际意义。基于文献[17]，针对该分布式模型考虑了稳定性条件中的依赖于时滞的同步问题，通过构造李雅普诺夫函数，应用Barbalat引理，得到了使模型(2)达到相继滞后同步且依赖于时滞的渐进稳定条件。数值模拟实验验证了理论结果的正确性。